In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Beh¨alter kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ¨andern

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17

Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 4

PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 19.05.2017

1. Teilchen mit f Freiheitsgraden: (8+12=20 Punkte) F¨ur ein ideales Gas aus N klassischen Teilchen (Molek¨ulen) mit f Freiheitsgraden pro Molek¨ul gilt:

U = f

2N k_BT, pV =N k_BT. (1)

(a) Betrachten Sie eineadiabatischeZustands¨anderung bei konstanter Teilchenzahl, und zeigen Sie ¨uber den 1. Hauptsatz, dass gilt:

pV^(f+2)/f = const., V T^{f /2} = const.

L¨osung:

1. Hauptsatz:

dU =δQ−pdV +µdN.

Adiabatische Zustands¨anderung: δQ= 0 , konstante Teilchenzahl: dN = 0 , also:

dU =−pdV.

In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Beh¨alter kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ¨andern. Bekannt ist außerdem:

U = f

2N k_BT → dU = f

2N k_BdT, (2)

pV =N k_BT → pdV +V dp=N k_BdT , (3) zusammen

dU = f

2[pdV +V dp].

Mit dem 1. Hauptsatz von eben gilt:

1 + f

2

pdV =−f 2V dp,

was jetzt integriert werden kann, von einem thermodynamischen Zustand 0 zu einem anderen 1 ¨uber einen reversiblen Weg,

1 + f

2 Z¹

0

dV

V =−f 2

1

Z

0

dp p

Daraus folgt, mit V₁ ≡V , p₁ ≡p, denn der Zustand 1 ist beliebig,

1 + f 2

ln V

V₀ =−f 2ln p

p₀ ⇒ p V^(1+2/f)= const.

Analog ergibt sich aus

dU =−pdV = f

2N k_BdT und

pV =N k_BT ⇒ p= N k_BT V unmittelbar

N k_B

V dV =−f 2

N k_B T dT.

Also

ln V

V₀ =−f 2 ln T

T₀ ⇒ V T^{f /2} = const.

(b) Ausgehend von Gl. (1), berechnen Sie die Entropie S(U, V, N) =S₀N

N₀ +N k_B f

2ln U

U₀

+ ln V

V₀

− f+ 2 2 ln

N N₀

wobei S₀, U₀, V₀, N₀ Integrationskonstanten sind. Diskutieren Sie den 3. Hauptsatz der Thermodynamik f¨ur ein ideales Gas.

Hinweis.Zeigen Sie zun¨achst: Tds= du+pdv mit s=S/N, u =U/N, v=V /N. L¨osung:

Die “Fundamentalbeziehung” lautet:

T S=U +pV −µN ⇒ S = 1

TU + p

TV − µ TN.

MitS =S(U, V, N) folgt

dS = 1

TdU + p

TdV − µ TdN.

Es ist jetzt praktisch, Dichten einzuf¨uhren:

s=S/N , u=U/N , v=V /N ⇒ s= 1 Tu+ p

Tv− µ T . MitS =S(U, V, N) h¨angt s nicht explizit von N ab, also:

s=s(u, v), ds= 1

Tdu+ p Tdv.

Jetzt l¨aßt ds sich integrieren, wenn man T und prauswirft:

U = f

2N k_BT ⇒ u= f

2k_BT ⇒ 1 T = f

2 k_B

u , pV =N k_BT ⇒ p T = k_B

v , ds= f

2kB

du

u +kdv

v ⇒ s−s0 = f

2kBln u

u₀ +kBln v v₀.

Die Integrationskonstanten sind s₀ = S₀/N₀, u₀ = U₀/N₀, v₀ = V₀/N₀, einsetzen liefert

S = S₀N

N₀ +N k_B f

2

ln U

U₀ + lnN₀ N

+

ln V

V₀ + lnN₀ N

= S₀N

N₀ +N k_B f

2 ln U

U₀

+ ln V

V₀

− f

2 + 1

ln N

N₀ .

3. Hauptsatz der Thermodynamik. Nehmen wir nun an, dass das Gas aus N =N₀ Teilchen besteht und im konstanten VolumenV =V₀ eingeschlossen ist, dann h¨angt U von der Temperatur ¨uberU = ^f₂N0kBT ab, also, mitU0 ≡ ^f₂N0kBT0,T0 = const.,

S(T) =S₀+ f

2N₀k_B ln T T₀.

