Vektorgeometrie 1. Teil

Vektorgeometrie

1. Teil

SprachProfil - Mittelstufe KSOe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

6. Mai 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Einf¨uhrung &

die analytische Darstellung der Vektoren 1

2 Vektoren & die Grundoperationen 5

2.1 ImR² . . . 5

2.1.1 Erste komponentenfreie Anwendungen . . . 12

2.2 ImR³ . . . 15

2.2.1 Der Normw¨urfel - eine ¨Ubungen f¨ur das r¨aumllichen Vorstellungsverm¨ogen . 16 2.3 Erste Anwendungen in der Komponentenschreibweise. . . 22

2.3.1 Der Vektor vonAnachB . . . 22

2.3.2 Der Mittelpunkt der Strecke P Q . . . 23

2.3.3 Der Abstand zweier Punkte P Q . . . 24

3 Das Skalar- & Vektorprodukt 28 3.1 Das Skalaraprodukt . . . 28

3.2 Das Vektorprodukt . . . 31

I

1 Einf¨ uhrung &

die analytische Darstellung der Vektoren

Aus der Physik

• wissen wir schon was Vektoren sind:

• und kennen auch schon Beispiele von vektoriellen Gr¨ossen:

• und nicht-vektorielle Gr¨ossen:

• und eine Darstellungsm¨oglichkeiten:

Um mit den Vektoren auch rechnerisch umgehen zu k¨onnen brauchen wir eineanalytischeDarstellung, welche wir uns im Folgenden sportlich erarbeiten wollen:

Auf dem Fussballfeld

• Wer braucht mehr Kraft f¨ur einen Torschuss? (Schuss in die Mitte es Tores)

– K oder R ? – K oder L ? – K oder M ?

2

• Wir k¨onnen Spielz¨uge auch zusammensetzen:

– S spielt auf N , N spielt auf’s Tor.

S spielt direkt auf’s Tor:

– R spielt auf M , M spielt auf L , L spielt auf’s Tor.

R spielt direkt auf’s Tor:

• Oder bestimmen wo ein Spieler stehen muss:

– R spielt ab mit 12

−10

. Kommt der Ball zu M ?

– N spielt ab mit 7

0

. Kommt der Ball zu L ?

– S spielt ab mit 17

4

.

Wo muss der Torwart stehen, um den Ball halten zu k¨onnen ?

• Letzte Frage:

Warum Trifft M mit 5

4

nicht das Tor ?

Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie 1

4

2 Vektoren & die Grundoperationen

2.1 Im R

Wir wollen in diesem Kapitel die analytische und geometrische Definition der Vektoren und ihrer Grundoperationen zusammentragen:

Def.: Addition zweier Vektoren

Bem.: • Die Addition mehrere Vektoren wird analog definiert.

• Die Addition von Vektoren ist . . . – kommutativ, d.h.:

– assoziativ, d.h.:

Aufgaben : Beweisegeometrischdie Kommutativit¨at und die As- soziativit¨at der Addition von Vektoren:

6

Def.: Dieskalare Multiplikation

Bem.: • derNullvektor

• mit λ=−1 erhalten wir den sog.Kehrvektor:

• es gilt dasDistributivgesetz, d.h.:

Aufgaben : Beweise geometrisch, dass das Distributivgesetz erf¨ullt ist:

8

Mit Hilfe der skalaren Multiplikation k¨onnen wir nun auch die Subtraktion zweier Vektoren definieren, indem wir sie auf die Addition zur¨uckf¨uhren:

Def.: Subtraktion zweier Vektoren

Bem.: • Im Kr¨afteparallelogramm k¨onnen wir die Addition & Sub- traktion zweier Vektoren anschaulich zusammenfassen:

• Die Subtraktion l¨asst sich f¨ur drei und mehrere Vektoren analog definieren.

Aufgaben : Beweise geometrisch, dass die Subtraktion nicht- kommutativ und nicht-assoziativ ist:

10

Beispiel 2.1.1 Gegeben sind die Vektoren~a,~b und~c(selber frei w¨ahlbar) und die skalaren Gr¨ossenλ= 1.5 undµ=−2.

