Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17
Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 3
PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 12.05.2017
1. Thermodynamische Relationen: (6 + 4 + 5 + 5 = 20 Punkte) Auf diesem ¨Ubungsblatt verwenden wir die Notation aus der Vorlesung:
Jacobi-Matrix: ∂(u, v)
∂(x, y) =
∂u
∂x y
∂u
∂y x
∂v
∂x y
∂v
∂y x
,
Jacobi-Determinante:
∂(u, v)
∂(x, y)
= ∂u
∂x y
∂v
∂y x
− ∂u
∂y x
∂v
∂x y
.
(a) Beweisen Sie die Maxwell-Relation aus Aufgabe 2b von Blatt 2:
∂S
∂L
T
=− ∂σ
∂T
L
. (1)
Berechnen Sie die Jacobi-Determinante
∂(T, S)
∂(σ, L) .
(b) Leiten Sie den folgenden Zusammenhang zwischen W¨armekapazit¨aten her:
cp−cV =−T ∂p
∂T 2
V
∂p
∂V
T
. (2)
(c) Zeigen Sie, dass f¨ur ein magnetisches System (Magnetisierung M) im ¨außeren Ma- gnetfeld B die Relation
cM cB
= χS χT
(3) gilt, wobei
cM =T ∂S
∂T
M
, cB =T ∂S
∂T
B
, χS = ∂M
∂B
S
, χT = ∂M
∂B
T
.
(d) Beweisen Sie die Relation
cB−cM =Tα2B
χT (4)
mit dem Temperaturkoeffizienten der Magnetisierung αB =
∂M
∂T
B
.
2. Beh¨alter mit zwei Kammern (5+10=15 Punkte) Ein thermisch abgeschlossener Beh¨alter ist durch eine Trennwand in zwei Kammern unterteilt. Beide Kammern enthalten ideale Gase mit konstanter W¨armekapazit¨at cV. Die eine Kammer enth¨alt NA Teilchen bei der Temperatur TA und dem Druck pA, die andereNB Teilchen bei der Temperatur TB und dem Druck pB.
(a) Nun werde die thermische Isolierung der Trennwand entfernt und die Trennwand verschiebbar gemacht. Berechnen Sie den Druck p und die Temperatur T des Sy- stems im Gleichgewicht.
(b) Anschließend wird die Trennwand entfernt. Berechnen Sie die ¨Anderung ∆S der Gesamtentropie aufgrund der Mischung f¨ur die beiden F¨alle: (i) verschiedene Gase;
(ii) identische Gase.
3. Gauß-Verteilung f¨ur zwei Variablen (3+3+4+5=15 Punkte) Die Gauß-Verteilung ρ(X1, X2) f¨ur die zwei stochastischen Variablen X1 und X2 sei durch
ρ(X1, X2) =
√detA (2π) ·exp
"
−1 2
2
X
i,j=1
(Xi−ai) Aij (Xj −aj)
#
(5) definiert. Die 2×2 Matrix A ist symmetrisch und positiv definit.
(a) Geben Sie die reduzierte Verteilungsfunktion ρ1(X1) =
Z
dX2 ρ(X1, X2) (6) an.
(b) Finden Sie die Kovarianz
cov(X1, X2) =h(X1− hX1i)(X2 − hX2i)i. (7) (c) Bestimmen Sie das Moment hX12X22i der Verteilung.
(d) Berechnen Sie den Mittelwert der Exponentialfunktion
f(β) = hexp [−β(X1 +X2)]i. (8)
