Ergänzungen zum Kapitel 2b. Gedämpfte Schwingungen
Die Lösung des Schwingungsproblems
Die komplexe Schwingungsgleichung hat die Form:
t 2 z
t 02z
t 0z , (1) die durch eine komplexe Funktion z t gelöst werden muss. Man bezeichnet 0 als die Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung und als Abklingkonstante der Schwingung. In der Vorlesung werden Schwingungen am Beispiel des Federpendels behandelt. Für ein Federpendel gilt: Die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ist gegeben durch:
m
D
0 , (2) wobei D die Federkonstante und m die Masse des Pendels bezeichnet. Die Abklingkonstante
ist gegeben durch:
m b
2
, (3) wobei b die Dämpfungskonstante der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft FReibung
darstellt. Es gilt:
t b x t v
b
FReibung . (4) Hierbei ist: v
t x
t Re
z
t der Realteil der komplexen Geschwindigkeitsfunktion z t . Die Differentialgleichung (1) kann mit Hilfe einer komplexen Exponentialfunktion gelöst werden:
t z e tz 0 . (5) Dabei sind z(t), z0 und Elemente der Menge der komplexen Zahlen. Wie in der Vorlesung gezeigt, ergibt sich mit Hilfe dieses Ansatzes die folgen charakteristische Gleichung für den (komplexen) Exponenten :
02
2
. (6) Beachte: Sowohl die Abklingkonstante als auch die Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung 0 sind reelle Zahlen. Da der Radikand aber sowohl positiv als auch negativ
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wird dadurch im allgemeinen Fall eine komplexe Zahl. Zur Beschreibung der
physikalischen Größen der Schwingung, wie Auslenkung (Amplitude) oder Geschwindigkeit, benötigt man aber reelle Lösungsfunktionen. Im folgenden werden diese reellen Lösungen für einige spezielle Anfangsbedingungen bestimmt.
Zur Vereinfachung der Diskussion der Lösungen unterscheidet man zunächst die drei folgenden Fälle: 1. 2 02, 2. 02
2
und 3. 02
2
.
1. 2 02: Schwingfall
1.1. Bestimmung der allgemeinen Schwingfalllösungen
Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante kleiner ist als die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung 0, d. h. 2 02. Der Radikand unter der Wurzel in der Gleichung (6) ist mit dieser Nebenbedingung immer eine negativ und deshalb kann die Wurzel nur durch eine rein imaginäre Zahl gelöst werden. Man definiert deshalb als reelle Größe:
2 02
e (7) die als Eigen(kreis)frequenz der gedämpften Schwingung bezeichnet wird, wobei wegen der Bedingung, dass 02 2 gelten soll, e2 eine positive reelle Zahl ist und deshalb die Wurzel durch die reellen Zahlen e gelöst wird. Durch Umstellen der Gleichung (6) kann der Exponent in der folgenden Form dargestellt werden:
e i e
1,2 1 02 2 1 2 (8) (Beachte: 1,2 entspricht den beiden komplexe Lösungen 1 und 2. In beiden Fällen ist der Realteil gleich, die Imaginärteile ie und ie unterscheiden sich durch das Vorzeichen: 1 e und 1 e.)
Die allgemeine komplexe Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall ist eine Linearkombination der beiden linear unabhängigen Teillösungen: z1
t z01etiet und
t z e t i etz2 02 :
t z e t i et z e t i e t e t
z e i et z e i et
z 01 02 01 02 (9) 1.2. Bestimmung der reellen Schwingfalllösungen
Zur Bestimmung der reellen Lösungsfunktionen drückt man die komplexen Amplituden z01
und z02 als Summe von Real- und Imaginärteil aus:
1 1
01 u i v
z und z02 u2 iv2, (10) wobei u1, u2, v1 und v2 reelle Zahlen sind.
Man verwendet außerdem die Eulersche Gleichung:
t i
t
eiet cose sine (11) Mit Hilfe der Gleichungen (10) und (11) kann man die komplexe Exponentialfunktion
Funktion z(t) in ihren Real- und ihren Imaginärteil trennen.
