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5. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

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Academic year: 2021

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AG Theorie der k¨ unstlichen Intelligenz FB Mathematik und Informatik, Universit¨ at Bremen

Prof. Dr. Carsten Lutz

MZH 3090 clu@uni-bremen.de Tel.: 0421/218-64431

5. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

” Logik“

Aufgabe 21: 25 Prozent

Man kann den Sequenzenkalk¨ ul um Regeln erweitern, um Beweise abzuk¨ urzen. Daf¨ ur ist es notwendig, dass die hinzugenommenen Regeln korrekt sind, sonst k¨ onnte man Formeln ableiten, die keine Tautologien sind. Entscheide, ob die folgenden Regeln korrekt sind:

(a)

Γ, ∃x.ψ(x) ⇒ ∆, ∀x.ϕ(x) Γ, ∀x.ψ(x) ⇒ ∆, ∃x.ϕ(x)

(b)

Γ, ∀x.(ϕ(x) → ψ(x)) ⇒ ∆ Γ, ψ(c) ⇒ ∆ϕ(c)

(c)

Γ, ¬ϕ ⇒ ψ Γ, ¬ϕ ⇒ ¬ψ Γ ⇒ ϕ

(d)

Γ, ϕ 1 ⇒ ψ 1 Γ, ϕ 2 ⇒ ψ 2

Γ, ϕ 1 ∨ ϕ 2 ⇒ ψ 1 ∨ ψ 2

(e)

Γ, ϕ 1 ⇒ ψ 1 Γ, ϕ 2 ⇒ ψ 2

Γ, ϕ 1 ∨ ϕ 2 ⇒ ψ 1 ∧ ψ 2

Aufgabe 22: 25 Prozent

Offensichtlich sind die FO-Formeln (a) ∃x.P (x) → ∀y.P(y)

(b) ∃x.P (x) ∧ ∃x.Q(x) → ∃y.(P (y) ∧ Q(y))

keine Tautologien. Aus dem Vollst¨ andigkeitssatz des SK folgt, dass die Sequenzen (a) ∃x.P (x) ⇒ ¬∃y.¬P (y)

(b) ∃x.P (x) ∧ ∃x.Q(x) ⇒ ∃y.(P (y) ∧ Q(y))

nicht ableitbar sind. Gib jeweils die im Beweis des Vollst¨ andigkeitssatzes konstruierte Herbrandstruktur H an und argumentiere, dass H kein Modell der Formel ist.

Aufgabe 23: 25 Prozent

Sei τ eine endliche Signatur. Es ist bekannt, dass die Menge der FO(τ)-Formeln rekursiv aufz¨ ahlbar ist.

(a) Zeige, dass die Menge aller endlichen τ-Strukturen rekursiv aufz¨ ahlbar ist.

(b) Verwende (a) um zu beweisen, dass die Menge aller FO(τ)-Formeln, die ein endliches Modell haben, rekursiv aufz¨ ahlbar ist.

(c) Verwende Trakhtenbrots Theorem, um zu beweisen, dass die Menge aller FO(τ)-Formeln, die kein endliches

Modell besitzen, nicht rekursiv aufz¨ ahlbar ist.

(2)

Aufgabe 24: 25 Prozent

Gegeben seien die folgenden Strukturen A und B.

A:

a 1

a 2

a 3

a 4 B: b 1

b 2 b 3

b 4

b 5

Im Folgenden schreiben wir {(a i

1

, b i

1

), . . . , (a i

n

, b i

n

)} f¨ ur die partielle Funktion, die a i

j

auf b i

j

abbildet f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ n.

(a) Pr¨ ufe, ob die folgenden partiellen Funktionen partielle Isomorphismen von A nach B sind. Gib jeweils eine Begr¨ undung an.

(i) {(a 1 , b 3 ), (a 2 , b 4 )}

(ii) {(a 1 , b 4 ), (a 2 , b 3 )}

(iii) {(a 3 , b 5 ), (a 1 , b 2 ), (a 2 , b 3 )}

(iv) {(a 3 , b 5 ), (a 1 , b 3 ), (a 2 , b 4 )}

(b) Gib einen partiellen Isomorphismus δ von A nach B mit einem Definitionsbereich der Gr¨ oße 4 an. Ist δ auch ein Isomorphismus von A nach B?

(c) Gibt es f¨ ur ein Ehrenfeucht-Fra¨ısse-Spiel auf A und B mit k = 3 Runden eine Gewinnstrategie f¨ ur den Spoiler? Begr¨ unde deine Antwort.

Aufgabe 25: 25 Prozent (Zusatzaufgabe)

Sei R ein bin¨ ares Relationssymobol und R A dessen Interpretation in der Struktur A. Die transitive H¨ ulle von R A ist definiert als die Menge aller Paare (a, b) ∈ A × A, f¨ ur die es einen endliche Folge von Elementen a 0 , . . . , a n aus A gibt, so dass gilt:

(a) a 0 = a, (b) a n = b, und

(c) f¨ ur alle 0 ≤ i < n gilt (a i , a i+1 ) ∈ R A .

Zeige mit Hilfe des Kompaktheitssatzes, dass die transitive H¨ ulle nicht FO-definierbar ist, d.h. dass es keine FO- Formel ψ(x, y) gibt, sodass f¨ ur alle Strukturen A und alle a, b ∈ A gilt A | = ψ(a, b) genau dann, wenn (a, b) in der transitiven H¨ ulle von R A enthalten ist.

Hinweis: Definiere f¨ ur alle n ≥ 1 eine Formel ϕ n (x, y), die ausdr¨ uckt, dass y genau durch n “Schritte” in R A von x aus zu erreichen ist. Betrachte dann die (unendliche!) Formelmenge

{ψ(a, b)} ∪ {¬ϕ n (a, b) | n ≥ 1}

und erzeuge mit Hilfe der Kompaktheit einen Widerspruch.

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