Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie - Repetitionsserie Teil 1

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(1)In[ ]:=. Remove["Global`*"]. Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie - Repetitionsserie Teil 1 Bei den folgenden Aufgaben sind zum Teil verschiedene Lösungswege dargestellt und auch Wege zur Löungsfindung stehen gelassen worden, welche nicht direkt zur Lösung geführt haben , aber zu einem kurzes Nachdenken anregen sollen.. In[ ]:=. Remove["Global`*"] Remove: There are no symbols matching "Global`*".. Aufgabe 6 Wir gehen dabei von folgenden Punkten aus: A=(2/1/-3) , B=(-3/0/1) und C = (7/-1/-1) A = {2, 1, - 3}; B = {- 3, 0, 1}; F = {7, - 1, - 1}; (* Beachte, dass C,D und E im Mathematica protected symbols sind *) In[ ]:=. MatrixForm[A] MatrixForm[B] MatrixForm[F]. Out[ ]//MatrixForm=. 2 1 -3 Out[ ]//MatrixForm=. -3 0 1 Out[ ]//MatrixForm=. 7 -1 -1. Aufgabe a) In[ ]:=. MatrixForm[B - A]. Out[ ]//MatrixForm=. -5 -1 4.

(2) 2. RepSerie1_Aufg6.nb. Aufgabe b) In[ ]:=. MatrixForm[B + 0.5 * (F - B)]. Out[ ]//MatrixForm=. 2. - 0.5 0. (* Beachte die Schreibweise für die skalare Multiplikation: * oder aus MathAssistant × *) MatrixForm[B + 0.5 × (F - B)] Out[ ]//MatrixForm=. 2. - 0.5 0.. Aufgabe c) für α : In[ ]:=. Out[ ]=. ArcCos[(B - A).(F - A) / (Norm[B - A] * Norm[F - A])] ArcCos-. 5. . 154 In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. % // N 1.98549 % * 180  π 113.76 113.76031590797703`. für β : In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. Solve[(A - B).(F - B) ⩵ Norm[A - B] * Norm[F - B] * Cos[x], x] x → ConditionalExpression- ArcCos. 19.  + 2 π 1 , 1 ∈ ℤ, 7 10 19 x → ConditionalExpressionArcCos  + 2 π 1 , 1 ∈ ℤ 7 10. NSolve[(A - B).(F - B) ⩵ Norm[A - B] * Norm[F - B] * Cos[x], x] x → ConditionalExpression1. - 0.538785 + 6.28319  1 , 1 ∈ ℤ, x → ConditionalExpression1. 0.538785 + 6.28319  1 , 1 ∈ ℤ (* Überlege dir, warum der obige (N)Solver unendlich viele Lösungen angibt und du nur eine davon brauchen kannst *). In[ ]:= Out[ ]=. 0.5387854201856095` * 180  π 30.8701.

(3) RepSerie1_Aufg6.nb. für γ : In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. ArcCos[(A - F).(B - F) / (Norm[A - F] * Norm[B - F])] // N 0.617315 % * 180  π 35.3696. Aufgabe d) In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. Norm[A - B] + Norm[B - F] + Norm[F - A] 33 +. 42 +. 105. % // N 22.4723 MatrixForm[B + 0.5 * (F - B). Aufgabe e) (*. Verwende eigene Lösungswege .... das Resultat ist: 17.037 *). Aufgabe f*) In[ ]:=. M = {x, y, z};. In[ ]:=. Solve[Norm[A - M] ⩵ Norm[B - M]] Solve: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.. Out[ ]=. z → -. 1. +. 2 In[ ]:=. 5x. +. 4. y. . 4. Solve[Norm[A - M] ⩵ Norm[F - M]] Solve: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.. Out[ ]=. z →. 37. -. 4 In[ ]:=. 5x 2. + y. Solve[Norm[F - M] ⩵ Norm[B - M]] Solve: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.. Out[ ]=. z → -. 41 4. +5x-. y 2. . 3.

