4.1.1 Definition und Beispiele Folgen treten in verschiedenen Anwendungen im Alltag auf.

4 Folgen und Reihen

4.1 Folgen

4.1.1 Definition und Beispiele

Folgen treten in verschiedenen Anwendungen im Alltag auf.

Beispiel 1: Temperaturangaben (Maximum, Minimum) f¨ur heute, morgen, usw.

Datum: 19.09. 20.09. 21.09. 22.09. 23.09. 24.09. 25.09.

Tag: 0 (heute) 1 (morgen) 2 3 4 5 6

Maximum: 16^◦ 16^◦ 21^◦ 22^◦ 23^◦ 24^◦ 25^◦

Minimum: 6^◦ 5^◦ 11^◦ 4^◦ 3^◦ 5^◦ 6^◦

Beispiel 2: Ein Ball f¨allt aus einer H¨ohe von einem Meter und erreicht nach je- dem Aufprall 80% der vorherigen H¨ohe. Wie kann man die H¨ohe nach demn-ten Aufprall darstellen?

Anfangsh¨ohe: h₀ = 1m

nach 1. Aufprall: h₁ = 0.8·1m = 0.8m

nach 2. Aufprall: h₂ = 0.8h₁ = 0.8·0.8m = 0.8²m nach 3. Aufprall: h₃ = 0.8h₂ = 0.8·0.8²m = 0.8³m nachn-tem Aufprall: h_n= 0.8h_n−1 = 0.8ⁿm

Beispiel 3: Alle durch 3 teilbaren nat¨urlichen Zahlen k¨onnen beschrieben werden alsa_n = 3·n, d.h.

a₀ = 3·0 = 0 a₁ = 3·1 = 3 a₂ = 3·2 = 6 a₃ = 3·3 = 9 usw.

In allen drei Beispielen haben wir es mit einer Folge von Zahlenwerten zu tun (Temperaturen, H¨ohen, Vielfache von 3). Anders gesagt wird den nat¨urlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, usw. jeweils ein reeller Zahlenwert (Temperatur, H¨ohe, Vielfaches von 3) zugeordnet: n→a_n. Das f¨uhrt uns zu folgender

Definition: Eine reelle Zahlenfolge ist eine Funktion N → R, deren Definiti- onsbereich die Menge der nat¨urlichen Zahlen ist und deren Werte reelle Zahlen sind.

Schreibweise:

Zahlenfolge: (a_n)

Glieder: a₀, a₁, a₂, a₃, . . . n-tes Glied: a_n

Im Beispiel 1 gibt es keine erkennbare Gesetzm¨aßigkeit, wie ein Folgenglied a_n berechnet wird. In den Beispielen 2 und 3 lassen sich dagegen sogenannte Bil- dungsvorschriften angeben.

ImBeispiel 2 gilt:

h_n= 0.8h_n−1 Darstellung von h_n in Abh¨angigkeit vom Vorg¨anger h_n−1 h_n= 0.8ⁿh₀ Darstellung von h_n in Abh¨angigkeit von n

ImBeispiel 3 gilt:

a_n=a_n−1+ 3 Darstellung von a_n in Abh¨angigkeit vom Vorg¨angera_n−1 a_n= 3n Darstellung von a_n in Abh¨angigkeit von n

Definition: Eine Bildungsvorschrift, bei der der Anfangswert der Folge sowie eine Formel angegeben wird, wie das Folgenglied a_n aus dem vorherigen Folgenglied a_n−1 berechnet wird, heißt rekursiv:

h₀ = 1, h_n = 0.8h_n−1 a₀ = 0, a_n = a_n−1+ 3

Bei einer rekursiven Bildungsvorschrift k¨onnen auch m Anfangsglieder und eine Formel angegeben werden, wie sicha_naus denmVorg¨angerwertena_n−1, . . . , a_n−m berechnet. Das bekannteste Beispiel ist dieFibonacci-Folge mit m= 2, bei der zwei Anfangswerte und eine Formel gegeben sind, wie sicha_n aus a_n−1 und a_n−2 berechnet:

a₀ = 0, a₁ = 1, a_n=a_n−1+a_n−2 Die ersten 10 Folgenglieder der Fibonacci-Folge lauten dann

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . .

Eine weitere M¨oglichkeit, eine Folge zu beschreiben, ist folgende:

Definition: Eine Bildungsvorschrift, bei der das Folgenglied a_n aus dem Index n berechnet wird, heißt explizit:

h_n = 0.8hⁿ a_n = 3n

In den Beispielen 2 und 3 haben wir die Folgen (h_n) und (a_n) sowohl mit einer rekursiven als auch einer expliziten Bildungsvorschrift beschrieben.

Beispiel 2 weist eine weitere Besonderheit auf: Der Quotient (das Verh¨altnis) zweier aufeinanderfolgender Glieder ist eine Konstante:

h_n

h_n−1 = 0.8

Definition: Eine Folge, bei der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, heißt geometrische Folge:

a_n a_n−1 =q

Die rekursive Bildungsvorschrift f¨ur eine geometrische Folge lautet ganz allge- mein:

a₀ gegeben, a_n =a_n−1q

Eine geometrische Folge kann auch durch eine explizite Bildungsvorschrift ange- geben werden:

a_n =a₀qⁿ

Ubung: Beweisen Sie diese Formel mittels vollst¨¨ andiger Induktion.

