§11.3 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen

§11.3 Diagonalisierung symmetrischer und

hermitescher Matrizen

Definition

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undf ∈End(V).

Dann heißtf selbstadjungiert, wenn

hf(v),wi=hv,f(w)i für allev,w ∈V.

Beispiel

Die orthogonale Projektion P_U ∈End(V) auf einen

endlichdimensionalen URU eines VRs mit SkalarproduktV ist selbstadjungiert. In der Tat: WegenV =U +U^⊥ reicht es zu beobachten, dass für alle u1,u2 ∈U und v1,v2 ∈U^⊥ gilt hP_U(u₁+v₁),u₂+v₂i=hu₁,u₂+v₂i=hu₁,u₂i und hu₁+v1,PU(u2+v2)i=hu₁+v1,u2i=hu₁,u2i.

Definition

Eine Matrix A∈K^n×n heißt selbstadjungiert(im Fall K=Rauch symmetrisch, im Fall K=C auchhermitesch), wenn f_A∈End(Kⁿ) selbstadjungiert ist.

Definition

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undf ∈End(V).

Dann heißtf selbstadjungiert, wenn

hf(v),wi=hv,f(w)i für allev,w ∈V.

Beispiel

Die orthogonale Projektion P_U ∈End(V) auf einen

endlichdimensionalen URU eines VRs mit SkalarproduktV ist selbstadjungiert.

In der Tat: WegenV =U +U^⊥ reicht es zu beobachten, dass für alle u1,u2 ∈U und v1,v2 ∈U^⊥ gilt hP_U(u₁+v₁),u₂+v₂i=hu₁,u₂+v₂i=hu₁,u₂i und hu₁+v1,PU(u2+v2)i=hu₁+v1,u2i=hu₁,u2i.

Definition

Eine Matrix A∈K^n×n heißt selbstadjungiert(im Fall K=Rauch symmetrisch, im Fall K=C auchhermitesch), wenn f_A∈End(Kⁿ) selbstadjungiert ist.

Definition

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undf ∈End(V).

Dann heißtf selbstadjungiert, wenn

hf(v),wi=hv,f(w)i für allev,w ∈V.

Beispiel

Die orthogonale Projektion P_U ∈End(V) auf einen

endlichdimensionalen URU eines VRs mit SkalarproduktV ist selbstadjungiert. In der Tat: WegenV =U +U^⊥ reicht es zu beobachten, dass für alle u1,u2 ∈U und v1,v2 ∈U^⊥ gilt hP_U(u₁+v₁),u₂+v₂i=hu₁,u₂+v₂i=hu₁,u₂i und hu₁+v1,PU(u2+v2)i=hu₁+v1,u2i=hu₁,u2i.

Definition

Eine Matrix A∈K^n×n heißt selbstadjungiert(im Fall K=Rauch symmetrisch, im Fall K=C auchhermitesch), wenn f_A∈End(Kⁿ) selbstadjungiert ist.

Definition

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undf ∈End(V).

Dann heißtf selbstadjungiert, wenn

hf(v),wi=hv,f(w)i für allev,w ∈V.

Beispiel

Die orthogonale Projektion P_U ∈End(V) auf einen

endlichdimensionalen URU eines VRs mit SkalarproduktV ist selbstadjungiert. In der Tat: WegenV =U +U^⊥ reicht es zu beobachten, dass für alle u1,u2 ∈U und v1,v2 ∈U^⊥ gilt hP_U(u₁+v₁),u₂+v₂i=hu₁,u₂+v₂i=hu₁,u₂i und hu₁+v1,PU(u2+v2)i=hu₁+v1,u2i=hu₁,u2i.

Definition

Eine Matrix A∈K^n×n heißt selbstadjungiert(im Fall K=Rauch symmetrisch, im Fall K=C auchhermitesch), wenn f_A∈End(Kⁿ) selbstadjungiert ist.

Definition

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undf ∈End(V).

Dann heißtf selbstadjungiert, wenn

hf(v),wi=hv,f(w)i für allev,w ∈V.