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t u
u t v
vi
t v
v t u
e u
t ut vt
ut vi
t vt vt
ut e u
t vt ui
t vi
t u
t vt ui
t vi t e u
t i vi u t vi
u
t iv i u t vi
e u tz
e e
e t e
e e
e e
e e
e t e
e e
e e
e e
e t e
e e
e t e
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
sin sin
cos cos
sin sin
cos cos
sin sin
cos cos
sin cos
sin )( cos
2 1 2
1
1 2 2
1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2 2
2
1 1 1
1
(12)
Der Realteil x t von z t ist also:
t
z t
e
u u
t
v v
t
x Re ( ) t 1 2 cose 2 1 sine (13)
Zur Vereinfachung der Darstellung definiert man a und b als neue reelle Amplituden durch:
1
: v2 v
a und b:u1u2. Die allgemeine Form der reellen Auslenkung (Amplitude) für den Schwingfall ist eine Überlagerung einer Exponentialfunktion und einer
Linearkombination von trigonometrischen Funktionen:
t e
a t b t
x t sine cose (14) Die (reelle) Geschwindigkeit v(t) x(t)wird durch Ableitung der (reellen) Auslenkung (Amplitude) nach der Zeit gewonnen:
a b t b a t
e
t b
e t b
e t
a e t a
e
t b
t a
dt e t d x t v
e e
e e
t
e e t
e t
e e t
e t
e e
t
sin cos
sin cos
cos sin
cos sin
(15) Zusammenfassung:
Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) x(t)und Geschwindigkeit x(t)beim Schwingfall lauten:
Auslenkung: x
t et
asinetbcoset
(16)Geschwindigkeit: x
t et
ae b
coset
be a
sinet
(17)Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, x
t0 0
, und einerAnfangsgeschwindigkeit, x
t0 0
, festgelegt werden können.1.3. Lösung für die Anfangsbedingungen: x
t0 0
x0 und x
t0 0
0Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung x
t0 0
x0 haben und mit der Geschwindigkeit x
t0 0
0 losgelassen werden. DieBedingungsgleichungen lauten:
t0 0
x0x und x
t0 0
0 (18)Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau
Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
0
sinet0 und coset0 1 (19) Für die Exponentialfunktion gilt bei tt0 0:
0 1
0
e
e t (20) Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (16) ein, so erhält man die Lösung für b:
t
x
a b
bx 0 0 0 1 0 1 (20) Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (17) ein, so erhält man:
t
a b
b a
a bx 0 0 0 1 e 1 e 0 e (21)
Es folgt durch Einsetzen von (20) in die Gleichung (21) die Lösung für a:
ß x b
ae 0 (22) Die Lösungen für a und b lauten also:
e
x
a
0 und b x0 (23)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 x0 und x
t0 0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung x(t):
x e t t
t
x e e
e
t
sin cos
0 (24)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:
t e
x ß t
x x
e
ß t x x
t x
x e
ß t x x
t ß x
x e t x t v
e e
e t e
e e
e t
e e
e e e t e
e e
e e
e e t
sin sin
sin cos
sin cos
) (
2 2 0
2 0 2 0
2 0 0
0 0
0 0
0
0
25)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 x0 und x
t0 0 erhält man unter Verwendung der Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t :
t x e tx t
v e
e
t
sin
) (
02
0
(26)
1.4. Lösung für die Anfangsbedingungen: x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll
t0 0
0x sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x
t0 0
x0 v0 starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:
t0 0
0x und x
t0 0
x0 v0 (27)Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
0
sinet0 und coset0 1 (28) Für die Exponentialfunktion gilt:
0 1
0
e
e t (29) Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (16) ein, so erhält man die Lösung für b:
t
a b
bx 0 0 01 0 1 (30)
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Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (17) ein, so erhält man eine Bedingung für a:
t
v
a b
b a
a bx 0 0 0 1 e 1 e 0 e (31)
Es folgt durch Einsetzen von (30) in die Gleichung (31) erhält man:
a e
v0 (32)
Die Lösungen für a und b lauten also:
e
a v
0 und b0 (33)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung x(t):
t v e tx t e
e
0 sin
(34)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:
t t
e v
v t v t
e