F¨ur T → 0 divergiert dies, es l¨aßt sich kein S₀ finden, so dass S(T → 0) = 0 w¨are. Das “ideale Gas” ist eine brauchbare N¨aherung f¨ur ideale Gase nur bei hohen Temperaturen. Bei T → 0 muss die Quantennatur der Teilchen (Fermionen oder Bosonen) ber¨ucksichtigt werden, die zu einem nichtentarteten Grundzustand des Gases f¨uhrt. Dann folgt: S(T →0) = 0 .

2. Gas in Bewegung: (6+6+8+10=30 Punkte)

Betrachten Sie ein System von N klassischen nicht-wechselwirkenden Teilchen im D- dimensionalen Raum. Die Teilchen haben keine internen Freiheitsgrade. Nehmen Sie an, dass der Gesamtimpuls P~ =P

i~p_i erhalten bleibt.

(a) Betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t), wobei ~x = (~q, ~p) f¨ur einen vollen Satz von Koordinaten und Impulsen im Phasenraum steht. Zeigen Sie, dass jede Funktion im Phasenraum, die die Form

ρ(~x) =ρ(H(~x), ~P(~x))

hat, eine station¨are L¨osung der Liouville-Gleichung mit der Hamilton-Funktion H(~x) ist.

L¨osung:

Die klassische Liouville Gleichung lautet i∂ρ

∂t =−i

H , ρ . (4)

Die Poissonklammer ist im D-dimensionalen Raum folgendermaßen definiert:

f , g =

N D

X

j=1

∂f

∂pj

∂g

∂qj

− ∂f

∂qj

∂g

∂pj

. (5)

Impulserhaltung:

{Pα, H}= 0, α= 1. . . D.

F¨ur

f(~x) = f(J₀(~x), J₂(~x), . . . J_m(~x)) (6) gilt:

{f(~x), g(~x)}=

N D

X

i=1

∂f

∂p_i

∂g

∂q_i − ∂f

∂q_i

∂g

∂p_i

=

N D

X

i=1 m

X

α=0

∂f

∂J_α

∂J_α

∂p_i

∂g

∂q_i − ∂f

∂J_α

∂J_α

∂q_i

∂g

∂p_i

=

m

X

α=0

∂f

∂J_α {J_α, g}. (7) Es folgt mitJ₀(~x) =H(~x),J₁(~x) = P₁(~x), . . . , J_D(~x) =P_D(~x):

{ρ(~x), H(~x)}= ∂ρ

∂H{H, H}+

D

X

α=1

∂ρ

∂P_α{Pα, H}= 0. (8)

(b) Wir verallgemeinern nun das fundamentale Postulat der klassischen Statistischen Mechanik indem wir postulieren, dass die Gleichgewichtsverteilung eine uniforme Verteilung ¨uber die Hyperfl¨ache im Phasenraum ist, die durch konstante EnergieE und konstanten Impuls P~ beschrieben wird. Finden Sie einen expliziten Ausdruck f¨ur die normierte Gleichgewichtsverteilung ρ(~x) des Systems f¨ur D= 1.

Hinweis. Ein System mit endlichem Volumen bei gleichzeitig erhaltener Translati- onsinvarianz kann durch Teilchen auf einem Kreis mit UmfangLmodelliert werden.

F¨ur den Normierungsfaktor ist es ausreichend nur die Gesamtenergie- und Gesam- timpulsabh¨angigkeit zu bestimmen.F¨ur die explizite Berechnung des Normierungs- integrals erhalten Sie 5 Bonuspunkte.

Bemerkung:Die Normierung der Verteilung ρ(~x) ist durch Z

d~xρ(~x) = 1

gegeben, wobeid~x=C_Nd^{N D}pd^{N D}q und C_N so gew¨ahlt wird, dass d~x dimensionlos ist. Quantenmechanik:

C_N = 1 N!

1 (2π~)^DN,

wobei der Faktor 1/N! die Ununterscheidbarkeit der Partikel widerspiegelt.

L¨osung:

Konstante Energie E:

X

i

p²_i 2m =E.

Konstanter ImpulsP~:

X

i

p_i =P.

Mikrokanonische Gleichgewichtsverteilung (eine uniforme Verteilung ¨uber die Hy- perfl¨ache im Phasenraum):

ρ(~x) = A(E, P, N) δ

N

X

i=1

p²_i 2m −E

! δ

N

X

i=1

p_i−P

!

