Vektorgeometrie
2. Teil
MNProfil - Oberstufe KZN
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch
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Uberblick ¨¨ uber die bisherigenVektorgeometrie - Themen:
1. Einf¨uhrung &
die analytische Darstellung der Vektoren 2. Vektoren & die Grundoperationen 3. Das Skalar- & Vektorprodukt
Inhaltsverzeichnis
3.1 Einleitung & Ausblick . . . 1
4 Geraden & Ebenen im Raum 2 4.1 Parameterdarstellung einer Geraden . . . 5
4.1.1 Klassische Anwendungen . . . 6
4.1.2 Gegenseitige Lage von Geraden im Raum . . . 7
4.2 Parameterdarstellung einer Ebene . . . 8
4.2.1 Klassische Anwendungen . . . 9
4.2.2 Koordinatengleichung . . . 10
4.2.3 Schr¨agbilder. . . 11
4.2.4 Spezielle Lagen von Ebenen . . . 12
4.2.5 Vom Normalenvektor zur Koordinatengleichung . . . 13
5 Schnitt- & Abstandsprobleme ein StresssivProgramm 14 5.1 die Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor . . . 15
5.2 das Spatprodukt . . . 16
5.3 Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden . . . 17
5.4 Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene. . . 18
5.5 Schnittgerade und -winkel zweier Ebenen . . . 19
5.6 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . 20
5.7 Abstand zweier Geraden . . . 21
5.8 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . 22
5.9 Abstand einer geraden von einer Ebene . . . 23
5.10 Abstand zweier Ebenen . . . 24
6 Die Kugelgleichung 25
3.1 Einleitung & Ausblick
Wir beginnen mit einer Aufgabenserie zur Repetition der Grundlagen aus der Vektorgeometrie und den damit verbundenen klassischen Anwendungen . . .
Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie Repetitionsserie 1
Wir werden die Aufgaben 6 (f) & (g) als Einstieg in die r¨aumliche Beschrei- bung von Geraden verwenden.
Das dabei angewendete Konzept der Orts- & Richtungsvektoren werden wir analog f¨ur die Beschreibung der Ebenen im Raum verwenden und in klassischen Anwendungen umsetzen.
Stresssiv, d.h. in einer stressigen und intensiven Lernphase werden die Schnitt-
& Abstandsprobleme pr¨asentiert und mit einer Vorpr¨ufung abgeschlossen.
Abschliessen werden wir den zweiten Teil der Vektorgeometrie mit weiterf¨uhren- den Aufgaben und der Diskussion der Kugel.
4 Geraden & Ebenen im Raum
Als Einstieg verwenden wir die Aufgabe 6 aus derRepetitionsserie 1:
Wir betrachten die folgenden Punkte:
A= (2/1/−3) , B= (−3/0/1) , C= (7/−1/−1) Bestimme den UmkreismittelpunktM des Dreiecks ∆ABC.
L¨osungsansatz:
L¨osung:
. . . und wie finden wir den Punkt in der Ebene des Dreiecks ∆ABC?
Wir betrachten immer noch die gleichen Punkte:
A= (2/1/−3) , B= (−3/0/1) , C= (7/−1/−1) Bestimme den Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ∆ABC in der Dreiecksfl¨ache.
L¨osungsansatz:
L¨osung:
L¨osung:
4.1 Parameterdarstellung einer Geraden
Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt wird, wollen wir auch eine von nur zwei Punkten abh¨angige Darstellung der Geraden:
F¨ur die Darstellung einer Geraden brauchen wir somit:
1.
2.
Bem.: •
•
4.1.1 Klassische Anwendungen
Beispiel 4.1.1 • Bestimme eine Parameterdarstellung f¨ur die Gerade g, die durch die Punkte
A= (10/3/−12) und B = (15/2/−9) eindeutig bestimmt ist.
