9. Klasse L¨osungen 09

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9. Klasse L¨osungen 09

Kompakt- ¨ Uberblick zum Grundwissen K

1. (a)

√144−√ 44

2

=

¹²⁻²

√ 11

2

= 6 − √

11 (b) . . . = (x − 1)

⁻¹²

· (x − 1)

⁻¹²

=

= (x − 1)

⁻¹

=

_x−1¹

2. . . .=

^a_(a+1)⁵^(1−a2²⁾

=

^a⁵^(1+a)(1−a)_(a+1)2

=

^a⁵_1+a^(1−a)

3. ∆GCD: 24

²

+ GC

²

=

(6 √

41)

²

; GC = 30 Also AD = 40.

J JJ B

A

M₁G C M₂D

6√ 41 24

Ferner EF = (120 − 80) : 2 = 20.

Die Punkte EF M

₂

D bilden eine kleine Pyramide. Im Dreieck M

₂

DE (mit rechtem Winkel bei M

₂

) gilt dabei:

ED

²

= M

₂

D

²

+ M

₂

E

²

= 656.

∆EDF (rechter Winkel bei E):

DF

²

= ED

²

+ EF

²

= 656 + 20

²

= 1056, also DF = √

1056 ≈ 32,5 Volumen: Quader (unten) mit aufge- setztem Prisma (Grundfläche BCE) minus zwei kleine Pyramiden (mit Grundfläche ADE und Höhe EF ).

4. Sei x das Alter des Klavierlehrers.

Mein Alter: x − 22.

x·(x− 22) = 555; x

²

−22x−555 = 0;

x

_1/2

= 11 ± 26. Also ist er 37.

5. Enge Parabel mit den Nullstellen 1 und 3, also Scheitel bei (2| − 2).

Spiegelung: y = −2(x − 3)(x − 1).

6. Scheitel S mit quadr. Erg¨anzung:

y = −[x

²

+4x−5] = −[(x+2)

²

−9] =

−(x + 2)

²

+ 9, also S(−2|9).

−x

²

− 4x + 5 = −2x + 6;

6

-x y

0 1 1 A

A A

0 = x

²

+ 2x + 1;

x

_1/2

= −1 (1 Lsg.) Anschaulich: Die Gerade y = −2x +6 ber¨uhrt die Parabel in einem Punkt.

7. Zum Beispiel: Kartenspiel mit 52 Kar- ten, davon 4 K¨onige. Ziehen von 2 Karten ohne Zur¨ucklegen. Im Baum- diagramm ist dann der obere Ast jeweils

” K¨onig“, der untere

” nicht K¨onig“, und es ist ? =

⁴⁸₅₁

.

A: ” Genau ein K¨onig“.

8.

β

c b= 9

a= 4 α

@@R h_c

c = √

a

²

+ b

²

=

= √

4

²

+ 9

²

≈ 9,85 tan α =

⁴₉

≈ 0,44, also α ≈ 23,96

^◦

β = 180

^◦

−γ −α ≈ 66,04

^◦

sin α =

^h_b^c

, also h

c

= b sin α ≈ 3,66 Andere Wege: cos β =

^h_a^c

oder Fl¨ache A =

¹₂

ab =

¹₂

ch

_c

, also h

_c

=

^ab_c

9. (a)

V

_Z

= r

₁²

πh

_Z

= 1

²

π · 2 ≈ 6,28 (b)

V

Z

= V

K

=

¹₃

r

₁²

πh

K

, also h

K

= 3h

Z

= 6 (c)

Der Rotationsk¨orper ist ein gelochter Zylinder mit doppeltem Radius r

₂

= 2 und Loch mit r

₁

= 1. Da in V = r

²

πh der Radius quadratisch eingeht, ist das Volumen des Zylinders mit r

₂

= 2 im Vergleich zum vorigen Zylinder 4- fach, nach Abzug des Lochs bleibt also 3-faches Volumen.

10. (a) −5,5 = 8x; x = −

^5,5₈

= −

¹¹₁₆

(b) 2x

²

+ 3x − 2 = 0; x

_1/2

=

−3±

√

9−4·2·(−2)

2·2

; x

₁

=

¹₂

; x

₂

= −2 (c) x(x − 9) = 0; x

₁

= 0; x

₂

= 9 (d) D = IR\{0; −9};

^Mult._x(x−9)^{mit HN}

:

x + 9 + 8x = x(x + 9);

x

²

= 9; L = {−3; 3}

(e) x =

¹⁰

√

1000 = 1000

¹⁰¹

≈ 1,995

(f) Zwei L¨osungen: x

_1/2

= ±7