. (9)

Mitd^{N D}pd^{N D}q=QN

i=1dpidqibestimmen wir die NormierungsfaktorA(E, P, N) wie folgt:

1 = AC_N Z ^N

Y

i=1

dp_idq_i δ

N

X

i=1

p²_i 2m −E

! δ

N

X

i=1

p_i−P

!

= AC_NL^N Z ^N

Y

i=1

dp˜_i δ

N

X

i=1

˜ p²_i 2m −E˜

! δ

N

X

i=1

˜ p_i

!

= AC_NL^N(2m)^N/2E˜^N/2−1 Z ^N

Y

i=1

dz_i δ

N

X

i=1

z_i²−1

! δ

N

X

i=1

z_i

!

, (10) wobei

˜

p_i =p_i− P

N, E˜ =E− P²

2mN >0, z_i = p˜_i p2mE˜

. (11)

Damit erhalten wir den Normierungsfaktor in der Form:

A(E, P, N) = 1

(2m)^N/2(E−P²/2mN)^N/2−1L^NC_NI_N, (12) wobei

I_N = Z ^N

Y

i=1

dz_i δ X

i

z_i²−1

!

δ X

i

z_i

!

(13) nur von N abh¨angt.

Die Berechnung dieses Integrals war nicht explizit gefordert. L¨osung:

Die erste Delta-Funktion in Gl. (13) definiert eine Hypersph¨are mit dem Einheits- radius im N-dimensionalen Raum: P

iz_i² = 1. Die Delta-Funktion von P

iz_i in Gl. (13) definiert eine Hyperebene im N-dimensionalen Raum, die den Koordina- tenursprung durchl¨auft und orthogonal zu den Einheitsvektor

~

e⊥= 1

√

N (1, . . . , 1)^T ist:

~

z·~e⊥ = 1

√ N

N

X

i=1

z_i = 0, wobei

~z = (z₁, z₂, . . . , z_N)^T .

Das Produkt von zwei Delta-Funktionen in Gl. (13) definiert den Querschnitt, der wiederum eine Hypersph¨are eines Einheitsradius ist, aber jetzt im (N −1)- dimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Querschnitt einer Einheitskugel im drei- dimensionalen Fall mit einer Ebene, die durch den Ursprung geht, ein Kreis mit dem Einheitsradius.

Durch die lineare Variablensubstitution {z₁, . . . , z_N} → {˜z₁, . . . ,z˜_N−1, z⊥ =~z·~e⊥} mit Koordinaten {˜z1, . . . ,z˜N−1} in der Hyperebene ergibt das Integral ¨uber ˜zi die Oberfl¨ache σ_N−1 einer Einheitskugel im (N − 1)-dimensionalen Raum, die man entweder selbst ausrechnen oder nachschlagen kann:

I_N = Z

dz⊥ N−1

Y

i=1

d˜z_i

| {z }

dVN−1

δ

N−1

X

i=1

˜

z_i²+z²_⊥−1

! δ√

N z⊥

= 1

√N Z

dVN−1

| {z }

σN−1

R∞ 0 d˜rr˜^N−2

δ ˜r²−1

= σN−1

√N Z ∞

0

d˜r˜r^N−2δ(˜r−1)

˜

r+ 1 = σN−1

2√ N,

(14) wobei

σN = 2π^N/2 Γ(N/2) und Γ(x) die Eulersche Gamma-Funktion ist.

(c) Bestimmen Sie nun die 1-Teilchen-Verteilungsfunktion ρ₁(q₁, p₁) =

Z ^N Y

i=2

dp_idq_iρ(~x) (15) und dadurch die 1-Teilchen-Geschwindigkeitsverteilung f(v). Dr¨ucken Sie das Er- gebnis f¨urf(v) durch die Energie pro Teilchen ¯=E/N aus.

L¨osung:

Das Integral ist durch ρ₁(q₁, p₁) = A

Z ^N Y

n=2

dp_idq_i δ

N

X

i=1

p²_i 2m −E

!

δ X

i

p_i−P

!

(16)

= AL^N−1 Z ^N

Y

i=2

dp˜_i δ

N

X

i=1

˜ p²_i 2m −E˜

!

δ X

i

˜ p_i

!

= AL^N−1 Z ^N

Y

i=2

dp˜_i δ

N

X

i=2

˜ p²_i 2m −

E˜− p˜²₁ 2m

! δ

N

X

i=2

˜ p_i+ ˜p₁

!

gegeben, wobei ˜p und ˜E durch Gl. (11) gegeben sind. Durch die Variablensubstitu- tion

˜˜

pi = ˜pi+ p˜₁

N−1, E˜˜ = ˜E− p˜²₁

2m + p˜²₁

2m(N −1) (17)

erhalten wir folgendes Integral ρ₁(q₁, p₁) =AL^N−1

Z ^N Y

n=2

dp˜˜_iδ

N

X

i=2

˜˜ p²_i 2m −E˜˜

! δ

N

X

i+2

˜˜ p_i

!