v t v t
e t x t v
e e
e t
e e
e e
e t
e e
e e
e e t
sin cos
sin cos
sin 0
cos 0
) (
0
0 0
0
0
35)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0 erhält man das Endergebnis für die Geschwindigkeit x t :
xt v e t t
t
v e
e e
t
cos sin
)
( 0 (36)
2. 02
2
: Aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante gleich der Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung 0 ist, d. h. 02
2
. Der Radikand unter der Wurzel in der Gleichung (6) ist in diesem Fall null. Die Lösung für lautet:
(37) Eine (reelle) Teillösung für die Auslenkung x1
t der Differentialgleichung für denaperiodischen Grenzfall lautet:
t a e tx1 , (38) wobei a eine (reelle) Konstante darstellt, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt
werden muss. Neben der Lösung x1
t existiert aber eine weitere Lösung der Differentialgleichung:
t t b e tx2 . (39) Im Vorlesungsskript wird auf Seite 157 bis 159 bewiesen, dass x2
t tatsächlich Lösung der Dgl (1) ist. Die beiden Teillösungen x1
t und x2
t sind linear unabhängig. Die allgemeine Lösung für die Auslenkung kann als Linearkombination der linear unabhängigenTeillösungen ausgedrückt werden:
t e a t b
x t (40) Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung der Funktion x t nach der Zeit.
a t b
e
e b t e b e
a b t a dt e t d x t v
t
t t
t t
1
(41)
Zusammenfassung:
Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) x(t)und Geschwindigkeit x(t)beim aperiodischen Grenzfall lauten:
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Auslenkung: x t etatb (42) Geschwindigkeit: v
t x
t et
b
1t
a
(43) Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, x
t0 0
, und einerAnfangsgeschwindigkeit, x
t0 0
, festgelegt werden können.2.1. Lösung für die Anfangsbedingungen: x
t0 0
x0 und x
t0 0
0Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung x
t0 0
x0 haben und mit der Geschwindigkeit x
t0 0
0 losgelassen werden. DieBedingungsgleichungen lauten:
t0 0
x0x und x
t0 0
0 (44)Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
0
sinet0 und coset0 1 (45) Für die Exponentialfunktion gilt bei tt0 0:
0 1
0
e
e t (46) Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (42) ein, so erhält man die Lösung für a:
t
x
a b
ax 0 0 0 1 0 (47) Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (43) ein, so erhält man:
tx 0 100 b 01 e a ab
(48)Es folgt durch Einsetzen von (47) in die Gleichung (48) die Lösung für b:
ß x
b 0 (49) Die Lösungen für a und b lauten also:
x0
a und bx0 (50) Für die Anfangsbedingungen x
t0 x0 und x
t0 0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung x(t):
t x e
t
x 0 t 1 (51)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:
t t
e t x
x t ß
x e t x t v
2 0
0
0 1
)
(
(52)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 x0 und x
t0 0 erhält man unter Verwendung der Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t :
t x t e tx t
v( ) 02 (53)
2.2. Lösung für die Anfangsbedingungen: x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll
t0 0
0x sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x
t0 0
x0 v0 starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:
t0 0
0x und x
t0 0
x0 v0 (54)Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
0
sinet0 und coset0 1 (55)
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0 1
0
e
e t (56) Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (42) ein, so erhält man die Lösung für a:
t
a b
ax 0 0 01 0 (57) Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (43) ein, so erhält man eine Bedingung für b:
t
v
b
bx 0 0 0 1 10 0 (58)
Die Lösungen für a und b lauten also:
0
a
und bv0 (59)Für die Anfangsbedingungen x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung x(t):
t v t e tx 0 (60)
Für die Anfangsbedingungen x
t0 0
0 und x
t0 0
x0 v0 erhält man das Endergebnis für die Geschwindigkeit v t x t :
t v
t
e tx t
v( ) 0 1 (61)
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