Beispiel 3 weist ebenfalls eine Besonderheit auf: Die Differenz zweier aufeinan- derfolgender Glieder ist eine Konstante:

a_n−a_n−1 = 3

Definition: Eine Folge, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, heißt arithmetische Folge:

a_n−a_n−1 =d

Die rekursive Bildungsvorschrift f¨ur eine arithmetische Folge lautet ganz allge- mein:

a₀ gegeben, a_n =a_n−1+d

Eine arithmetische Folge kann auch durch eine explizite Bildungsvorschrift ange- geben werden:

a_n =a₀ +nd

Ubung: Beweisen Sie diese Formel mittels vollst¨¨ andiger Induktion.

Weitere Beispiele:

• Kapitalentwicklung eines Grundkapitals K₀ mit einem Zinssatzp( ¨UA: her- leiten!):

K_n =K₀

1 + p 100

_n

• Preis einer Zeitungsanzeige: Grundpreis a, Zeilenpreis d, Gesamtpreis der Anzeige bei n Zeilen:

p_n =a+nd

• Wachstum einer Population nach Verhulst:

a_n+1 =r(1−a_n)a_n

mit 0≤a₁ ≤1, 0≤r≤4,a_nist die Population zum Zeitpunktn. Der Fak- tor r(1−a_n) ist die Wachstumsrate der Population. Bilder f¨ur verschiedene Parameter r und verschiedene Anfangstermine a_n finden Sie in Wikipedia unter http://de.wikipedia.org/wiki/LogistischeGleichung.

Wir haben gesehen, dass Folgen sehr unterschiedlich aussehen k¨onnen. Im n¨achs- ten Abschnitt wollen wir Folgen weitere Eigenschaften von Folgen kennenlernen, nach denen Folgen klassifiziert werden k¨onnen.

4.1.2 Eigenschaften von Folgen

Betrachten wir zun¨achst einige Beispielfolgen.

a_n = 2

n (n≥1)

b_n = 1−2n

n (n≥1)

c_n = n (n≥0)

d_n = 3− 1

n (n≥1)

e_n = (−1)ⁿ (n≥0) f_n = n²

100 +n (n≥0)

Im folgenden wollen wir solche Eigenschaften von Folgen n¨aher untersuchen wie:

1. Monotonie: Werden die Folgenglieder gr¨oßer oder kleiner?

2. Beschr¨ankheit: Liegen alle Folgenglieder in einem Intervall [s, S]?

3. Grenzwert: N¨ahern sich die Folgenglieder an eine bestimmte Zahl an?

Ubung: Untersuchen Sie die Beispielfolgen auf diese Eigenschaften!¨

Monotonie Beschr¨anktheit Grenzwert

a_n b_n c_n d_n e_n f_n

Nun wollen wir die oben genannten Eigenschaften exakt definieren.

Definition: Monotonie

Eine Folge heißtmonoton wachsend, wenna_n+1 ≥a_nf¨ur allen gilt. Eine Folge heißt streng monoton wachsend, wenn a_n+1 > a_n f¨ur alle n gilt. Eine Folge heißtmonoton fallend, wenna_n+1 ≤a_nf¨ur allen gilt. Eine Folge heißt streng monoton fallend, wenn a_n+1 < a_n f¨ur alle n gilt.

Definition: Beschr¨anktheit Eine Folge heißt nach oben beschr¨ankt, wenn es eine Zahl S gibt, so dass a_n ≤ S f¨ur alle n gilt. S heißt obere Schranke. Eine Folge heißtnach unten beschr¨ankt, wenn es eine Zahl s gibt, so dass a_n ≥ s f¨ur alle n gilt. s heißt untere Schranke. Eine Folge, die nach oben und unten beschr¨ankt ist, heißt beschr¨ankt.

Monotonie und Beschr¨anktheit m¨ussen explizit nachgewiesen werden. Zun¨achst schaut man sich die ersten Glieder der Folge an, um eine Vermutung anzustellen und f¨uhrt dann einen direkten Beweis.

Beispiel 1:

a_n= 2

n → 2,1,2 3,1

2,2 5,1

3, . . .

Aus den ersten Folgengliedern ergibt sich die Vermutung, dass die Folge streng monoton fallend ist.

Behauptung 1: Die Folge ist streng monoton fallend: a_n > a_n+1 Beweis: Offensichtlich gilt f¨ur jede nat¨urliche Zahl n:

n < n+ 1

F¨ur die Kehrwerte gilt dann:

1

n > 1

n+ 1 f¨ur alle n | ·2 2

n > 2

n+ 1 f¨ur alle n, d.h.

a_n > a_n+1 f¨ur alle n Behauptung 2: Die Folge ist beschr¨ankt.

Beweis: Offensichtlich gilt:

a_n= 2

n >0 f¨ur alle n

d.h. alle Folgengliedera_nsind gr¨oßer als Null. Also ists= 0 eine untere Schranke.

Weiterhin gilt:

a₁ = 2, also a₁ ≤2.

Da die Folge streng monoton fallend ist, gilt dann:

a₂ < a₁ ≤2, also a₂ ≤2

Mit demselben Argument kann man zeigen, dass a₃ < a₂ ≤ 2, a₄ < a₃ ≤ 2 usw.

Also ist S = 2 eine obere Schranke. Damit ist die Folge nach oben und unten beschr¨ankt, also beschr¨ankt.