. (18)

Wir sehen damit, dass wir ein Integral der Form (10) erhalten. Im Vergleich zu (10) werden ˜E zuE˜˜ und N zuN −1 ersetzt. Das Resultat ist daher

ρ₁(q₁, p₁) = AIN−1L^N−1(2m)^N−12 E˜˜^{N−12 −1}, (19) wobei die explizite Abh¨angigkeit von E˜˜ vom Impuls p₁ durch

˜˜

E =E− P²

2mN − (p₁−P/N)² 2m

N −2

N −1 (20)

gegeben ist. Die normierte 1-Teilchen-Geschwindigkeitsverteilung (p₁ =mv) lautet daher

f(v) =ACN−1I_N−1L^N−1m(2m)^N−12

"

N

¯ − p¯²

2m

− (mv−p)¯² 2m

N −2 N −1

#^N−3₂

=B



1− (mv−p)¯² 2mN

¯

−_2m^p¯2

N −2 N −1





N−3 2

, (21)

wobei ¯=E/N, ¯p=P/N und die Normierungskonstante B die Geschwindigkeits- unabh¨angigen Faktoren zusammenfasst.

(d) Finden Sie im Limes N 1 die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v^∗, die durch

∂f

∂v v=v^∗

= 0

definiert ist, die mittlere Geschwindigkeit hvi und die Kumulante hv²i − hvi². L¨osung:

Durch

1− x

N N

→e^−x, N 1

kann die 1-Teilchen-Geschwindigkeitsverteilung im Limes N 1 als f(v)^N1≈ B exp



− (mv−p)¯² 4m

¯

− _2m^p¯2



 (22) geschrieben werden. Mit

¯ − p¯²

2m = k_BT 2

entspricht Gl. (22) der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung um ¯p/m:

f(v) =B exp

− m˜v² 2k_BT

, (23)

wobei ˜v =v−p/m.¯

Unter Normierung der 1-Teilchen-Geschwindigkeitsverteilung, R

dvf(v) = 1, ergibt sich

f(v) =

r m

2πk_BT exp

− m˜v² 2k_BT

(24) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ergibt sich aus

∂f

∂v v=v^∗

=− s

m³ 2π(kBT)³

v^∗− p¯ m

e⁻

m(v∗−¯p/m)2

2kB T = 0 (25)

Dies ist erf¨ullt f¨ur

v^∗ = p¯ m. Die mittlere Geschwindigkeit ist durch

hvi= Z

dvvf(v) =

r m 2πk_BT

Z

dvve⁻

m(v−¯p/m)2 2kB T = p¯

m =v^∗ (26) gegeben. Weiterhin gilt

hv²i= Z

dvv²f(v) =

r m 2πkBT

Z

dvv²e⁻

m(v−¯p/m)2

2kB T = k_BT m + p¯²

m². (27) Die Kumulante ist

hv²i − hvi² = kBT

m . (28)

3. Dichtematrix f¨ur den Spin-1/2: (6+14=20 Punkte) F¨ur einen Spin-1/2 kann man die Dichtematrix durch den Polarisationsvector P aus- dr¨ucken:

ˆ ρ= 1

2

1 + ˆPˆσ

. (29)

(a) Zeigen Sie, dass wenn |P|= 1, dann ist der Spin in einem reinen Zustand, der mit der folgenden Wellenfunktion dargestellt werden kann:

Ψ =

cosθ/2 e^iφsinθ/2

. (30)

Die zwei Winkel legen die Richtung von Pfest:

P=|P|(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ).

L¨osung:

Wenn das System nur aus einem reinen Zustand besteht, dann gilt f¨ur die Dichte- matrix

ˆ ρ² = ˆρ.

F¨ur einen Spin-1/2 ˆ

ρ² = 1 4

1 + ˆPσˆ 1 + ˆPˆσ

= 1 4

1 +|P|²+ 2 ˆPσˆ

= ˆρ+1

4 |P|² −1 . Es folgt dass wenn der Spin in einem reinen Zustand ist, dann|P|= 1.

