Algorithmische Graphentheorie (WS2014/15)
Kapitel 8 Broadcast
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik 1
16.12.2014 18:21
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
(8:2.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Inhalt I
1 Einleitung Probleme Kommunikationsarten Schreibweisen Grundlagen
2 Broadcast Untere Schranke Erste Resultate Bäume
3 Komplexität
Definition und erste Ergebnisse Komplexität
4 Broadcast auf Netzwerken Erste Resultate CCC SE BF DB
5 Untere Schranken Knotengrad
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v)
und
kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:1.8) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Broadcasts und Accumulation
Definition (Broadcast):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V. v habe InformationI(v) und kein Knoten ausV \ {v}kenntI(v).
Jeder Knoten ausV\ {v}soll die InformationI(v) erhalten.
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w)
und
kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Probleme (8:2.8) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definition von Accumulation und Gossip
Definition (Accumulation):
Gegeben seiG= (V,E) undv ∈V.
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Der Knotenv soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Definition (Gossip):
Gegeben seiG= (V,E).
Jeder Knotenw ∈V habe InformationI(w) und kein Knoten ausV \ {w}kenntI(w).
Jeder Knotenv ∈V soll die Information∪w∈VI(w) erhalten.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.8) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:3.9) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Telegraphmode: Kommunikation ist gerichtet.
Wird auch Einweg Algorithmus genannt.
Telephonemode: Information wird ausgetauscht.
Wird auch Zweiweg Algorithmus genannt.
Kommuniziert wird immer zwischen Nachbarn.
Kommuniziert wird in Runden.
In jeder Runde bilden die aktiven Kanten ein Matching.
Jede Runde benötigt eine Zeiteinheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Kommunikationsarten (8:4.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Kommunikationsarten
Beim Broadcastproblem wird also die Information eines Knotens auf alle anderen verteilt.
Das Accumulationsproblem ist ein “inverses” Broadcast.
Beim Gossip wird die Summe aller Informationen in jeden einzelnen Knoten gesammelt.
Es wird hier nun immer in einer Kommunikationsrunde mittels eines Matchings kommuniziert.
Die Kommunikation auf einer Kante kann in eine Richtung oder in beide Richtungen gehen.
Die Größe der Datenmenge wird hier nicht berücksichtigt.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:5.8) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
Mitcomm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) von eimem Kommunikationsalgorithmus bezeichnet.
r(G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG}
r2(G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Gossip Problem aufG} b(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv}
b2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus und löst Broadcast-Problem aufG undv} a(v,G) = min{comm(A)|
Aist Einweg Algorithmus und löst Accumulations Problem aufG undv} a2(v,G) = min{comm(A)|
Aist Zweiweg Algorithmus für Accumulations Problem aufG undv}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Schreibweisen (8:6.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Definitionen
b(G) = max{b(v,G)|v ∈V} b2(G) = max{b2(v,G)|v ∈V} a(G) = max{a(v,G)|v∈V} a2(G) = max{a2(v,G)|v ∈V} minb(G) = min{b(v,G)|v ∈V} mina(G) = min{a(v,G)|v∈V}
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.5) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.6) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.7) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.8) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.9) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.10) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.11) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.12) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.13) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.14) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.15) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.16) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:7.17) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse
Für jeden GraphenG undv ∈V gilt:
a2(v,G) =b2(v,G) a(v,G) =b(v,G) a(G) =b(G) mina(G) = minb(G) b(v,G) =b2(v,G) b(G) =b2(G)
Beachte dabei: Reverses Broadcast ist Accumulation.
Es gibt GraphG mit:r(G) = 2·r2(G).
Betrachte dazu: 2-Clique oder Kreis der Länge vier.
Es gilt: minb(G)6b(G)6r2(G)6r(G)62·r2(G).
Die Ungleichungen ergeben sich aus den Definitionen.
minb(L(n)) =dn/2e
Optimales Broadcast auf der Linie startet in der Mitte der Linie.
b(L(n)) =n−1
Eine Nachricht von links muss über alle Kanten nach rechts laufen.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:8.1) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse II
Lemma:
Für jeden GraphenG mit|V|>2 gilt:
b(G)6r(G)62·minb(G) b(G)6r2(G)62·minb(G)−1
Beweis: Betrachte folgende Schritte.
Seiv ∈V mitb(v,G) = minb(G) = mina(G) =z.
SeiA=E1,E2,· · ·Ez der zugehörige Einweg Broadcast Algorithmus.
SeiB=F1,F2,· · ·Fz der zugehörige Einweg Accumulations Algorithmus.
Dann erhält man einen Einweg Gossip Algorithmus durch F1,F2,· · ·Fz,E1,E2,· · ·Ez.
Beachte: im Zweiweg Modus gilt:Fz =E1. Beachte: BeiL(2·n) gilt die Gleichheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:8.2) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse II
Lemma:
Für jeden GraphenG mit|V|>2 gilt:
b(G)6r(G)62·minb(G) b(G)6r2(G)62·minb(G)−1
Beweis: Betrachte folgende Schritte.
Seiv ∈V mitb(v,G) = minb(G) = mina(G) =z.
SeiA=E1,E2,· · ·Ez der zugehörige Einweg Broadcast Algorithmus.
SeiB=F1,F2,· · ·Fz der zugehörige Einweg Accumulations Algorithmus.
Dann erhält man einen Einweg Gossip Algorithmus durch F1,F2,· · ·Fz,E1,E2,· · ·Ez.
Beachte: im Zweiweg Modus gilt:Fz =E1. Beachte: BeiL(2·n) gilt die Gleichheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:8.3) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse II
Lemma:
Für jeden GraphenG mit|V|>2 gilt:
b(G)6r(G)62·minb(G) b(G)6r2(G)62·minb(G)−1 Beweis: Betrachte folgende Schritte.
Seiv ∈V mitb(v,G) = minb(G) = mina(G) =z.
SeiA=E1,E2,· · ·Ez der zugehörige Einweg Broadcast Algorithmus.
SeiB=F1,F2,· · ·Fz der zugehörige Einweg Accumulations Algorithmus.
Dann erhält man einen Einweg Gossip Algorithmus durch F1,F2,· · ·Fz,E1,E2,· · ·Ez.
Beachte: im Zweiweg Modus gilt:Fz =E1. Beachte: BeiL(2·n) gilt die Gleichheit.
Einleitung Broadcast Komplexität Broadcast auf Netzwerken Untere Schranken
Grundlagen (8:8.4) <> Walter Unger 6.1.2015 17:01 WS2014/15 Z
Erste Erkenntnisse II
Lemma:
Für jeden GraphenG mit|V|>2 gilt:
b(G)6r(G)62·minb(G) b(G)6r2(G)62·minb(G)−1 Beweis: Betrachte folgende Schritte.
Seiv ∈V mitb(v,G) = minb(G) = mina(G) =z.
SeiA=E1,E2,· · ·Ez der zugehörige Einweg Broadcast Algorithmus.
SeiB=F1,F2,· · ·Fz der zugehörige Einweg Accumulations Algorithmus.
Dann erhält man einen Einweg Gossip Algorithmus durch F1,F2,· · ·Fz,E1,E2,· · ·Ez.
Beachte: im Zweiweg Modus gilt:Fz =E1. Beachte: BeiL(2·n) gilt die Gleichheit.