Beispiel 2:

b_n= 1−2n

n → −1,−3

2,−5 3,−7

4,−9 5, . . .

Aus den ersten Folgengliedern ergibt sich die Vermutung, dass die Folge streng monoton fallend ist.

Behauptung 1: Die Folge ist streng monoton fallend: b_n > b_n+1 Beweis: Wir untersuchen die Differenz b_n−b_n+1:

b_n−b_n+1 = 1−2n

n − 1−2(n+ 1) n+ 1

= (1−2n)(n+ 1)−(1−2(n+ 1))n n(n+ 1)

= n+ 1−2n²−2n−n+ 2n(n+ 1) n(n+ 1)

= n+ 1−2n²−n+ 2n²+ 2n n(n+ 1)

= 1

n(n+ 1)

> 0 f¨ur alle n

Wir haben also gezeigt, dass b_n−b_n+1 > 0 f¨ur alle n gilt. Daraus folgt jedoch sofort b_n > b_n+1 f¨ur allen, d.h. die Folge ist streng monoton fallend.

Behauptung 2: Die Folge ist beschr¨ankt.

Beweis: Offensichtlich gilt:

b_n = 1−2n

n = 1

n

>0

−2>−2 f¨ur allen

d.h. alle Folgengliederb_nsind gr¨oßer als−2. Also ists =−2 eine untere Schranke.

Weiterhin gilt:

b₁ =−1, also b₁ ≤ −1.

Da die Folge streng monoton fallend ist, gilt dann:

b₂ < b₁ ≤ −1, also b₂ ≤ −1

Mit demselben Argument kann man zeigen, dass b₃ < b₂ ≤ −1, b₄ < b₃ ≤ −1 usw. Also ist S = −1 eine obere Schranke. Damit ist die Folge nach oben und unten beschr¨ankt, also beschr¨ankt.

Beispiel 3:

f_n= n²

100 +n → 0,1.01,2.04,3.09,4.16,5.25, . . .

Aus den ersten Folgengliedern ergibt sich die Vermutung, dass die Folge streng monoton wachsend ist.

Behauptung 1: Die Folge ist streng monoton wachsend: f_n< f_n+1 Beweis: Wir untersuchen den Quotienten f_n+1

f_n : f_n+1

f_n =

(n+1)²

100 + (n+ 1)

n² 100+n

= (n+ 1)²+ 100(n+ 1) n²+ 100n

= (n+ 1)²+ 100n+ 100) n²+ 100n

> (n+ 1)²+ 100n) n²+ 100n

> n²+ 100n n²+ 100n

= 1 f¨ur alle n

Wir haben also gezeigt, dass f_n+1

f_n >1 f¨ur alle n gilt. Daraus folgt jedoch sofort f_n+1 > f_n f¨ur alle n, d.h. die Folge ist streng monoton wachsend.

Behauptung 2: Die Folge ist nach unten beschr¨ankt.

Beweis: Offensichtlich gilt:

f_n = n²

100 +n >0 f¨ur alle n

d.h. alle Folgengliederf_nsind gr¨oßer als Null. Also ists= 0 eine untere Schranke.

Behauptung 3: Die Folge w¨achst unbeschr¨ankt.

Beweis: Diese Behauptung beweisen wir indirekt. Angenommen, die Folge ist nach oben beschr¨ankt. Dann muss es eine obere Schranke S > 0 geben, so dass alle Folgenglieder kleiner als diese Schranke sind:

f_n≤S f¨ur allen

Dann muss auch das Folgenglied mit dem Indexn= 10S kleiner als diese Schran- ke sein. F¨ur dieses Folgenglied gilt laut Bildungsvorschrift:

f_10S = (10S)²

100 + 10S = 100S²

100 + 10S =S²+ 10S > 10S > S

Wir haben also ein Folgenglied gefunden, das gr¨oßer als S ist: f_10S > S. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass S obere Schranke ist. Also kann die Folge nicht nach oben beschr¨ankt sein, d.h. die Folge w¨achst unbeschr¨ankt.

4.1.3 Grenzwert einer Folge Wir beginnen mit zwei Beispielfolgen:

b_n = 2n−1

n und h_n = n+ (−1)ⁿ n

Ubung:¨ 1. Erstellen Sie f¨ur beide Folgen eine Tabelle f¨ur die ersten zehn Glieder und zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem ein!

2. Was haben die Folgen (b_n) und (h_n) gemeinsam und was unter- scheidet sie?

3. Welchen Werten g₁ bzw. g₂ n¨ahern sich die Folgen an?

4. Ab welchem n unterscheiden sich die Folgenglieder um weniger als ε= 0.1, ε= 0.5 bzw. ε= 0.01 von den Werten g₁ bzw. g₂? Die Untersuchung zeigt, dass sich die Folge (h_n) der Zahl g = 1 ann¨ahert. Man kann dies auch so formulieren: Der Abstand zwischen einem Folgenglied h_n und g wird beliebig klein:

|h_n−g|=

n+ (−1)ⁿ

n −1

=

1 + (−1)ⁿ n −1

= (−1)ⁿ

n

= 1 n →0

Anders gesagt: Egal wie klein wir uns eine Zahl ε vorgeben, ab einem gewissen Folgenglied (also ab einem gewissenn) ist der Abstand |h_n−g|< ε:

ε= 0.1 → |h_n−g|= 1

n <0.1 f¨ur n >10 ε= 0.05 → |h_n−g|= 1

n <0.05 f¨ur n >20 ε= 0.01 → |h_n−g|= 1

n <0.01 f¨ur n >100

Fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder haben einen Abstand zu g = 1, der kleiner ist als jedes beliebigeε. Das f¨uhrt zu folgender

Definition: Eine ZahlgheißtGrenzwertder Zahlenfolge (a_n), wenn es zu einem beliebigen ε > 0 eine Zahl n₀ gibt, so dass f¨ur alle Folgenglieder a_n mit n ≥ n₀ gilt:

|a_n−g|< ε.