Beispiel

Die orthogonale Projektion P_U ∈End(V) auf einen

endlichdimensionalen URU eines VRs mit SkalarproduktV ist selbstadjungiert. In der Tat: WegenV =U +U^⊥ reicht es zu beobachten, dass für alle u1,u2 ∈U und v1,v2 ∈U^⊥ gilt hP_U(u₁+v₁),u₂+v₂i=hu₁,u₂+v₂i=hu₁,u₂i und hu₁+v1,PU(u2+v2)i=hu₁+v1,u2i=hu₁,u2i.

Definition

Eine Matrix A∈K^n×n heißt selbstadjungiert(im Fall K=Rauch symmetrisch, im Fall K=C auchhermitesch), wenn f_A∈End(Kⁿ) selbstadjungiert ist.

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Dav eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt.

Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Satz

Sei V ein VR mit Skalarprodukt undONBv = (v₁, . . . ,v_n).

Sei f ∈End(V). Dann gilt:

f selbstadjungiert ⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert.

Beweis.

Es gilt f =vec_v◦f_M(f,v)◦coord_v [→7.1.1] und daher

f ◦vec_v =vec_v◦f_M(f,v). Da v eine ONB ist, istvec_v nach 11.2.24 ein Isomorphismus von VRen mit Skalarprodukt. Es gilt daher

f selbstadjungiert

⇐⇒ ∀v,w ∈V:hf(v),wi=hv,f(w)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hf(vec_v(x)),vec_v(y)i=hvec_v(x),f(vec_v(y))i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hvec_v(M(f,v)x),vec_v(y)i=hvec_v(x),vec_v(M(f,v)y)i

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hM(f,v)x,yi=hx,M(f,v)yi

⇐⇒ M(f,v) selbstadjungiert

Proposition

SeienK ein kommutativer Ring,m,n,r ∈N0,A∈K^m×nund B ∈K^n×r. Dann gilt:

(a) (AB)^T =B^TA^T

(b) (AB)^∗ =B^∗A^∗ fallsK =K

Lemma

Sei A∈K^n×n undx,y ∈Kⁿ. Dann gilt hA^∗x,yi=hx,Ayi.

Beweis.

hA^∗x,yi^11.1.3(a)= (A^∗x)^∗y =x^∗(A^∗)^∗y =x^∗Ay ^11.1.3(a)= hx,Ayi Proposition

Für A∈K^n×n gilt

A selbstadjungiert ⇐⇒ A^∗ =A.

Beweis.

Aselbstadjungiert ⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hx,Ayi

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hA^∗x,yi

⇐⇒ A=A^∗

Lemma

Sei A∈K^n×n undx,y ∈Kⁿ. Dann gilt hA^∗x,yi=hx,Ayi.

Beweis.

hA^∗x,yi^11.1.3(a)= (A^∗x)^∗y =x^∗(A^∗)^∗y =x^∗Ay ^11.1.3(a)= hx,Ayi

Proposition Für A∈K^n×n gilt

A selbstadjungiert ⇐⇒ A^∗ =A.

Beweis.

Aselbstadjungiert ⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hx,Ayi

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hA^∗x,yi

⇐⇒ A=A^∗

Lemma

Sei A∈K^n×n undx,y ∈Kⁿ. Dann gilt hA^∗x,yi=hx,Ayi.

Beweis.

hA^∗x,yi^11.1.3(a)= (A^∗x)^∗y =x^∗(A^∗)^∗y =x^∗Ay ^11.1.3(a)= hx,Ayi Proposition

Für A∈K^n×n gilt

A selbstadjungiert ⇐⇒ A^∗ =A.

Beweis.

Aselbstadjungiert ⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hx,Ayi

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hA^∗x,yi

⇐⇒ A=A^∗

Lemma

Sei A∈K^n×n undx,y ∈Kⁿ. Dann gilt hA^∗x,yi=hx,Ayi.

Beweis.

hA^∗x,yi^11.1.3(a)= (A^∗x)^∗y =x^∗(A^∗)^∗y =x^∗Ay ^11.1.3(a)= hx,Ayi Proposition

Für A∈K^n×n gilt

A selbstadjungiert ⇐⇒ A^∗ =A.

Beweis.

A selbstadjungiert ⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hx,Ayi

⇐⇒ ∀x,y ∈Kⁿ:hAx,yi=hA^∗x,yi

⇐⇒ A=A^∗

Lemma

Sei A∈K^n×n selbstadjungiertundλ∈Cmitχ_A(λ) =0.

