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Aufgabe 1. Geben Sie die Verkn¨ ufungstabellen der folgenden Monoide an und bestimmen Sie, welches Monoid eine Gruppe ist:

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Academic year: 2021

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Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Diskrete Mathematik f¨ ur Informatiker WS 2014/2015

Ubungsblatt 10 ¨

Aufgabe 1. Geben Sie die Verkn¨ ufungstabellen der folgenden Monoide an und bestimmen Sie, welches Monoid eine Gruppe ist:

1. S 3

2. ( Z 5 \{0}, ·) 3. ( Z 4 , ·) Aufgabe 2.

1. Geben Sie alle Untergruppen der folgenden Gruppen an:

(a) S 3 (b) ( Z 8 , +)

2. Finden Sie, falls m¨ oglich, zu den beiden Gruppen je zwei Untergruppen, deren Vereinigung keine Untergruppe ist.

Aufgabe 3. Berechnen Sie:

1. 5 40 mod 3

2. (77 · 34) + (85 · 44) mod 4 3. 2 3

4

mod 5

Aufgabe 4. Beweisen Sie: Es ist (a +b ) 5 ≡ a 5 +b 5 mod 5 f¨ ur alle a, b ∈ Z . Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass ϕ mit

ϕ : ( Z , +) → (m Z , +), ϕ(x ) = mx f¨ ur m ∈ N ein Isomorphismus ist.

Aufgabe 6. Betrachten Sie die Untergruppen von S 3 aus Aufgabe 1. Be- stimmen Sie die Links- und Rechtsnebenklassen dieser Untergruppen und bestimmen Sie die Normalteiler von S 3 .

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