Konstruiere

1. λ·~a+µ·~b−~c 2. µ·(~b−~a) +~c

3. ~a−λ·(~b−µ~a) + 1.5·~b 4. 2·~a+ 3·~b−2·(~c+~a)−µ·~c

Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie 2 / 1,2,3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

2.1.1 Erste komponentenfreie Anwendungen

Wir wollen mit Hilfe der komponentenfreien Darstellung von Vektoren noch die folgenden (bekannten) Eigenschaften aus der Geometrie beweisen:

Beispiel 2.1.2 In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen.

12

Beispiel 2.1.3 In einem beliebigen Dreieck teilen sich die Schwerlinien im Verh¨altnis 1:2.

Aufgaben : Beweise die folgende Behauptung:

In einem beliebigen Dreieck teilen sich die Schwerlinien im Verh¨altnis 1:2.

(F¨uhre den Beweis an der Schwerlineie sb

durch)

14

2.2 Im R

Die Definitionen der Grundoperatione f¨ur Vektoren imR³erfolgt analog zu den Definitionen imR², nur dass die Vektoren eine dritte Komponente erhalten:

• analytische Darstellung:

• graphische Darstellung:

- 6

9

x

y z

2.2.1 Der Normw¨urfel -

eine ¨Ubungen f¨ur das r¨aumllichen Vorstellungsverm¨ogen

• Kennenlernen des Normw¨urfels:

– Markiere alle sichtbaren/ nicht-sichtbaren Kanten, – Bestimme die Koordinaten aller Eckpunkte, – Zeichne alle rechten Winkel ein.

• Zeichne die folgenden Punkte ein:

– A= (0.5/0/0) – B = (0/1/0.25) – C= (1/0.5/1) – D= (0.25/0.5/1) – E= (0.8/0.8/0.8)

16

• Bestimme die Koordinaten eines Punk- tes

– in der Grundfl¨ache, – in der Deckfl¨ache, – in der xz-Ebene, – in der yz-Ebene, – innerhalb des W¨urfels, – ausserhalb des W¨urfels.

• Zeichne die folgenden Punkte ein A= (1/0/0) B = (0/1/0) C= (1/1/0.5) D= (0.8/1/1) E = (0/0.2/1)

und berechne die L¨ange folgender Strecken:

– AB – AC – CD – DE

• Zeichne die folgenden Punkte ein A= (1/0/0) B = (1/1/0) C= (0.5/0/0) D= (0.5/1/0.2) E = (0.2/0/0.8) F = (0/0/1) und berechne die L¨ange folgender Strecken:

– AD – CE – BF – BD – DE

• Zeichne die folgenden Punkte ein A= (1/0/0) B = (1/1/0) C= (0/0/0) D= (0/1/0) E = (1/0/1) F = (1/1/1) G= (0/0.8/1) I= (0/1/0.8) und berechne den Inhalt folgender Drei- ecke:

– ∆ACE – ∆BDI – ∆EF G

18

• Zeichne die folgenden Punkte ein A= (1/0/0) B = (1/1/0) C= (0/1/1) D= (1/0/0.4) E = (1/1/0.4) F = (0/1/0.8) G= (0/0/0.8)

und berechne den Inhalt folgender Fl¨achen:

– ABC – DEF G

• Zeichne die folgenden Punkte ein A= (1/0/0) B = (1/1/0) C= (0/0/0) D= (0.5/1/0.8) E = (0/0/0.5) F = (0.5/1/1) und berechne den Umfang, Inhalt & die Innenwinkel der folgenden Dreiecke:

– ∆AEF – ∆CBD

Wir schliessen unsere ¨Ubungen zur r¨aumlichen Vorstellung mit derDualit¨at unter den Platonischen K¨orpern ab:

a

aVorlage: D. Ortner:Die f¨unf Platonischen K¨orper

http://www.zebis.ch/inhalte/unterricht/mathematik/polyeder.pdf

20

Aufgaben : Definiere die Grundoperationen:

Def.: Wir gehen von zwei beliebigen Vektoren

~a=



 ax

ay

az



 , ~b=



 bx

by

bz



 ∈R³

und einer skalaren Gr¨osse λ∈R aus und definieren:

2.3 Erste Anwendungen in der Komponentenschreibweise

2.3.1 Der Vektor von A nachB

Beispiel 2.3.1

• Seien A= (3/0/3) und B= (3/5/0) gegeben.