Dann gilt λ∈R. Beweis.

Wir können K=Cannehmen. Dann ist λein Eigenwert vonA, das heißt es gibt x ∈Cⁿ\ {0} mitAx =λx. Es folgt

λhx,xi^11.1.1(4)= hx, λxi=hx,Axi=hAx,xi^11.1.1(2)= hλx,xi=λ^∗hx,xi

und daherλ=λ^∗ nach 11.1.1(6).

Lemma

Sei A∈K^n×n selbstadjungiertundλ∈Cmitχ_A(λ) =0.

Dann gilt λ∈R. Beweis.

Wir können K=Cannehmen.

Dann istλein Eigenwert vonA, das heißt es gibt x ∈Cⁿ\ {0} mitAx =λx. Es folgt

λhx,xi^11.1.1(4)= hx, λxi=hx,Axi=hAx,xi^11.1.1(2)= hλx,xi=λ^∗hx,xi

und daherλ=λ^∗ nach 11.1.1(6).

Lemma

Sei A∈K^n×n selbstadjungiertundλ∈Cmitχ_A(λ) =0.

Dann gilt λ∈R. Beweis.

Wir können K=Cannehmen. Dann ist λein Eigenwert vonA, das heißt es gibt x ∈Cⁿ\ {0} mitAx =λx.

Es folgt

λhx,xi^11.1.1(4)= hx, λxi=hx,Axi=hAx,xi^11.1.1(2)= hλx,xi=λ^∗hx,xi

und daherλ=λ^∗ nach 11.1.1(6).

Lemma

Sei A∈K^n×n selbstadjungiertundλ∈Cmitχ_A(λ) =0.

Dann gilt λ∈R. Beweis.

Wir können K=Cannehmen. Dann ist λein Eigenwert vonA, das heißt es gibt x ∈Cⁿ\ {0} mitAx =λx. Es folgt

λhx,xi^11.1.1(4)= hx, λxi=hx,Axi=hAx,xi^11.1.1(2)= hλx,xi=λ^∗hx,xi

und daherλ=λ^∗ nach 11.1.1(6).

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.

Insbesondere istf diagonalisierbar. Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N) Wir zeigen zunächst, dassf einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONB w vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈Cmit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N) Wir zeigen zunächst, dassf einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONB w vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈Cmit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N) Wir zeigen zunächst, dassf einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONB w vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈Cmit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N)Wir zeigen zunächst, dass f einenreellen Eigenwert λbesitzt:

Wählt man nämlich eine ONB w vonV und setzt A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈Cmit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N)Wir zeigen zunächst, dass f einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONBw vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈C mit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Da f selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N)Wir zeigen zunächst, dass f einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONBw vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈C mit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u).

Daf selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v ∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N)Wir zeigen zunächst, dass f einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONBw vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈C mit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Daf selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0.

Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Satz (benutzt Fundamentalsatz)

Sei V ein endlichdimensionaler VR mit Skalarprodukt und f ein selbstadjungierterEndomorphismus von V.

Dann gibt es eine ONB vonV, die aus Eigenvektoren von f zu reellen Eigenwerten besteht.Insbesondere istf diagonalisierbar.

Beweis.

Induktion nachn :=dimV. n =0 nichts zu zeigen

n−1→n (n∈N)Wir zeigen zunächst, dass f einenreellen Eigenwert λbesitzt: Wählt man nämlich eine ONBw vonV und setzt

A:=M(f,w), so istAselbstadjungiert und daher jedes λ∈C mit χ_A(λ) =0 nach dem Lemma sogar ausR. Nun gilt aberχ_f =χ_A und es gibt ein solchesλwegen degχf =n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

Wir wählen nun einen Eigenvektoru ∈V zu diesem Eigenwertλ∈R. Setze U :=span(u). Daf selbstadjungiert ist, gilt f(U^⊥)⊆U^⊥, denn ist v∈U^⊥, so gilt hf(v),ui=hv,f(u)i=λhv,ui=0. Nun ist

f|_U⊥:U^⊥→U^⊥,v 7→f(v) ein selbstadjungierterEndomorphismus des VRs mit Skalarprodukt U^⊥. . .

Korollar (benutzt Fundamentalsatz) Sei A∈K^n×n selbstadjungiert.

