(b) Zeigen Sie: Z 2π 0 dt iλ+ sint

W. Werner und T. Timmermann WS 13/14 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III

Blatt 10

Abgabe bis Montag, 12. Januar, 10 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. (a) Sei R(a, b) eine rationale Funktion in a und b, also ein Quo- tient von Polynomen in den Variablen a und b. Zeigen Sie:

Z 2π

0

R(cost,sint) dt= Z

γ

f = 2πi

n

X

ν=1

Res(f, z_ν),

wobei die Kurveγ: [0,2π]→Cund die komplexe Funktionf gegeben seien γ(t) = e^it, f(z) = −i

zR

z+ 1/z

2 ,z−1/z 2i

und z1, . . . , zn die Polstellen von f in der Einheitskreisscheibe bezeichnen.

(b) Zeigen Sie:

Z 2π

0

dt

iλ+ sint =− 2πi

√λ²+ 1 f¨urλ >0.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. In mehreren Schritten soll gezeigt werden:

Z 2π

0

dθ

cos⁴θ+ sin⁴θ =π√ 8.

(a) Schreiben Sie dazu den Integranden in der Form R(cosθ,sinθ) mit einer rationalen FunktionR zweier Variablen, und zeigen Sie f¨ur die Funktionf, die wie in Aufgabe 1(a) definiert sei, die Gleichungf(z) =−i 8z³

z⁸+ 6z⁴+ 1. (b) Bestimmen Sie die Pole von f, die im Einheitskreis liegen, und zeigen Sie,

dass an jedem dieser Pole das Residuum gleich −i/√ 8 ist.

(c) Schlussfolgern Sie die eingangs behauptete Gleichung f¨ur das Integral.

Aufgabe 3. Wir betrachten die Funktionen g(x) := 1

2(x+ e^−x), h(x) := 1

6(5x+ e^−x).

1

(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen g und h das Intervall [0,1] in sich selbst abbilden.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur allex₁, x₂ ∈[0,1] eine Zahlξ∈[0,1] mit e^−x1−e^−x2 = (x₂ −x₁)e^−ξ existiert. (Hinweis: Zwischenwertsatz der Differenzialrech- nung.)

(c) Bestimmen Sie (m¨oglichst kleine) Konstantenα, β <1 mit|g(x1)−g(x2)|<

α|x₁−x₂|und|h(x₁)−h(x₂)|< β|x₁−x₂|f¨ur alle x₁, x₂ ∈[0,1]. (Hinweis:

Verwenden Sie (b).)

(d) Zeigen Sie, dass die Funktionengundhauf dem Intervall [0,1] jeweils genau einen Fixpunkt besitzen, und dass beide Fixpunkte ¨ubereinstimmen.

Aufgabe 4. Wir betrachten ein lineares homogenes AWP der Form y⁰(x) = A(x)y(x) mit A(x)∈M_n(C), y(0) =y₀ ∈Rⁿ die Picard-Lindel¨of-Iteration, also die Folge der Funktionen (y(k))k mit

y(0)(x) = y0, y(k+1)(x) = (Φy(k))(x) = y0+ Z x

0

A(x)y(k)(x) dx f¨ur k≥0.

Zeigen Sie:

(a) y_(k)(x) =Pk

l=0B_l(x)y₀, wobei B₀(x) =E_n und B_l+1(x) =

Z x

0

A(x₁)B_l(x₁) dx₁

= Z x

0

Z x1

0

· · · Z xl

0

A(x₁)A(x₂)· · ·A(x_l+1) dx_l+1· · · dx₂dx₁.

(b) Im Fall A(x) =

1 1−x

0 0

und y₀ = 1

1

gilt B_l(x) =

x^l l!

x^l

l! − _(l+1)!^xl+1

0 0

! . (c) Bestimmen Sie f¨ur den Fall aus (b) die Funktion y(∞)(x) := limky_(k)(x)

und pr¨ufen Sie nach, dass y_(∞) das AWP l¨ost.

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