(4) 4. RepSerie1_Aufg6.nb. In[ ]:=. Solve[Norm[A - M] ⩵ Norm[B - M] && Norm[A - M] ⩵ Norm[F - M] && Norm[F - M] ⩵ Norm[B - M]] Solve: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.. Out[ ]=. In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:=. In[ ]:=. y → - 13 + 5 x, z → -. 15 4. +. 5x. . 2. Expand[Norm[A - M] ⩵ Norm[B - M]] Abs[2 - x]2 + Abs[1 - y]2 + Abs[- 3 - z]2 ⩵. Abs[- 3 - x]2 + Abs[y]2 + Abs[1 - z]2. Simplify[Norm[A - M] ⩵ Norm[B - M]] Abs[3 + x]2 + Abs[y]2 + Abs[1 - z]2 ⩵. Abs[2 - x]2 + Abs[1 - y]2 + Abs[3 + z]2. (A - M).(A - M) 2 - x2 + 1 - y2 + - 3 - z2 Expand[(A - M).(A - M)] 14 - 4 x + x2 - 2 y + y2 + 6 z + z2 Expand[(A - M).(A - M) - (B - M).(B - M)] 4 - 10 x - 2 y + 8 z Expand[(A - M).(A - M) - (F - M).(F - M)] - 37 + 10 x - 4 y + 4 z Expand[(F - M).(F - M) - (B - M).(B - M)] 41 - 20 x + 2 y + 4 z. G = {{- 10, - 2, 8}, {10, - 4, 4}, {- 20, 2, 4}}; b = {4, - 37, 41}; MatrixForm[G] MatrixForm[b]. Out[ ]//MatrixForm=. - 10 - 2 8 10 - 4 4 - 20 2 4 Out[ ]//MatrixForm=. 4 - 37 41.

(5) RepSerie1_Aufg6.nb. In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:=. Out[ ]=. Solve[G.M ⩵ b] y → 13 + 5 x, z →. 15 4. +. 5x. . 2. LinearSolve[G, b] 3 11 - , , 0 2 2 (* Vergleiche hierzu das Dokument zu Bemerkungen zum Befehl LinearSolve... *). In[ ]:=. augmG = {{- 10, - 2, 8, 4}, {10, - 4, 4, - 37}, {- 20, 2, 4, 41}}; MatrixForm[augmG]. Out[ ]//MatrixForm=. - 10 - 2 8 4 10 - 4 4 - 37 - 20 2 4 41 In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:=. RowReduce[augmG] 2 3 11 1, 0, - , - , 0, 1, - 2, , {0, 0, 0, 0} 5 2 2 % // MatrixForm. Out[ ]//MatrixForm=. 1 0 -2 -3 5. In[ ]:=. 0 1 -2. 2 11 2. 0 0. 0. 0. g[t_] := {{1.5 + 0.4 t}, {- 5.5 + 2 t}, {0 + t}}; MatrixForm[g[t]]. Out[ ]//MatrixForm=. 1.5 + 0.4 t - 5.5 + 2 t t In[ ]:=. H[r_, s_] := {{2 - 5 r + 5 s}, {1 - r - 2 s}, {- 3 + 4 r + 2 s}} MatrixForm[H[r, s]]. Out[ ]//MatrixForm=. 2-5r+5s 1-r-2s -3 + 4 r + 2 s In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:=. Solve[g[t] ⩵ H[r, s], {t, r, s}] {{t → 1.97674, r → 0.810078, s → 0.868217}}. g[t] /. t → 1.9767441860465114`. 5.

(6) 6. RepSerie1_Aufg6.nb. In[ ]:=. {{2.2906976744186047`}, {- 1.5465116279069773`}, {1.9767441860465114`}} // MatrixForm. Out[ ]//MatrixForm=. 2.2907 - 1.54651 1.97674 In[ ]:=. H[r, s] /. {r → 0.8100775193798448`, s → 0.8682170542635659`} // MatrixForm. Out[ ]//MatrixForm=. 2.2907 - 1.54651 1.97674. Der gesuchte Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten M = ( 2.291 / -1.547 / 1.977 ). Aufgabe g*) In[ ]:=. Out[ ]=. In[ ]:=. Out[ ]=. {H[r, s] /. {r → 0.8100775193798448`, s → 0.8682170542635659`}} + 13  Normg[t] /. t → 1.9767441860465114` * g[t] /. t → 1.9767441860465114` {{{11.0544}, {- 7.4631}, {9.5393}}} {H[r, s] /. {r → 0.8100775193798448`, s → 0.8682170542635659`}} 13  Normg[t] /. t → 1.9767441860465114` * g[t] /. t → 1.9767441860465114` {{{- 6.47297}, {4.37007}, {- 5.58581}}}. Abstandskontrolle: In[ ]:=. In[ ]:= Out[ ]=. In[ ]:= Out[ ]=. MP = {2.2906976744186047`, - 1.5465116279069773`, 1.9767441860465114`}; P = {11.054361882205583`, - 7.4630971082910795`, 9.5392970557104`}; Q = {- 6.472966533368372`, 4.370073852477126`, - 5.585808683617376`}; Norm[MP - P] 13. Norm[MP - Q] 13..

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