• Welche der folgenden Punkte liegen auf der obigen Geradeng:
P= (20/1/−6) oder Q= (5/4/−12)
4.1.2 Gegenseitige Lage von Geraden im Raum
Einige Vor¨uberlegungen:
Beispiel 4.1.2 Bestimme den Schnittpunkt vongmit h, mit
~ g(t) =
10
3
−12
+t·
5
−1 3
, ~h(s) =
43 26
−9
+s·
2 7
−3
Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie 5 zugeh¨orige L¨osungen
4.2 Parameterdarstellung einer Ebene
Da eine Ebene durch drei Punkte eindeutig bestimmt wird, wollen wir auch eine von drei Punkten abh¨angige Darstellung der Ebene:
F¨ur die Darstellung einer Ebene brauchen wir somit:
1.
2.
Bem.: •
•
4.2.1 Klassische Anwendungen
Beispiel 4.2.1 F¨ur dieses Beispiel gehen wir von folgenden Punkten aus:
A= (1/−1/2), B= (−2/0/3) und C= (3/1/−2)
• Bestimme eine Parameterdarstellung f¨ur die EbeneE, die durch die PunkteA, B undCeindeutig bestimmt ist.
• Welche der folgenden Punkte liegen in der EbeneE P = (2.5/1.5/0) , Q= (2/2/−2.5)
• Wie muss die Koordinatezf¨urR= (13/0/z) gew¨ahlt werden, so dass gilt: R∈E
4.2.2 Koordinatengleichung
Wir wollen noch eine weitere Darstellungsform einer Ebene besprechen, die sog.
Koordinatengleichung.
Durch die Elimination der Parameter aus der Komponentengleichung der Parameterdarstellung entsteht eine lineare Gleichung der folgenden Form:
ax+by+cz+d= 0
Dies ist die eine sogKoordinatengleichungder Ebene und beschreibt die Menge aller Punkte des Raumes, welche auf der Ebene liegen.
Wir wollen an einem Beispiel diese Elimination durchf¨uhren und eine Koor- dinatengleichung herleiten:
Beispiel 4.2.2 Unsere Ebene E ist durch die folgenden Punkte eindeutig bestimmt:
A= (3/0/2), B= (0/−6/16), C= (−3/1/4)
• eine Parameterdarstellung ist:
• die zugeh¨origen Komponentengleichungen lauten:
• die Elimination der Parameter ohne ¨Anderung der
4.2.3 Schr¨agbilder
Um uns ein Bildvon der Lage einer Ebene E machen zu k¨onnen, verwenden wir die Schnittpunkte vonE mit den Koordinatenachsen zur Darstellung von E durch das sog.Schr¨agbild.
(Wir verwenden die EbeneE aus dem vorherigen Beispiel.)
Geometrie-Aufgaben:Vektorgeometrie 6 zugeh¨orige L¨osungen
4.2.4 Spezielle Lagen von Ebenen
4.2.5 Vom Normalenvektor zur Koordinatengleichung
5 Schnitt- & Abstandsprobleme ein StresssivProgramm
Im Folgenden werden wir uns mit
Schnittpunkten, Schnittgeraden und Schnittwinkel und
Abst¨andezwischenPunkte, Geraden und Ebenen befassen.
Dabei werden wirstresssiv, alsostressig & intensivvorgehen:
• Einleitende Literatur wird zur Verf¨ugung gestellt,
• Notwendiges Wissen von euch bereitgestellt,
• Das Problem von mir dargestellt,
• Ein Konzept zur L¨osung vorgestellt
• und an konkreten Beispielen k¨onnt ihr die Situationen nachstellen.
Kurz und mit endg¨ultigen Zeitangaben zusammengefasst:
- kommt vorbereitet in den Unterricht,
- jede Situation wird in maximal 10 Minuten pr¨asentiert, - zwei bis drei Situationen pro Unterrichtsstunde,
- 45 Minuten konzentriertes Mitdenken und -arbeiten wird verlangt und das Ganze mit einer guten oder besseren Vornote abgeschlossen.