Multiple-Choie-Test (20Punkte)
Bei jederMC-Aufgabeist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoh bei einerMC-Aufgabe
keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese Aufgabe als niht bearbeitet und wird mit 0 Punkten
bewertet.
Ansonsten gibt es fur jede falshe Antwort 0:5 Punkte, und fur jede korrekte Antwort 0.5
Punkte,sodassmanproMC-Aufgabe 2bis2Punkteerreihenkann. DaausdemMC-TestalsGanzes
keinenegativenPunkteentstehendurfen,kannman bei10MC-Aufgabeninsgesamt zwishen 0und
20Punktenerreihen.
UmFluhtigkeitsfehlernvorzubeugen,sinddurhgangig nurkorrekte Aussagenanzukreuzen.
MC1KreuzenSie allekorrektenAussagenan.
DieKonditionszahl einerFunktion gibtan,wiestarksih Eingabefehlerverstarken,wenn man ex-
akteArithmetikzurAuswertungbenutzt.
DieKonditionszahleinerFunktionistniegroerals1.
EinstabilerAlgorithmusimpliziert einegute Kondition.
DieKonditionszahleinerFunktiongibtan,wiestarksihEingabefehleraufgrundvonInstabilitaten
imverwendetenAlgorithmusverstarken.
MC2. FurA 2R nn
mit det(A)6=0undb;b; x;x2R n
mit b 6=0seix die LosungvonAx=b
undx+xdieLosungvonA(x+x)=b+b. Esseik:keineVektornormaufR n
bzw. diezugehorige
Matrix{NormaufR nn
. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
kxk
kxk
kAkkA 1
k kbk
kbk
kxk
kxk
kAkkAk 1
kbk
kbk
kxkkA
1
kkbk
kxkkAkkbk
MC3.EsseiA2R nn
eineallgemeine,regulareMatrixundx;b2R n
mitAx=b. WeiterseiR2R nn
eineregulare, obere Dreieksmatrixund S 2R nn
einesymmetrishe, positiv{deniteMatrix. Kreuzen
SieallekorrektenAussagenzurZahlderbenotigtenOperationen(kurz\Ops")(nurMultiplikationenund
Divisionen)an.
DieLosungvonRx=b benotigtn 3
+O(n 2
)Ops
DieLosungvonAx=b perGaueliminationbenotigt n
3
3 +O(n
2
)Ops
DieLosungvonSx=bperCholeskyzerlegungbenotigt n
3
3
+O(n 2
)Ops
DieLosungvonSx=bperCholeskyzerlegungbenotigt n
3
6
+O(n 2
)Ops
MC4. EsseienA2R mn
undb2R m
mitRang(A)=n. WeiterseiQ2R mm
eineorthogonaleMatrix
undR2R mn
eineobereDreieksmatrix,sodassQA=Rgilt. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
kAx bk
2
=kRx Qbk
2
furalle x2R n
kAx bk
2
=kQRx bk
2
fur alle x2R n
DieMatrixRkannman mittelsGivens{Rotationenbestimmen
DieMatrixRkannman mittelsGau{Eliminationbestimmen
MC 5. Es sei : R ! R stetig dierenzierbarund x
so, dass(x
)=x
gilt. Fur x
0
2 R wird die
Fixpunktiterationx
k +1
=(x
k
); k=0;1;2;:::deniert. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
Falls 0
(x
)<0gilt,soexistiertkeinx
0 6=x
mit lim
k !1 x
k
=x
Fallsj 0
(x
)j<1gilt,sokonvergiertdieFixpunktiterationfuralleStartwertemitjx
0 x
j hinrei-
hend klein
DieKonvergenzordnungderFixpunktiterationistin derRegelgroerals1
Falls 0
(x
)=0gilt,sokonvergiertdieFixpunktiterationfuralleStartwertemitjx
0 x
jhinreihend
klein,unddieKonvergenzordnungistgroerals1
benutzt. Diesedientdazu,
dieKonvergenzordnungdesVerfahrenszuverbessern
globaleKonvergenzdesVerfahrenszugewahrleisten
denEinzugsbereihdesVerfahrenszuvergroern
denRehenaufwandproIterationzudampfen
MC7. EsseiP(f
x
0
;:::;x
n
)dasLagrange{InterpolationspolynomzudenDaten(x
0
;f(x
0
));:::;(x
n
;f(x
n ))
mitx
0
<:::<x
n
. KreuzenSieallekorrektenAussagen an.