Andere m¨ogliche Formulierungen:

• Ab a_n0 erf¨ullen alle Folgenglieder die Ungleichung |a_n−g|< ε.

• Ab a_n0 liegen alle Folgenglieder in der ε-Umgebung von g.

• Fast alle Folgenglieder liegen in der ε-Umgebung von g.

Schreibweise: g = lim

n→∞a_n

Definition: Eine Folge, die einen Grenzwert hat, heißtkonvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert hat, heißtdivergent. Eine Folge, deren Grenzwert Null ist, heißtNullfolge.

Satz: Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt. Anders gesagt: Eine konvergente Folge hat genau einen Grenzwert.

Beweis: Wir beweisen diesen Satz indirekt. Angenommen, es gibt zwei Grenz- werte g₁, g₂. Wir w¨ahlen

ε= |g₁−g₂| 3 Dann ist

U_ε(g₁) ={x:g₁ −ε ≤x≤g₁+ε} die ε-Umgebung von g₁ und

U_ε(g₂) ={x:g₂ −ε ≤x≤g₂+ε}

und es gilt

U_ε(g₁)∩U_ε(g₂) =∅.

Dag₁ Grenzwert ist, liegen nur endlich viele Folgenglieder außerhalb von U_ε(g₁).

Daraus folgt jedoch, dass nur endlich viele Folgenglieder inU_ε(g₂) liegen k¨onnen.

Dann kann aber g₂ nicht Grenzwert sein, weil laut Definition des Grenzwertes fast alle Folgenglieder inU_ε(g₂) liegen m¨ussen. Das ist also ein Widerspruch, und damit ist die Annahme, dass es zwei Grenzwerte gibt, falsch.

Ubung: Untersuchen Sie die Folge¨ a_n = (−1)ⁿ·(1 + 2n)

n auf Konvergenz.

Die ersten Folgenglieder sind

−3,5 2,−7

3,9 4,−11

5 ,13 6 , . . . F¨ur die Folgenglieder mit geradem Index n= 2k gilt:

a_2k= (−1)^2k·(1 + 2·2k)

2k = 1 + 4k

2k = 1 2k + 4k

2k = 1

2k + 2→2 F¨ur die Folgenglieder mit ungeradem Index n = 2k+ 1 gilt:

a_2k+1 = (−1)^2k+1·(1 + 2·(2k+ 1))

2k+ 1 = −(1 + 4k+ 2) 2k+ 1 =

= − 1

2k+ 1 − 4k+ 2

2k+ 1 = − 1

2k+ 1 −2 → −2

Offensichtlich sind die Werte h₁ = 2 undh₂ = −2 zwei besondere Werte f¨ur die Folge. Sie sind keine Grenzwerte im eigentlichen Sinne, aber es gilt folgendes:

Ein Teil der Folgenglieder (die mit geradem Index) konvergiert gegenh₁ = 2 und ein anderer Teil der Folgenglieder (die mit ungeradem Index) konvergiert gegen h₂ =−2. Dies f¨uhrt zu folgender

Definition: Eine reelle Zahl h heißt H¨aufungswert einer Folge (a_n), wenn es zu einem beliebigenε >0 unendlich viele Folgenglieder a_n gibt, f¨ur die gilt:

|a_n−h|< ε.

Andere m¨ogliche Formulierungen:

• Unendlich viele a_n erf¨ullen die Ungleichung |a_n−h|< ε.

• Es liegen unendlich viele Folgenglieder in der ε-Umgebung von h.

• Es gibt eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert h.

Die Folge

a_n= (−1)ⁿ·(1 + 2n) n

hat also zwei H¨aufungswerteh₁ = 2 undh₂ =−2. Die Folgenglieder mit geradem Index bilden eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwerth₁ = 2, die Folgenglie- der mit ungeradem Index bilden eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert h₂ =−2.

Als n¨achstes wollen wir untersuchen, wann eine Folge konvergent ist. Insbesondere wollen wir untersuchen, ob es einen Zusammenhang zwischen den Eigenschaften Monotonie, Beschr¨ankheit und Konvergenz von Folgen gibt und entsprechende Konvergenzkriterien entwickeln. Dazu betrachten wir noch einmal die Beispiel- folgen aus dem Abschnitt 4.1.2.

Ubung: F¨¨ ullen Sie folgende Tabelle aus und stellen Sie eine Vermutung ¨uber den Zusammenhang von Monotonie, Beschr¨ankheit und Konvergenz an:

Folge monoton monoton nach oben nach unten konvergent fallend wachsend beschr¨ankt beschr¨ankt

a_n = 2 n b_n = 1−2n

n c_n = n d_n = 3− 1

n e_n = (−1)ⁿ f_n = n²

100 +n

F¨ur reelle Zahlenfolgen gilt folgender

Satz: Jede monoton wachsende und nach oben beschr¨ankte Folge (a_n) mita_n∈R konvergiert gegen einen Grenzwerta ∈ R. Umgekehrt konvergiert jede monoton fallende und nach unten beschr¨ankte Folge (a_n) mita_n ∈Rgegen einen Grenzwert a∈R.