Weiterhin, kann man die Dichtematrix eines reinen Zustandes durch die Wellen- funktion des gleichen Zustandes ausdr¨ucken:

ρ_σσ⁰ = Ψ_σΨ^∗_σ0. Es erfolgt

ΨΨ^∗ =

cosθ/2 e^iφsinθ/2

cosθ/2 e^−iφsinθ/2

=

cos^2θ₂ e^−iφsin^θ₂cos^θ₂ e^iφsin^θ₂cos₂^θ sin^{2 θ}₂

= 1 2

1 + cosθ sinθ(cosφ−isinφ) sinθ(cosφ+isinφ) 1−cosθ

= 1

2[1 + cosθσˆ_z+ sinθcosφσˆ_x+ sinθsinφ σˆ_y] = 1 2

1 + ˆPσˆ , wobei

P= (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ); |P|= 1.

(b) Betrachten Sie nun ein System, das aus zwei Spin-1/2-Teilchen besteht. Berechnen Sie f¨ur alle vier Quantenzust¨ande des Gesamtsystems |S, S^zi, wobei S = s₁ +s₂, die reduzierte Dichtematrix des Teilchens 1:

ˆ

ρ1 = Tr2ρˆ=X

s^z₂

hs^z₂|ρ|sˆ ^z₂i. (31)

Die Dichtematrix ˆρ des Gesamtsystems ist durch ˆ

ρ=|S, S^zihS, S^z|

gegeben. In welchen der vier Zust¨ande befindet sich das Teilchen 1 in einem reinen Zustand? Berechnen Sie Tr[ ˆρ₁ln ˆρ₁] f¨ur alle vier Zust¨ande.

L¨osung:

Laut Definition

(ρ₁)_σσ0 = Tr₂ρˆ=X

σ2

Ψ_S,S^z(σ, σ₂)Ψ^∗_S,Sz(σ⁰, σ₂).

Hier Ψ_S,S^z(σ, σ₂) ist die Wellenfunktion des Systems im Zustand |S, S^zi, die in dem Basis ausdr¨ucken wird, das aus Eigenvectoren von s^z₁ und s^z₂ besteht. Diese Wellenfunktionen sind

Ψ₁₁ =|1,1i=|↑₁i |↑₂i= 1

0

1

1 0

2

;

Ψ1,−1 =|1,−1i=|↓₁i |↓₂i= 0

1

1

0 1

2

; Ψ_1,0 =|1,0i= 1

√2(|↑₁i |↓₂i+|↓₁i |↑₂i) = 1

√2 1

0

1

0 1

2

+ 0

1

1

1 0

2

.

Ψ_0,0 =|0,0i= 1

√2(|↑₁i |↓₂i − |↓₁i |↑₂i) = 1

√2 1

0

1

0 1

2

− 0

1

1

1 0

2

.

Nach der einfachen Matrizenmultiplikation bekommen wir ˆ

ρ₁(S= 1, S^z = 1) = 1 0

0 0

= 1

2(1 + ˆσ_z), (32) ˆ

ρ₁(S = 1, S^z =−1) =

0 0 0 1

= 1

2(1−σˆ_z), (33) ˆ

ρ₁(S= 0, S^z = 0) = ˆρ₁(S = 1, S^z = 0) = 1 2

1 0 0 1

. (34)

In den ersten zwei Zust¨ande (S = 1,S^z =±1) befindet sich das Teilchen 1 in einem reinen Zustand, weil es aus Gl. (32) und Gl. (33) folgt, dass P= (0,0,±1).

Im Gegenteil, werden die Zust¨ande mit S^z = 0 sich durch P= 0 ausgezeichnet.

Benutzen wir die Gleichungen (32), (33), und (34). Der Matrixlogarithmus ist als inverse des Matrixpotentials definiert, d.h. die MatrixL= lnρk¨onnen wir schreiben alsρ= expL. Die obigen Matrizen sind alle diagonal, deshalb k¨onnen wir ausnutzen, dass e^{diag(x1,...,xN)} = diag (e^x1, ..., e^xN). Es erfolgt:

S = 0,1, S^z = 0 : Tr[ ˆρ₁ln ˆρ₁] =−ln 2, (35) S = 1, S^z =±1 : Tr[ ˆρ₁ln ˆρ₁] = 0. (36) Bemerkung:Die Spur Tr[ ˆρ1ln ˆρ1] ergibt die von-Neumann-Entropie des Spins 1:

S₁ =−k_BTr[ ˆρ₁ln ˆρ₁] =−k_Bhlnρ₁i₁.