P(
x
0
;:::;x
n
)=furallePolynome
P(f
x
0
;:::;x
n )(x
i )=f(x
i
)furi=0;1;:::;n
P(f
x
0
;:::;x
n
)(x)=f(x)furallex2[x
0
;x
n
℄
DerFehlermax
x2[x0;xn℄
P(f
x
0
;:::;x
n
)(x) f(x)
wirdfur wahsendesnimmerkleiner
MC 8. Es sei I :=
R
d
f(x)dx, h :=d , m >0 und x
j
=+ jh
m
fur j = 0;:::;m. Wir denieren
I
m (f) :=
R
d
P(f
x
0
;:::;x
m
)(x)dx wobei P(f
x
0
;:::;x
m
) das Lagrange{Interpolationspolynomzu
denDaten(x
0
;f(x
0
));:::;(x
n
;f(x
m
))mit x
0
<:::<x
m
ist. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
I
m
(f)deniertdieGau-QuadraturzurApproximationvonI
I
2 (f)=
h
6
f()+4f(
d+
2
)+f(d)
Furallemgilt: I
m (f)=
P
m
i=0 w
i f(x
i )mitw
i 0
I
m (x
k
)= R
d
x
k
dxfurallek=0;:::;m
MC9. GegebenseidasAnfangswertproblem
y 000
(t)+y 0
(t) 2
=ty(t)+e t
mit y(0)=0; y 0
(0)=3; y 00
(0)=1:
Wir setzen z(t) = (z
1 (t);z
2 (t);z
3 (t))
T
. Kreuzen Sie an, welhe der folgenden Anfangswertprobleme zu
demobigenProblemaquivalentsind.
z
0
(t)= 0
z
2 (t)
z
3 (t)
tz
1 (t) z
2 (t)
2
+e t
1
A
mit z(0)= 0
3
0
1 1
A
z
0
(t)= 0
z
2 (t)
z
3 (t)
tz
1 (t) z
2 (t)
2
+e t
1
A
mit z(0)= 0
0
3
1 1
A
z
0
(t)= 0
z 0
2 (t)
z 0
3 (t)
tz
1 (t) z
2 (t)
2
+e t
1
A
mit z(0)= 0
0
3
1 1
A
z
0
(t)= 0
tz
1 (t)
z
2 (t)
2
z
3 (t)+z
2 (t)
2 1
A
mit z(0)= 0
0
3
1 1
A
MC10. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
FursteifeProblemeistdasimpliziteEuler{VerfahrenbessergeeignetalsdasexpliziteEuler{Verfahren,
weilbeimimplizitenVerfahrendieKonsistenzordnunghoherist
FursteifeProblemeistdasimpliziteEuler{VerfahrenbessergeeignetalsdasexpliziteEuler{Verfahren,
weilbeimimplizitenVerfahrendieKonvergenzordnunghoher ist
DasStabilitatsintervalldesklassishenRunge{Kutta{Verfahrensist( 1;0)
Essei
A= 0
0 2 1
20 10 0
0:1 0:4 0 1
A
und b= 0
3
20
1:3 1
A
:
a) FuhrenSieeineZeilenskalierungvonAdurh. GebenSiedieentsprehendeDiagonalmatrixD(mit
skalierterMatrixB:=DA)explizitan.
b) BestimmenSie die LR-ZerlegungvonB mit Spaltenpivotisierung, d.h. PB =LR . GebenSie die
MatrizenP,LundR explizitan.
) LosenSie daslineareGleihungssystemAx=b unterVerwendungaller Matrizen(D,P,L,R ).
Aufgabe 2 (10Punkte)
GegebenseidaslineareAusgleihsproblem
kAx bk
2
! min
x2IR 2
; (1)
mit A:=
0
3 2
4 0
0 1 1
A
; b:=
0
1
2
3 1
A
a) Losen SiedasAusgleihsproblem(1)mittels Householder-Spiegelungen. GehenSie dabeinihtzu
denNormalgleihungen
uber(sonst0Punkte!).
b) BerehnenSiedieNormdesResiduums. SetzenSiehierzunihtdieLosungausa)in(1)ein(sonst
0Punkte!).
Aufgabe 3 (11Punkte)
Gegebenseidie2D-Fixpunktgleihung
x
y
= 0
B
r
1 y
2
4
3
4 sin
x+y
2
1
C
A
=:
F
1 (x;y)
F
2 (x;y)
=:F(x;y)
a) ZeigenSie, dassdieVoraussetzungendesFixpunktsatzesvonBanahfurden BereihE :=[0;1℄
[0;1℄erfulltsind. VerwendenSiediekk
1 -Norm.
Hinweis: DieFunktionf(y):=
y
4 q
1 y
2
4
istmonotonfallendin [0;1℄.
b) Fuhren Sie ausgehend vom Startwert (x
0
;y
0
) := (0:9;0:2) zwei Fixpunktiterationen durh, d.h.
berehnenSie(x
2
;y
2 ).
) WievieleIterationsshrittesindausgehendvomStartwert (x
0
;y
0
):=(0:9;0:2) hohstenserforder-
lih, umdenFixpunktin derkk
1
-NormbisaufeinenFehlervon":=10 3
anzunahern?
d) GebenSieeinea{posteriori{Fehlerabshatzungfur(x
2
;y
2
)anunterVerwendungderkk
1 -Norm.
Aufgabe 4 (8Punkte)
GegebenseidieWertetabelle
x
i
0 1 2
y
i
0 0.7468 0.8821
a) BestimmenSieanderStellex=1:5denWert p
2
(1:5)desInterpolationspolynomszweiten Grades,
indemSiedaszugehorigeNeville-Aitken-Shemaaufstellen. GebenSiep
2
(1:5)explizitan.
b) GebenSieeinemoglihstsharfeFehlerabshatzungfurp
2
(1:5)unterderAnnahme,dassdieWerte
zuderFunktiony(x):=
R
x
0 e
t 2
dtgehoren,unddassdieNullstellenderviertenAbleitungvony(x)
p