Beweisidee: Betrachte alle oberen Schranken, die kleinste obere Schranke ist dann der Grenzwert.

Witz der Sache: Der Satz gilt nur f¨ur reelle Zahlenfolgen: Wenn die Folgenglie- der reelle Zahlen sind und die Folge monoton und beschr¨ankt ist, dann gibt es einen Grenzwert, und dieser ist wieder eine reelle Zahl. Der Satz gilt aber nicht

f¨ur rationale Folgen.

Gegenbeispiel: Betrachte die Folge

1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41423,1.414235, . . .

Diese Folge ist monoton wachsend, sie ist nach oben beschr¨ankt (durch √

2), alle Folgenglieder sind rationale Zahlen, aber der Grenzwertg =√

2 ist keine rationale Zahl. Wenn man also nur die rationalen Zahlen kennen w¨urde, dann w¨urde diese Folge gegen ein

”Loch“ konvergieren. In Rdagegen gibt es keine

”L¨ocher“.

Wir schauen uns nun die logische Struktur des Satzes einmal n¨aher an. Mit den Aussagen:

A: (a_n) ist monoton wachsend.

B: (a_n) ist nach oben beschr¨ankt.

C: (a_n) ist konvergent.

hat der Satz die Struktur:

A∧B →C Es gilt auch die UmkehrungC →B:

Satz: Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt.

Beweisidee: Wenn die Folge konvergent ist, dann liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder in der ε-Umgebung des Grenzwertes g. Außerhalb dieser ε- Umgebung liegen nur endlich viele Folgenglieder. Von diesen gibt es ein Minimum und ein Maximum, und diese Werte sind untere bzw. obere Schranken.

Die Umkehrung C → A gilt jedoch nicht: Eine konvergente Folge muss nicht monoton sein. Ein Gegenbeispiel ist die Folge

a_n= (−1)ⁿ n

Diese Folge konvergiert (gegen Null), sie ist jedoch alternierend (also nicht mo- noton).

4.1.4 Rechnen mit Grenzwerten

Im vorherigen Abschnitt haben wir den Begriff des Grenzwertes kennen gelernt.

Zur Bestimmung des Grenzwertes g einer Folge haben wir eine Vermutung auf- gestellt und dann nachgewiesen, dass fast alle Folgenglieder in der ε-Umgebung von g liegen, egal wie klein wir ε w¨ahlen. Wir haben also gezeigt, dass f¨ur alle bis auf endlich viele Folgenglieder stets die Ungleichung

|a_n−g|< ε

erf¨ullt ist. In diesem Abschnitt wollen wir uns die Frage stellen, ob man Grenz- werte auch ausrechnen kann. Betrachten wir dazu die Folge (a_n) mit

a_n= −n−1 2n+ 3 Offensichtlich k¨onnen wir wie folgt umformen:

a_n= −n−1 2n+ 3 =

n −1− 1 n

n 2 + 3 n

= −1− 1 n 2 + 3

n Naheliegend ist dann folgende Argumentation:

a_n=

−1− 1 n_→0 2 + 3

n_→0

→ −1−0 2 + 0 =−1

2 Oder anders formuliert:

n→∞lim a_n = lim

n→∞

−n−1

2n+ 3 = lim

n→∞

−1− 1 n 2 + 3

n

=

−1− lim

n→∞

1 n 2 + lim

n→∞

3 n

= −1−0 2 + 0 =−1

2 In der Tat d¨urfen wir so rechnen, es gilt n¨amlich folgender

Satz: Seien (a_n) und (b_n) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b.

Außerdem seic∈R eine beliebige reelle Zahl. Dann sind auch die Folgen (a_n+b_n), (c·a_n), (a_n·b_n) und a_n

b_n

, falls b_n = 0 f¨ur alle n konvergent, und f¨ur die Grenzwerte gilt:

n→∞lim(a_n+b_n) = lim

n→∞a_n+ lim

n→∞b_n = a+b

n→∞lim c·a_n = c· lim

n→∞a_n = c·a

n→∞lim a_n·b_n = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n = a·b

n→∞lim a_n b_n

=

n→∞lim a_n

n→∞lim b_n = a

b, falls b= 0

Weitere Beispiele:

