5.2 Freie gedämpfte Schwingungen
reell
Grenzfall her
Aperiodisc 3)
reell
Kriechfall Dämpfung,
Starke )
2
komplex
l Schwingfal Dämpfung,
Schwache 1)
: Fälle 3
Gleichung) istische
(charakter
0 2
) exp(
) ( atz Lösungsans
0 2
allgemein oder
0
l Federpende :
Beispiel
2 1 2
2 0
2 , 1 2
2 0
2 , 1 2
2 0 2
0 2 1,2
2 0 2
2 0
t C
t x
x x
x mx
x D m x k
x k x D x
m
Schwingfall
) cos(
) exp(
) ( Lösung
mit 02 2
1,2
t t
C t x
i
Kriechfall
exp( ) exp( )
) ( Lösung
mit
2 1
2 0 2 1,2
t C
t C
e t
x t
Pohlsches Rad zur Demonstration freier gedämpfter und erzwungener Schwingungen
Koeffizienten hängen von den Anfangsbedingungen ab, z.B. folgende 2 Fälle:
Aperiodischer Grenzfall
(1 ) exp( )
) exp(
) exp(
) exp(
) (
: Ableitung Zeitliche
) exp(
) (
: Lösung allgemeine
) exp(
: en) verifizier Einsetzen
(durch Lösung
zweite
) exp(
) (
: Lösung liche
offensicht
2 1
2 2
1 2 1 2 1
t t
C C t
t C t C
t C
t x
t t
C C t x
t t
C x(t)
t C
t x
) exp(
) 1 ( )
( 0
0 ) 0 ( )
0 ( b)
) exp(
) ( 0
) 0 ( 0 ) 0 ( a)
2 2
1 1
0 2
2 1
0 1
0
t t
A t x C
A C
C C
A
x A x
t t
v t x C
C C v
C
v x
x
a)
b)
5.3 Erzwungene Schwingung
Einführung einer äußeren periodisch wirkenden Kraft, so dass die Gleichung inhomogen wird.
Ihre allgemeine Lösung besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung:
) cos(
) cos(
2 02 0 t K t
m x F x
x
Ansatz für stationären Zustand (d.h. nach dem Einschwingvorgang, der komplizierter sein kann):
sin 2 cos
2 2
2
~
2 ~
~ ergibt ~
eingesetzt
komplex) (~
)
~ exp(
) (
2 2 2
2 0 2
2 2 2 0
2 2 0 2
2 0
2 0 2
iA A
ib K a
K i i
A K
K A
A i A
A t
i A
t z
) exp(
2 z 02 z K i t
z
ab A K
K b K
a
A
tan
2 ~
2
~ 2
2 2 2
2 0 2 2
2 2 2 0
2 2 2 2
2 0 2 2 2 2
Frequenz des Maximum (Resonanzfrequenz): Minimum des Nenners
2 2 0 2
2 0
2 2 0 2
2 2
2 0 2
2 2 2 0
vgl.
2
4 8
0 8
2 2 2
frei res
d d
Schwingungsfrequenz des freien Oszillators
komplexe Schreibweise:
Phase:
0 tan
:
tan 2 :
0 0
tan : 0 tan 2
0
2 2
a 0
b
gleichphasig 90 Grad verzögert gegenphasig
2 . 1 4 1
2 cos 1 2
1
2 sin 1
weil 1 4
sin 1 2
1 1
2 sin 1 2
1 cos
2 2 0 2 2 0
0 2 2 2
0 0
0
0 2 2
2 0 0
0 2 2 2 0
0 2 2 2 0 2
0
const A
m E
E
A m E
t DA
Dx dx
Dx dx
F E
dt T t
A m dt
t A
T m E
t A
m x
m E
t A
x
pot kin
pot
x x
pot
T T
kin kin
Energiebilanz
Einsturz der Tacoma-
Energiebilanz der gedämpften Schwingung
2 3 Periode 2
pro lust Energiever
Energie 2
Gütefaktor
2 )
2 exp(
2 . 1
0
2 2 0
E E T E Q E
E E
t E
E
const A
m E
E
E kin pot
großes Q: geringer Energievelust, langes Nachschwingen, kleine spektrale Breite ("Bandbreite") kleines Q: hoher Eneregieverlust, kurzes Nachschwingen, große Bandbreite
Supraleitende Hochfrequenz- Resonatoren bei 1,3 GHz:
Gütefaktor 1010 Eine Stimmgabel bei 440 Hz
