LINEARER MITTELWERT DER INTEGRALRECHNUNG
Jedes bestimmte Integral ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱
𝐚𝐛mit f(x) >0 kann in ein flächengleiches Rechteck mit der Länge b – a und der Breite f(z) verwandelt werden. Dabei ist z eine beliebige
Stelle zwischen a und b.
Es gilt also ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱
𝐚𝐛= (b – a)·f(z) mit a ≤ z ≤ b
Formt man die Gleichung um, so erhält man f(z) = ∫ f(x)dx
b a
b – a
f(z) bezeichnet man als (linearen) Mittelwert der Integralrechnung . Er ist der mittlere Funktionswerte aller Funktionswerte über dem Intervall [a ; b]
Grafik:
Aufgabe 1
b) Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 5 Minuten zurückgelegt?
c) Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit für die gesamte Fahrtdauer!
Aufgabe 2
Ein Pharmaunternehmen produziert ein Medikament, das in Tablettenform verabreicht wird.
Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten kann in den ersten 24 Stunden nach Einnahme einer Tablette näherungsweise durch die Funktion f mit
f(t) = 8t e 0,25t , t ∈ [0 ; 24] beschrieben werden.
Dabei wird die Zeit t in Stunden seit der Einnahme (t = 0) und die Wirkstoffkonzentration f(t) im Blut in Milligramm pro Liter gemessen.
a) Berechnen Sie f‘(t) händisch und vereinfachen Sie das Ergebnis? Welche Regeln benötigen Sie hierfür?
b) Berechnen Sie zur Übung das Integral ∫ e−0.25tdt händisch.
c) Ermitteln Sie ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 mit Hilfe der Methode der Partiellen Integration und dem Ergebnis von b).
d)Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut erreicht wird und geben Sie den maximalen Wert an!
e) Berechnen Sie jenen Zeitpunkt, an dem die Abnahme der Wirkstoffkonzentration am größten ist!
f) Bestimmen Sie die mittlere Wirkstoffkonzentration in der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des Medikaments!
g) Für t > 24 soll der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration durch die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(24/f(24)) beschrieben werden. Berechnen Sie für diese Modellierung den
Zeitpunkt, zu dem der Wirkstoff im Blut vollständig abgebaut ist.
t f(t
)
Aufgabe 3
Aufgabe 4