a_n = −2n²+ 4n−5 8n²−3n+ 7

n→∞lim a_n = lim

n→∞

−2n²+ 4n−5 8n²−3n+ 7 =

= lim

n→∞

n²· −2 + 4 n − 5

n²

n²· 8− 3 n + 7

n² =

=

−2 + lim

n→∞

4

n − lim

n→∞

5 n² 8− lim

n→∞

3

n + lim

n→∞

7 n²

=

= −2 + 0−0

8−0 + 0 = −1 4 b_n = 4n+ 3

5n−1

· 3 + 2 n+ 1

n→∞lim b_n = lim

n→∞

4n+ 3 5n−1

· 3 + 2 n+ 1

=

= lim

n→∞

n· 4 + 3 n

n· 5− 1 n

· lim

n→∞ 3 + 2 n+ 1

=

=

4 + lim

n→∞

3 n 5− lim

n→∞

1 n

· 3 + lim

n→∞

2 n+ 1

=

= 4 + 0

5−0 ·(3 + 0) = 12

5 = 2.4

4.2 Reihen

Wir beginnen mit einem Beispiel, das bereits in der Antike bekannt war: Im Para- doxon von Achilles und der Schildkr¨ote geht es um den vermeintlichen Beleg, dass ein schneller L¨aufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkr¨ote niemals einholen knne, wenn er ihr einen Vorsprung gew¨ahre. Die Argumentation ist wie folgt: Bevor Achilles die Schildkr¨ote ¨uberholen kann, muss er zuerst ihren Vor-

sprung einholen. In der Zeit, die er daf¨ur ben¨otigt, hat die Schildkr¨ote aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst ein- holen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkr¨ote wiederum einen noch kleineren Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schild- kr¨ote hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, so dass sich Achilles der Schildkr¨ote zwar immer weiter n¨ahert, sie aber niemals einholen und somit auch nicht ¨uberholen k¨onne. Tats¨achlich wird ein Schneller- er einen Langsameren aber immer einholen, sofern er daf¨ur nur gen¨ugend Zeit hat. Diese ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Ge- schwindigkeitsdifferenz der beiden L¨aufer oder bei gleichbleibendem Verh¨altnis, umgekehrt proportional zu den beiden Geschwindigkeiten.

Schauen wir uns den mathematischen Sachverhalt einmal n¨aher an:

Vorsprung: s₀ = 90m

Startzeitpunkt f¨ur beide: t₀ Geschwindigkeit der Schildkr¨ote: v Geschwindigkeit von Achilles: 10v

Zum Zeitpunktt₁ hat Achilles die Strecke s₀ = 90m zur¨uckgelegt:

10v = s₀

t₁ (Geschwindigkeit ist gleich Weg durch Zeit) In dieser Zeit kommt die Schildkr¨ote bis zum Punkt s₁:

v = s₁−s₀ t₁

Zum Zeitpunktt₂ hat Achilles die Strecke s₁ zur¨uckgelegt:

10v = s₁ t₂

In dieser Zeit kommt die Schildkr¨ote bis zum Punkt s₂: v = s₂−s₀

t₂

Allgemein gilt: Zum Zeitpunkt t_n hat Achilles die Strecke s_n−1 zur¨uckgelegt:

10v = s_n−1 t_n

In dieser Zeit kommt die Schildkr¨ote bis zum Punkt s_n: v = s_n−s₀

t_n

Damit haben wir zwei Gleichungen f¨ur die Geschwindigkeit v:

Achilles: 10v = s_n−1

t_n bzw. v = s_n−1 10t_n Schildkr¨ote: v = s_n−s₀

t_n

Wenn wir beide Gleichungen f¨ur die Geschwindigkeitv gleichsetzen, erhalten wir:

s_n−1

10t_n = s_n−s₀

t_n | ·t_n s_n−1

10 = s_n−s₀ s_n = s₀+s_n−1

10

Das ist eine Rekursionsvorschrift f¨ur den Weg s_n, den die Schildkr¨ote bis zum Zeitpunktt_n bzw. Achilles bis zum Zeitpunkt t_n−1 zur¨uckgelegt hat. Es gilt:

s₁ = s₀+ 1

10s₀ = 1 + 1 10

s₀

s₂ = s₀+ 1

10s₁ = s₀+ 1

10 1 + 1 10

s₀ = 1 + 1 10+ 1

100

s₀ ...

s_n = 1 + 1 10+ 1

10² +. . .+ 1 10ⁿ

s₀ = s₀ n

k=0

1 10^k

Wenn Achilles die Schildkr¨ote nie einholen w¨urde, m¨usstes_nunendlich groß wer- den. Man kann jedoch zeigen, dass die Folge (s_n) nach oben beschr¨ankt ist. Da sie außerdem monoton wachsend ist, ist sie konvergent. Wir werden sp¨ater sehen, wie man den Grenzwert berechnet.

Definition: Sei (a_n) eine Zahlenfolge. Wir betrachten die zugeh¨orige Folge der Partialsummen (s_n), deren Glieder wie folgt definiert sind:

s₀ = a₀ s₁ = a₀+a₁ s₂ = a₀+a₁+a₂

...

s_n = a₀+a₁+. . .+a_n = n k=0

a_n

Diese Folge (s_n) heißt Reihe. Wenn der Grenzwert s = lim

n→∞s_n existiert, dann heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert s heißt Summe der Reihe.

Im Beispiel mit Achilles und der Schildkr¨ote sind die Partialsummen gegeben durch

s_n= 1 + 1 10 + 1

10² +. . .+ 1 10ⁿ

s₀ =s₀ n k=0

1 10^k Die zugeh¨orige Folge (a_n) hat die Folgenglieder a_n= s₀

10ⁿ. Das ist eine geometri- sche Folge (siehe Abschnitt 4.1.1) mit dem Quotienten q = 1

10. Die zugeh¨orige Reihe (s_n) ist eine sogenannte geometrische Reihe. Allgemein gilt folgende Definition: Gegeben sei die geometrische Folge (a_n) mita_n=a₀·qⁿ. Dann heißt die zugeh¨orige Reihe (s_n) mit

s_n=s₀ n

k=0

q^k geometrische Reihe.

