Ubungsblatt 12 zur Zahlentheorie ¨

Universit¨at Konstanz Christoph Hanselka

Fachbereich Mathematik und Statistik Aaron Kunert

Sommersemester 2011 Markus Schweighofer

Ubungsblatt 12 zur Zahlentheorie ¨

Aufgabe 1.

SeiK:=R(X²)⊆L:=R(X) undA:=R[X²]⊆B:=R[X].

(a) Zeige, dassAein Hauptidealring (und damit ein Dedekindring) mit Quotientenk¨orperK ist.

(b) Zeige, dassL|Keine Galoiserweiterung vom Grad 2 ist.

(c) Zeige, dassB der ganze Abschluss vonAinL ist.

(d) Bestimme explizit alle Primideale vonAund vonB.

(e) Bestimme den Verzweigungsindexe_p(B) und den Tr¨agheitsindexf_p(B) in B ¨uber jedem p∈ M_A.

Aufgabe 2.

Seid∈

undK :=Q(√

d). Bestimme f¨ur jedes p∈Pden Verzweigungsindex e_pZ(O_K) und den Tr¨agheitsindexfpZ(OK) vonpZin OK.

Hinweis:Verwende das Gitter Z[√

d] außer wenn gleichzeitigd∈

1undp= 2.

Aufgabe 3.

Sei z∈Cmit z³−z+ 3 und R der Zahlring vonQ(z) (vgl. Aufgabe 3 auf Blatt 11). Bestimme die Primidealzerlegung von 2Z, 3Z, 5Z, 7Zund 11ZinR.

Abgabe bis Montag, den 11. Juli 2011, 10 Uhr in die Briefk¨asten neben F411.