9. Klasse L¨osungen 9

(1)

CC BY-SA: www.strobl-f.de/lsg99.pdf

9. Klasse L¨osungen 9

Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 09

1. (a)

L L

b 2

h

_∆

s

Mit Pythagoras berechnet man die H¨ohe h

_∆

des Grundfl¨achen- Dreiecks: h

_∆

= ^q s

²

− (

₂^b

)

²

= √

8 = 2 √

2. (Alle Maße in cm.) Also G =

¹₂

bh

_∆

= 2 √

2; V = Gh = 2 √

2 · 5 = 10 √

2 ≈ 14,1.

O = 2G + uh = 2 · 2 √

8 + (3 + 3 + 2) · 5 = 40 + 4 √

2 ≈ 45,7.

(b) V = r

²

πh = 3

²

π · 5 = 45π ≈ 141,4.

O = 2rπh + 2r

²

π = 2 · 3π · 5 + 2 · 3

²

π = 48π ≈ 150,8 (c)

, ,

, , , L

L L

L hhh h h

A B

C D S

M F

V =

¹₃

Gh =

¹₃

· 24

²

· 5 = 960

H¨ohe h

_∆

= SM des Seitenfl¨achen-Dreiecks aus dem St¨utzdreieck F M S : M S =

q

F M

²

+ SF

²

= √

12

²

+ 5

²

= 13.

O = 4A

_∆

+G = 4·

¹₂

BCh

_∆

+G = 4·

¹₂

·24·13+24

²

= 1200.

(d) V =

¹₃

r

²

πh =

¹₃

· 3

²

π · 5 = 15π ≈ 47,1; m = √

r

²

+ h

²

= √ 34 O = πrm + r

²

π = π · 3 · √

34 + 3

²

π = (3 √

34 + 9)π ≈ 83,2

2. Der K¨orper setzt sich zusammen aus einem Kegel mit Radius r

_K

= 2a und H¨ohe h

_K

= a plus einem großen Zylinder mit Radius R

_Z

= 2a und H¨ohe H

_Z

= a minus einem kleinen Zylinder mit Radius r

Z

= a und H¨ohe h

z

= a:

V =

¹₃

r

²_K

πh

_K

+ R

²_Z

πH

_Z

− r

_Z²

πh

_Z

=

¹₃

(2a)

²

πa + (2a)

²

πa − a

²

πa =

¹³₃

a

³

π

3. r =

^h₂

. V =

¹₃

r

²

πh =

¹₃

(

^h₂

)

²

πh =

₁₂^π

h

³

= 1 dm

³

, also h = ^q

³ ¹²_π

dm ≈ 15,6 cm.

Aus ” Bogenl¨ange gleich Grundkreisumfang“, b =

₃₆₀^α◦

2mπ = 2rπ, folgt mit r =

^h₂

und m = ^q h

²

+ (

^h₂

)

²

= ^q

⁵₄

h:

₃₆₀^α◦

·

√ 5

2

h =

^h₂

, also α =

³⁶⁰^√₅^◦

≈ 161

^◦

. 4.

A

E

E E

E EE

@

@ @ Q

Q Q

r h 2,6r

A F

M S

D E

St¨utzdreieck AF S: h

²

+r

²

= (2,6r)

²

, also h

²

= 5,76r

²

, h = 2,4r.

Die Grundfl¨ache G besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit Fl¨ache A

_∆

=

¹₂

DE · F M =

¹₂

r

√3 2

r =

√3

4

r

²

. Also V =

¹₃

Gh =

¹₃

· 6 ·

√3

4

r

²

· 2,4r = 1,2 √ 3r

³

.

Winkel ϕ =< ) F AS der Seitenkante zur Grundfl¨ache aus dem St¨utzdreieck F AS:

cos ϕ =

^AF

AS

=

_2,6r^r

≈ 0,385, also ϕ ≈ 674

^◦

.

Seitenfl¨achen-Winkel ψ =< ) F M S aus ∆F M S : tan ψ =

_{F M}^{F S}

=

^2,4r^√₃

2 r

≈ 2,77; ψ ≈ 70,2

^◦

. 5.

r

₂

r

₁

h

₁

S M

₁

M

₂

A

1

A

₂

Ergänzt man den Kegelstumpf zu einem Kegel, so erhält man ähn- liche Dreiecke: Die Strecken im Dreieck M

1

A

1

S verhalten sich wie die entsprechenden Strecken im Dreieck M

₂

A

₂

S:

_h^r¹

1

=

_h+h^r²

1

. Kreuzweise multiplizieren: r

₁

(h + h

₁

) = r

₂

h

₁

r

1

h + r

1

h

1

= r

2

h

1

; r

1

h = r

2

h

1

− r

1

h

1

; h

1

=

_r^r¹^h

2−r₁

=

₅₋₃^3·2

= 3 V

_K.stumpf

= V

_{ganzer K.}

−V

_{oberer K.}

=

¹₃

r

₂²

π(h + h

₁

) −

¹₃

r

²₁

πh

₁

≈ 102,6 6. Eine aus dem

” halben“ Netz hergestellte Pyramide hat quadrati- sche Grundfl¨ache mit Diagonalenl¨ange √

2k, also ergibt sich im eingezeichneten St¨utzdreieck mit Pythagoras: (

√ 2k

2

)

²

+ h

²

= k

²

, somit h = ^q

¹₂

k ≈ 0,71k.

q

9. Klasse L¨osungen 9