Wir wollen nun untersuchen, wann eine solche geometrische Reihe konvergent ist.

Dazu betrachten wir verschiedene Werte f¨urq:

q= 1 : a_n = a₀·1ⁿ = a₀ s₀ = a₀

s₁ = a₀+a₀ = 2a₀ ...

s_n = (n+ 1)·a₀ → w¨achst unbeschr¨ankt q= 2 : a_n = a₀·2ⁿ

s₀ = a₀

s₁ = a₀+ 2a₀ = 3a₀ s₂ = a₀+ 2a₀+ 4a₀ = 7a₀

... s_n = a₀

n k=0

2^k = a₀·(2ⁿ⁺¹−1) → w¨achst unbeschr¨ankt

q= 1

2 : a_n = a₀· 1

2ⁿ = a₀ 2ⁿ s₀ = a₀

s₁ = a₀+ a₀ 2 = 3

2a₀ s₂ = a₀+ a₀

2 +a₀ 4 = 7

4a₀ ...

s_n = ?

Allgemein kann man eine Formel f¨urs_n wie folgt herleiten:

s_n = a₀(1 +q+q²+. . .+qⁿ) | ·q q·s_n = a₀(q+q²+q³+. . .+qⁿ⁺¹)

Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, erh¨alt man

s_n−q·s_n = a₀(1 +q+q² +. . .+qⁿ−q−q²−q³ −. . .−qⁿ⁺¹) bzw.

s_n(1−q) = a₀(1−qⁿ⁺¹) also s_n = a₀(1−qⁿ⁺¹)

1−q f¨urq = 1

Aus dieser Formel kann man sehr leicht erkennen, dass f¨ur q <1 der Term qⁿ⁺¹ gegen Null konvergiert und damit der Grenzwert von s_n existiert. F¨ur q ≥ 1 dagegen w¨achst der Term qⁿ⁺¹ unbeschr¨ankt. Es gilt folgender

Satz: Gegeben sei die geometrische Folge (a_n) mit a_n = a₀ · qⁿ. Dann ist die zugeh¨orige geometrischen Reihe (s_n) mit

s_n=s₀ n

k=0

q^k

konvergent f¨urq <1. Die Summe der Reihe ist gegeben durch s= lim

n→∞s_n = lim

n→∞

a₀(1−qⁿ⁺¹)

1−q = a₀(1−lim_n→∞qⁿ⁺¹)

1−q = a₀

1−q F¨urq ≥1 ist die geometrische Reihe divergent.

Im Beispiel von Achilles und der Schildkr¨ote war die geometrischen Folge bzw.

Reihe mit den Parameterna₀ =s₀ = 90m und q= 0.1<1 gegeben. Diese Reihe ist also konvergent, und die Summe der Reihe ist gleich

s= a₀

1−q = 90

1−0.1 = 90

0.9 = 100

D.h. nach wenn die Schildkr¨ote einen Vorsprung von 90m hat und Achilles zehn Mal schneller l¨auft als sie, holt er sie nach 100m ein.

Abschließend betrachten wir noch die harmonische Reihe, die von der Folge (a_n) mit a_n = 1

n erzeugt wird. Die zugeh¨orige Reihe ist gegeben durch:

s_n = n

k=1

1 k

Frage: Ist die harmonische Reihe konvergent oder divergent? Oder anders gefragt:

Ist die Reihe nach oben beschr¨ankt oder nicht?

Antwort: Dazu sch¨atzen wir die Reihe wie folgt ab:

∞ k=1

a_k = 1 + 1 2+ 1

3+ 1 4

>¹₄+¹₄

+1 5+ 1

6+ 1 7+ 1 8

>¹₈+¹₈+¹₈+¹₈

+ 1 9+ 1

10+ . . . + 1 16

>₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹+₁₆¹

+. . .

> 1 + 1 2+ 2

4+ 4 8+ 8

16+. . .

= 1 + 1 2+ 1

2+ 1 2+ 1

2+. . .

Die rechte Seite dieser Ungleichung w¨achst unbeschr¨ankt, also w¨achst auch die (noch gr¨oßere) linke Seite der Ungleichung unbeschr¨ankt. Damit haben wir ge- zeigt, dass die harmonische Reihe divergiert.

4.3 Sekantenverfahren zur Nullstellenberechnung von Po- lynomen

In diesem Kapitel sehen wir uns an, wo Folgen und deren Konvergenz in der Praxis eine Rolle spielen. In den allermeisten F¨allen f¨uhren mathematische Modelle von realen Sachverhalten auf Gleichungen, die nicht geschlossen l¨osbar sind. In solchen Situationen versucht man, die Gleichung n¨aherungsweise zu l¨osen. Ein entspre- chendes Verfahren startet typischerweise mit einer (sehr groben) Anfangsl¨osung x₀ und berechnet dann sukzessive weitere N¨aherungen x₁, x₂, x₃, . . ., die die ex- akte L¨osung der Gleichung immer besser approximieren. Mit anderen Worten erzeugt ein gutes L¨osungsverfahren eine Folge von N¨aherungen (x_n), die gegen die unbekannte L¨osung x der Ausgangsgleichung konvergiert. Die Aufgabe von Mathematikern ist es, solche L¨osungsverfahren f¨ur verschiedene Gleichungen zu entwickeln und zu zeigen, unter welchen Voraussetzungen die so berechnete Folge von N¨aherungen gegen die exakte L¨osung des Ausgangsproblems konvergiert.