Dann gibt es eine reelleDiagonalmatrix D ∈R^n×n und eineorthogonale MatrixP ∈K^n×n mitA=P^∗DP. Insbesondere istA diagonalisierbar.

Beweis.

Wähle ONB v vonKⁿ, die aus Eigenvektoren von Azu reellen Eigenwerten besteht. Nach Satz 11.2.26 ist P :=M(e,v) [→7.1.10] dann orthogonal und daher

P^{∗ 11.2.27(f}= ⁾P^{−1 7.2.11}= M(v,e). Also

A^7.1.4(e)= M(f_A,e)^7.2.5= M(v,e)M(f_A,v)M(e,v) =P^∗DP, wobeiD :=M(fA,v)eine reelle Diagonalmatrix ist.

Korollar (benutzt Fundamentalsatz)

Sei A∈K^n×n selbstadjungiert.Dann gibt es eine reelleDiagonalmatrix D ∈R^n×n und eineorthogonale MatrixP ∈K^n×n mitA=P^∗DP.

Insbesondere istA diagonalisierbar. Beweis.

Wähle ONB v vonKⁿ, die aus Eigenvektoren von Azu reellen Eigenwerten besteht. Nach Satz 11.2.26 ist P :=M(e,v) [→7.1.10] dann orthogonal und daher

P^{∗ 11.2.27(f}= ⁾P^{−1 7.2.11}= M(v,e). Also

A^7.1.4(e)= M(f_A,e)^7.2.5= M(v,e)M(f_A,v)M(e,v) =P^∗DP, wobeiD :=M(fA,v)eine reelle Diagonalmatrix ist.

Korollar (benutzt Fundamentalsatz)

Sei A∈K^n×n selbstadjungiert.Dann gibt es eine reelleDiagonalmatrix D ∈R^n×n und eineorthogonale MatrixP ∈K^n×n mitA=P^∗DP. Insbesondere istA diagonalisierbar.

Beweis.

Wähle ONB v vonKⁿ, die aus Eigenvektoren von Azu reellen Eigenwerten besteht.

Nach Satz 11.2.26 ist P :=M(e,v) [→7.1.10] dann orthogonal und daher

P^{∗ 11.2.27(f}= ⁾P^{−1 7.2.11}= M(v,e). Also

A^7.1.4(e)= M(f_A,e)^7.2.5= M(v,e)M(f_A,v)M(e,v) =P^∗DP, wobeiD :=M(fA,v)eine reelle Diagonalmatrix ist.

Korollar (benutzt Fundamentalsatz)

Sei A∈K^n×n selbstadjungiert.Dann gibt es eine reelleDiagonalmatrix D ∈R^n×n und eineorthogonale MatrixP ∈K^n×n mitA=P^∗DP. Insbesondere istA diagonalisierbar.

Beweis.

Wähle ONB v vonKⁿ, die aus Eigenvektoren von Azu reellen Eigenwerten besteht. Nach Satz 11.2.26 ist P :=M(e,v) [→7.1.10]

dann orthogonal und daher

P^{∗ 11.2.27(f}= ⁾P^{−1 7.2.11}= M(v,e).

Also

A^7.1.4(e)= M(f_A,e)^7.2.5= M(v,e)M(f_A,v)M(e,v) =P^∗DP, wobeiD :=M(fA,v)eine reelle Diagonalmatrix ist.

Korollar (benutzt Fundamentalsatz)

Sei A∈K^n×n selbstadjungiert.Dann gibt es eine reelleDiagonalmatrix D ∈R^n×n und eineorthogonale MatrixP ∈K^n×n mitA=P^∗DP. Insbesondere istA diagonalisierbar.

Beweis.

Wähle ONB v vonKⁿ, die aus Eigenvektoren von Azu reellen Eigenwerten besteht. Nach Satz 11.2.26 ist P :=M(e,v) [→7.1.10]

dann orthogonal und daher

P^{∗ 11.2.27(f}= ⁾P^{−1 7.2.11}= M(v,e).

Also

A^7.1.4(e)= M(f_A,e)^7.2.5= M(v,e)M(f_A,v)M(e,v) =P^∗DP, wobeiD :=M(fA,v)eine reelle Diagonalmatrix ist.