Bestimme AB.~

• Seien C= (1/4/2) und D= (3/2/−4) gegeben.

Bestimme CD.~

• Seien P = (xP/yP/zP) und Q= (xQ/yQ/zQ) gegeben.

Bestimme P Q.~

22

2.3.2 Der Mittelpunkt der Strecke P Q

Beispiel 2.3.2

• Seien A= (3/0/2) und B= (4/6/12) gegeben.

Bestimme den Mittelpunkt von AB

• Seien P = (xP/yP/zP) und Q= (xQ/yQ/zQ) gegeben.

Bestimme den Mittelpunkt von P Q.

2.3.3 Der Abstand zweier Punkte P Q

Der Abstand zweier Punkte l¨asst sich einfach mit Hilfe der Vektorrechnung bestimmen.

Wir beginnen mit einem Beispiel imR², versuchen den Zusammenhang mit der Vektorrechnung darzustellen und werden die Situation imR³ verallgemeinern und einige Anwendungen besprechen.

Beispiel 2.3.3

• Bestimme die L¨ange des Vektors von A= (2/3) nach B= (5/5).

• Bestimme den Abstand zwischen den Punkten A= (2/3) und B= (5/5).

• Bestimme den Abstand zwischen den Punkten P = (xP/yP) und Q= (xQ/yQ).

24

Beispiel 2.3.4

1. Bestimme die L¨ange des Vektors ~a=



 3 7 10





2. Bestimme die L¨ange des Vektors ~a=



 ax

ay

az



.

3. Bestimme den Abstand zwischen den Punkten P = (xP/yP/zP) und Q= (xQ/yQ/zQ).

Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben :

1. Bestimme die Punkte auf dery-Achse, die vom Punkt A = (−6/0) doppelt so weit entfernt sind wie vom PunktB= (3/3).

26

2. Bestimme den Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte A, Bund C , mit

A= (5/7), B= (−1/−1) , C= (6/0) bestimmt ist.

Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie 4 (Zugeh¨orige L¨osungen)

3 Das Skalar- & Vektorprodukt

Wir schliessen den 1. Teil der Vektorgeometrie mit der Einf¨uhrung zweier wei- terer wichtiger Verkn¨upfungen von Vektoren.

3.1 Das Skalaraprodukt

DasSkalarprodukt, dessen grosse geometrische Bedeutung darin liegt, dass mit ihm L¨angen und Winkel und somit die zentralen Gr¨ossen in der Geometrie be- rechnet werden k¨onnen, wirst Du im Folgenden selbst¨andig einf¨uhren.

Du wirst als Grundlage f¨ur das selbst¨andige Arbeiten einen kurzen Auszug aus

L.Papula:

Mathematik f¨ur Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd. 1 erhalten.

Deine Aufgabe besteht nun darin, 1. das Skript durchzuarbeiten und 2. die folgenden Auftr¨age zu erledigen:

• Stelle das Skalarprodukt als eine Funktion dar:

(d.h.: Bestimme den Definitions- & Wertebereich und formuliere die zu- geh¨orige Funktionsgleichung & -zuordnung)

• Beweise die Kommutativit¨at des Skalarproduktes:

28

• Normiere die folgenden Vektoren: ~a=



 2

−3 4



, ~b=



 x y z



.

• Welche der folgenden Vektoren stehen senkrecht zueinander:

~a=



 1 2 3



, ~b=



 3

−2 1



, ~c=





−3 0 1



, ~d=



 1 2

−1



, ~e=





−1 0 3





• Bestimme einen zu~g=



 2 0

−4



orthonormierten Vektor.