Betrachten wir als Beispiel noch einmal das Problem aus Abschnitt 1.3.1, die Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades zu berechnen. Dazu mussten wir die Gleichung

p(x) = a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹. . .+a₂x²+a₁x+a₀ = 0

l¨osen. Wir hatten damals festgestellt, dass f¨ur den Fall n > 2 keine geschlossene L¨osungsformel existiert. Ein geeignetes N¨aherungsverfahren zur Berechnung einer Nullstelle a von p(x) sollte daher eine Folge von N¨aherungen (x_n) erzeugen, die gegen eine Nullstellea konvergiert, d.h.

n→∞lim x_n=a und p(a) = 0

Ein m¨ogliches Verfahren ist das Sekantenverfahren. Bei diesem Verfahren ap- proximiert man das Polynom durch eine Sekante und berechnet die Nullstelle der Sekante als N¨aherung:

Gegebene Startwerte: x₀, x₁

Sekante (Gerade durch p(x₀), p(x₁)): y= p(x₁)−p(x₀)

x₁−x₀ (x−x₀) +p(x₀) Nullstelle d. Sekante (neue N¨aherung): x₂ =x₀− p(x₀)(x₁−x₀)

p(x₁)−p(x₀)

Analog n-te N¨aherung: x_n =x_n−2− p(x_n−2)(x_n−1−x_n−2) p(x_n−1)−p(x_n−2) Beispiel 1: Gegeben sei das Polynom p(x) =x⁴ + 2x²−3. Wir berechnen mit dem Sekantenverfahren und den Startwertenx₀ = 2, x₁ = 1.5 eine Nullstelle von p(x).

x₀ = 2, p(x₀) = 21

x₁ = 1.5, p(x₁) = 6.5625

x₂ = 2− 21·(1.5−2)

6.5625−21 = 1.2727, p(x₂) = 2.8632

x₃ = 1.5−6.5625·(1.2727−1.5)

2.8632−6.5625 = 1.0968, p(x₃) = 0.8531 x₄ = 1.2727− 2.8632·(1.0968−1.2727)

0.8531−2.8632 = 1.0221, p(x₄) = 0.1808 x₅ = 1.0968− 0.8531·(1.0221−1.0968)

0.1808−0.8531 = 1.0020, p(x₅) = 0.0160 x₆ = 1.0221− 0.1808·(1.0020−1.0221)

0.0160−0.1808 = 1.0000, p(x₆) = 0

In der Tat ist a= 1 eine Nullstelle von p(x) = x⁴+ 2x²−3. Wenn wir als Start- werte x₀ =−2, x₁ =−1.5 verwenden, dann ergeben sich folgende Werte:

x₀ = −2

p(x₀) = 21 x₁ = −1.5 p(x₁) = 6.5625

x₂ = −2− 21·(−1.5 + 2)

6.5625−21 = −1.2727 p(x₂) = 2.8632

x₃ = −1.5− 6.5625·(−1.2727 + 1.5)

2.8632−6.5625 = −1.0968 p(x₃) = 0.8531

x₄ = −1.2727− 2.8632·(−1.0968 + 1.2727)

0.8531−2.8632 = −1.0221 p(x₄) = 0.1808

x₅ = −1.0968− 0.8531·(−1.0221 + 1.0968)

0.1808−0.8531 = −1.0020 p(x₅) = 0.0160

x₆ = −1.0221− 0.1808·(−1.0020 + 1.0221)

0.0160−0.1808 = −1.0000 p(x₆) = 0

In der Tat ist auch a = −1 eine Nullstelle von p(x) = x⁴ + 2x² −3. Wenn wir schließlich als Startwerte x₀ = 0.5, x₁ =−0.5 verwenden, dann ergeben sich fol- gende Werte:

x₀ = 0.5, p(x₀) = −2.4375

x₁ = −0.5, p(x₁) = −2.4375

x₂ = 0.5−−2.4375·(−0.5−0.5)

−2.4375−(−2.4375) = 0.5− 2.4375

0 − nicht definiert Beispiel 2: Wir betrachten noch ein anderes Polynom p(x) = x³ −2x+ 2 und starten mit den Wertenx₀ = 1, x₁ =−1.

x₀ = 1, p(x₀) = 1

x₁ = −1, p(x₁) = 3

x₂ = 1− 1·(−1−1)

3−1 = 2, p(x₂) = 6 x₃ = −1− 3·(2−(−1))

6−3 = −4, p(x₃) = −54

Wie man leicht sieht, werden die Werte p(x_n) betragsm¨aßig immer gr¨oßer, d.h.

die erzeugte Folge konvergiert nicht gegen eine Nullstelle von p(x). Tats¨achlich liegt die Nullstelle ungef¨ahr bei a=−1.7693.

Fazit: Es h¨angt von den Startwerten ab,

1. ob das Sekantenverfahren ¨uberhaupt durchf¨uhrbar ist, 2. ob das Sekantenverfahren gegen einen Nullstelle konvergiert, 3. gegen welche Nullstelle das Sekantenverfahren konvergiert.

4. Außerdem muss man sich Gedanken machen, wie man geeignete Startwerte findet.