Uberstruktur im reziproken Raum ¨

(1)

Uberstruktur im Realraum ¨

Der Realraum-Einheitszelle der ¨Uberstruktur kann mit der Oberfl¨achen-Einheitszelle in Beziehung gesetzt werden:

b~₁ = m₁₁a~₁ + m₁₂a~₂

b~₂ = m₂₁a~₁ + m₂₂a~₂ oder _b_~

1

b~₂

= M

~ a₁

~ a₂

mit M =

m₁₁ m₁₂

m₂₁ m₂₂

Die Flächen der EZ B und A der Überstruktur und der Oberfläche sind gegeben durch

B = |b~₁ × b~₂| = AdetM mit detM = |b~₁ × b~₂|

|a~₁ × a~₂|

Volkmar Senz, Uni Rostock

(2)

Uberstruktur im reziproken Raum ¨

Analog kann die Einheitszelle der ¨Uberstruktur im reziproken Raum zur reziproken EZ der Oberfl¨achenstruktur in Beziehung gesetzt werden:

b~^∗₁ = m^∗₁₁a~^∗₁ + m^∗₁₂a~^∗₂

b~^∗₂ = m^∗₂₁a~^∗₁ + m^∗₂₂a~^∗₂ oder

_~

b^∗₁ b~^∗₂

= M^∗

_~

a^∗₁ a~^∗₂

M^∗ ist die transponierte inverse Matrix von M:

M^∗ = M⁻¹^T

mit m^∗_ii = m_jj

det M und m^∗_ij = −m_ji detM

(3)

Beispiele

Realraum Reziproker Raum

u Substrat ^hUberstruktur¨

M{100}(2x2)

u u u u u u u u u u u u u u u u

h h

6 -

- 6

b~1 b~2

~ a1

~ a2

_~

b1 b~2

= 2

1 0 0 1

~ a1

~ a2

u u

j j j j j j j j j 6

- 6

-

b~∗ 1 b~∗

2

a~∗ 1 a~∗

2

b~∗ 1 b~∗ 2

!

= ¹₂ _{1 0}

0 1

a^~∗ 1 a~∗ 2

!

M{100}c(2x2)

u u u u u u u u u u u u u u u u

h

h h

6 -

@

@@R b~2 b~1

~ a1

~ a2

_~

b1 b~2

= _{1 1}

1 −1

~ a1

~ a2

u u

j j

j

j j

j 6

-

@

@@R

a~∗ 1 a~∗

2

b~∗ 2

b~∗ 1

b~∗ 1 b~∗ 2

!

= ¹₂

1 1 1 −1

a^~∗ 1 a~∗ 2

!

(4)

M{111}(√ 3x√

3)30^◦

u u u u u u u u u u u u

u u u u

j j

- * 6

b~1

~ a2

~ a1 b~2

_~

b1 b~2

= _{1 1}

−1 2

~ a1

~ a2

u u u

u u

u u h h h h h

h h h h h h h h h h

h h h h

h h h hH HHj 6

- A A K

H HHj 6

- A A K

a~∗ 1 b~∗

1 a~∗

~ 2 b∗

2

b~∗ 1 b~∗ 2

!

= ¹₃ _{2 1}

−1 1

a^~∗ 1 a~∗ 2

!

Si{111}(2x1)

u u u u u u u u u u u u

u u u u

j j

- -

b~1

~ a1

~

a2 = b~2

_~

b1 b~2

= _{2 0}

0 1

~ a1

~ a2

u u u

h h h

H HHj HHj 6

HHHj HHj 6

a~∗

~ 1 b∗

1 a~∗

2 = b~∗ 2

b~∗ 1 b~∗ 2

!

= ¹₂ _{1 0}

0 2

a^~∗ 1 a~∗ 2

!

nach L¨uth

”Solid Surfaces, Interfaces and Thin Films“