Lasse dein Beispiel von einem/er Mitsch¨ulerIn verifizieren.

• Beweise die folgende Aussage:

Die Diagonalen in einem Rhombus stehen senkrecht zueinander.

• Bestimme einen zu~g =



 4 5 3



 und~h =



 1 2

−1



 senkrecht stehenden Vektor.

( ¨Uberlege zuerst, wieviele Gleichungen dir zur Verf¨ugung stehen und wie- viele f¨ur eine eindeutige L¨osung n¨otig sind.)

Lass auch in diesem Fall dein Beispiel von einem/er Mitsch¨ulerIn verifi- zieren.

• Bestimme die L¨angen und den Zwischenwinkel der folgenden Vektoren:

~ x=



 0

−2 3



, ~y=



 3 1 2



.

• Gegeben sind die folgenden Ecken des Dreiecks ∆ABC:

A= (−1/3/7), B= (−5/4/3), C= (6/−5/−4) Bestimme

– die Innenwinkel, – den Umfang und – den Fl¨acheninhalt des Dreiecks ∆ABC.

30

3.2 Das Vektorprodukt

Du wirst Dich nach einer kurzen Einf¨uhrung selbst¨andig und mit Hilfe der For- melsammlung mit einem weiteren neuen und wichtigen Begriff der Vektorgeo- metrie

dem Vektorprodukt

vertraut machen und dessen Eigenschaften kennenlernen.

Wichtige geometrische Zusammenh¨ange und klassische Anwendungen, ins- besondere im Bereich von Abstandsproblemen werden wir dann im 2. Teil der Vektorgeometrie bearbeiten.

Du kennst bereits drei verschiedeneVerkn¨upfungenvon Vektoren . . . dieAddition / Subtraktionvon zwei oder mehreren Vektoren, dieskalare Multiplikationeines Vektors und

dasSkalarproduktzweier Vektoren . . . und deren Eigenschaften.

Neu dazu kommt nun das sogenannteVektorproduktzweier Vektoren.

Def.: Es seien~aund~bzwei beliebige Vektoren.

Unter dem Vektorprodukt~a×~b (sprich a kreuz b) wird der Vek- tor verstanden, der senkrecht auf der von~aund~baufgespannten Ebene steht.

Skizziere die Situation: . . .

Die M¨oglichkeit formelm¨assig einen zu zwei gegebenen Vektoren normalen Vektor darzustellen ist bei der Beschreibung gewisser Vorg¨ange in der Physik sehr praktisch; z.B. beim Drall, dem Drehmoment oder der Lorentzkraft.

Den Rest der Einf¨uhrung kannst Du nun selbst¨andig erarbeiten.

32

Verwende die folgenden Vektoren ~a =



 a₁ a₂ a₃



 , ~b =



 b₁ b₂ b₃



 und den Skalarλ∈Rund definiere:

~a±~b:= . . . ∈. . .

λ·~a:= . . . ∈. . .

~a·~b:= . . . ∈. . .

~a×~b:= . . . ∈. . .

Verwende f¨ur die folgenden Aufgaben ~a =



 2 0 1



 ,~b =





−3 2 4



 und λ= 5.

Berechne

~a+~b= . . . λ·(−b) =~ . . .

~a·~b= . . . ~b·~a= . . .

~a×~b= . . . ~b×~a= . . .

Was f¨ur ein Gesetz gilt f¨ur das Vektorproduktnicht?

Berechne immer noch mit den gleichen Vektoren den Winkel zwischen

~aund~b,

~a×~b und~a,

~b×~aund~a.

Beweise noch mit Hilfe Deiner Definition von~a×~b, dass die vom Vektorprodukt geforderte Bedningung der Othogonalit¨at wirklich erf¨ullt ist.

Definiere |~a×~b| := . . . .

und versuche die Definition geometrisch zu deuten:

34