7. Übung Formale Grundlagen der Informatik

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Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich

7. Übung

Formale Grundlagen der Informatik

Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Reinhard Riedl (riedl@ifi.unizh.ch) Nadine Korolnik (korolnik@ifi.unizh.ch)

Verantwortlich für diese Übung: Uta Schwertel (uschwert@ifi.unizh.ch) Abgabe bis 30.05.2001, 17.00 Uhr

Briefkasten 067-C, Stockwerk K, Institut für Informatik der Universität Zürich

Thema: Einführung in die Logik I

Nachname Vorname Matrikelnummer

Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Summe

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1

1 Logische Konnektoren (2.5 Punkte)

1.1 Zusammengesetzte Aussagen (1 Punkt)

Warum ist “weil” kein Konnektor im Sinne der Aussagenlogik?

Hinweis:

Zeigen Sie z.B. anhand eines Beispiels, dass “weil” nicht die Eigenschaften eines logischen Konnektors hat.

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2

1.2 Wahrheitstabellen (1 Punkt)

Bestimmen Sie durch Aufstellen einer Wahrheitstabelle, ob folgende Formel tautologisch ist oder nicht.

((P → Q) ∧ (Q → R)) → ¬(¬R ∧ P)

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3

1.3 Vorrangsregeln (0.5 Punkte)

Gegeben sei folgende Formel:

¬A ∨ B ∧ C → D ∨ ¬E ∧ F

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Formeln äquivalent zu der gegebenen Formel ist. Beach- ten Sie dazu die Vorrangsregeln für die Konnektoren.

"

(¬(A ∨ B) ∧ C) → ((D ∨ ¬(E)) ∧ F)

"

(((¬A) ∨ B) ∧ C) → ((D ∨ (¬E)) ∧ F)

"

(¬A) ∨ (B ∧ (C → D)) ∨ (¬(E) ∧ F)

"

((¬A) ∨ (B ∧ C)) → (D ∨ ((¬E) ∧ F))

2 Semantik: Tautologie, Kontradiktion, … (2 Punkte)

Formeln, die weder tautologisch noch kontradiktorisch sind, heissen logisch kontingent, d.h. sie sind sowohl erfüllbar als auch widerlegbar.

Sei P eine Tautologie, Q eine Kontradiktion, R eine kontingente Aussage. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle für jede Aussage alle zutreffenden Eigenschaften an.

tautologisch kontradiktorisch kontingent logisch äquivalent zu R P ∧ R

P ∨ R Q ∧ R Q ∨ R P ∨ Q R → Q

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4

3 Analyse natürlichsprachlicher Sätze (2.5 Punkte)

Kreuzen Sie für jeden Satz die richtige aussagenlogische Formalisierung an. Nur eine Antwort ist richtig. Verwenden Sie die angegebenen Abkürzungen für die Teilaussagen.

3.1 Aufgabe (0.5 Punkte)

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für den Erhalt des Testats ist, dass mindestens 60 Punkte erreicht werden.

t: Das Testat wird erhalten.

p: Mindestens 60 Punkte werden erreicht.

"

p → t

"

(p → t) ∧ (t → p)

"

t → p

"

¬t → ¬p

Wir gehen, es sei denn es regnet.

g: Wir gehen.

r: Es regnet.

"

¬(g ∧ r)

"

(¬r → g) ∧ (r → ¬g)

"

g → ¬r

"

(g ∧ ¬r) ∨ ¬r ∨ ¬g

Wenn Maria kommt, wenn Hans nicht kommt, dann kommt Maria.

m: Maria kommt.

h: Hans kommt.

"

(m ∧ ¬h) → m

"

(h → ¬m) ∧ (¬h → m)

"

(¬h → m) → m

"

(m ∧ ¬h) ∨ (¬m ∧ h)

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5

Es ist nicht der Fall, dass jemand lachte oder applaudierte.

l: Jemand lachte.

a: Jemand applaudierte.

"

¬l → ¬a

"

¬l ∨ ¬a

"

¬(l ∧ a)

"

¬(l ∨ a)

Hans wünscht sich sowohl ein Fahrrad als auch eine Skateboard zum Geburtstag, aber er wird keines von beiden bekommen.

p: Hans wünscht sich ein Fahrrad zum Geburtstag.

q: Hans wünscht sich eine Skateboard zum Geburtstag.

r: Hans wird ein Fahrrad zum Geburtstag bekommen.

s: Hans wird ein Skateboard zum Geburtstag bekommen.

"

(p ∧ q) ∧ ¬(r ∨ s)

"

(p ∧ q) ∧ ¬(r ∧ s)

"

(p ∧ q) → (¬r ∧ ¬s)

"

(p ∨ q) ∧ (¬r ∧ ¬s)

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6

4 Semantik: Logische Konsequenz (3 Punkte)

Gegeben sei folgender natürlichsprachlicher Schluss über Nessie, dem Ungeheuer von Loch Ness.

Voraussetzungen:

P₁ Wenn Nessie ein Fabelwesen ist, dann ist sie unsterblich.

P₂ Wenn sie kein Fabelwesen ist, dann ist sie sterblich und ein Tier.

P₃ Wenn Nessie unsterblich oder ein Tier ist, dann ist sie ein Drache.

P₄ Sie ist eine Touristenattraktion, wenn sie ein Drache ist.

Konklusion:

K Also ist Nessie eine Touristenattraktion.

Beweisen Sie den natürlichsprachlichen Schluss. Gehen Sie dabei Schritt für Schritt wie folgt vor.

4.1 Aussagenlogische Formalisierung (1 Punkt)

Stellen Sie die Voraussetzungen als aussagenlogische Formelmenge M dar und die Konklusion als aussagenlogische Formel K. Verwenden Sie dabei für die Teilaussagen folgende Abkürzun- gen:

f: Nessi ist ein Fabelwesen.

s: Nessi ist sterblich.

t: Nessi ist ein Tier.

d: Nessi ist ein Drache.

a: Nessi ist eine Touristenattraktion.

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4.2 Beweis durch Widerspruch (2 Punkte)

Zeigen Sie mittels eines Beweises durch Widerspruch (gemäss Folien S. 19 bzw. S. 33), dass M |= K.