Ergänzungen zum Kapitel 2b. Gedämpfte Schwingungen

Ergänzungen zum Kapitel 2b. Gedämpfte Schwingungen

Die Lösung des Schwingungsproblems

Die komplexe Schwingungsgleichung hat die Form:

 

t ² z

 

t  0²z

 

t ⁰

z_  _  , (1) die durch eine komplexe Funktion z t gelöst werden muss. Man bezeichnet 0 als die Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung und ^ als Abklingkonstante der Schwingung. In der Vorlesung werden Schwingungen am Beispiel des Federpendels behandelt. Für ein Federpendel gilt: Die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ist gegeben durch:

m

 D

0 , (2) wobei D die Federkonstante und m die Masse des Pendels bezeichnet. Die Abklingkonstante

 ist gegeben durch:

m b

 2

 , (3) wobei b die Dämpfungskonstante der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft F_Reibung

darstellt. Es gilt:

 t b x t v

b

F_Reibung      . (4) Hierbei ist: v

 

t  x

 

t Re

 

z

 

t der Realteil der komplexen Geschwindigkeitsfunktion z t . Die Differentialgleichung (1) kann mit Hilfe einer komplexen Exponentialfunktion gelöst werden:

 

t z e ^t

z  ₀ ^ . (5) Dabei sind z(t), z0 und  Elemente der Menge der komplexen Zahlen. Wie in der Vorlesung gezeigt, ergibt sich mit Hilfe dieses Ansatzes die folgen charakteristische Gleichung für den (komplexen) Exponenten  :

02

2 





   . (6) Beachte: Sowohl die Abklingkonstante  als auch die Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung 0 sind reelle Zahlen. Da der Radikand aber sowohl positiv als auch negativ

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

wird dadurch im allgemeinen Fall eine komplexe Zahl. Zur Beschreibung der

physikalischen Größen der Schwingung, wie Auslenkung (Amplitude) oder Geschwindigkeit, benötigt man aber reelle Lösungsfunktionen. Im folgenden werden diese reellen Lösungen für einige spezielle Anfangsbedingungen bestimmt.

Zur Vereinfachung der Diskussion der Lösungen unterscheidet man zunächst die drei folgenden Fälle: 1. ^{2 }₀², 2. 0²

2 

  und 3. 0²

2 

  .

1. 2 0²: Schwingfall

1.1. Bestimmung der allgemeinen Schwingfalllösungen

Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante ^ kleiner ist als die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung 0, d. h. ² ₀². Der Radikand unter der Wurzel in der Gleichung (6) ist mit dieser Nebenbedingung immer eine negativ und deshalb kann die Wurzel nur durch eine rein imaginäre Zahl gelöst werden. Man definiert deshalb als reelle Größe:

2 2

0 



_e   (7) die als Eigen(kreis)frequenz der gedämpften Schwingung bezeichnet wird, wobei wegen der Bedingung, dass 0² ² gelten soll, e² eine positive reelle Zahl ist und deshalb die Wurzel durch die reellen Zahlen e gelöst wird. Durch Umstellen der Gleichung (6) kann der Exponent  in der folgenden Form dargestellt werden:

  

 





 

_e  i _e



_1,2   1  ₀²  ²   1  ²    (8) (Beachte: 1,2 entspricht den beiden komplexe Lösungen 1 und 2. In beiden Fällen ist der Realteil  gleich, die Imaginärteile ie und ie unterscheiden sich durch das Vorzeichen: ₁  e und ₁  e.)

Die allgemeine komplexe Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall ist eine Linearkombination der beiden linear unabhängigen Teillösungen: z₁

 

t  z₀₁e^{tiet} und

 

t z e ^{t i et}

z₂  ₀₂ ^{ } :

 

^{t z e t i et z e t i e t e t}



^{z e i et z e i et}



z  ₀₁ ^{}  ₀₂ ^{}   ^  ₀₁ ^{ }  ₀₂ ^{ } (9) 1.2. Bestimmung der reellen Schwingfalllösungen

Zur Bestimmung der reellen Lösungsfunktionen drückt man die komplexen Amplituden z01

und z02 als Summe von Real- und Imaginärteil aus:

1 1

01 u i v

z    und z02 u2 iv2, (10) wobei u1, u2, v1 und v2 reelle Zahlen sind.

Man verwendet außerdem die Eulersche Gleichung:

t i

t

e^{iet} cos_e  sin_e (11) Mit Hilfe der Gleichungen (10) und (11) kann man die komplexe Exponentialfunktion

Funktion z(t) in ihren Real- und ihren Imaginärteil trennen.

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

   

 

     

 

 

 

 

 

   

 

   

  ^ _ ^

 























 

 

 





















 

 

 





























 

 

 



























 









t u

u t v

vi

t v

v t u

e u

t ut vt

ut vi

t vt vt

ut e u

t vt ui

t vi

t u

t vt ui

t vi t e u

t i vi u t vi

u

t iv i u t vi

e u tz

e e

e t e

e e

e e

e e

e t e

e e

e e

e e

e t e

e e

e t e

























































sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin sin

cos cos

sin sin

cos cos

sin sin

cos cos

sin cos

sin )( cos

2 1 2

1

1 2 2

1

2 2

1 1

2 1

2 1

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2 2

2

1 1 1

1

(12)

Der Realteil ^x ^t von ^z ^t ist also:

 

^t



^{z t}



^e

 

^{u u}



^t



^{v v}



^t



x Re ( )  ^t ₁ ₂ cos_e  ₂ ₁ sin_e (13)

Zur Vereinfachung der Darstellung definiert man a und b als neue reelle Amplituden durch:

1

: v2 v

a   und b:u1u2. Die allgemeine Form der reellen Auslenkung (Amplitude) für den Schwingfall ist eine Überlagerung einer Exponentialfunktion und einer

Linearkombination von trigonometrischen Funktionen:

 

t e



a t b t



x  ^t sin_e  cos_e (14) Die (reelle) Geschwindigkeit ^v(t)  ^x^(t)wird durch Ableitung der (reellen) Auslenkung (Amplitude) nach der Zeit gewonnen:

       

 

   ^{ } 

   



a b t b a t



e

t b

e t b

e t

a e t a

e

t b

t a

dt e t d x t v

e e

e e

t

e e t

e t

e e t

e t

e e

t













































sin cos

sin cos

cos sin

cos sin



























































































 

(15) Zusammenfassung:

Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) ^x(t)und Geschwindigkeit ^x^(t)beim Schwingfall lauten:

Auslenkung: x

 

t e^t



asin_etbcos_et



(16)

Geschwindigkeit: ^x

 

^t ^et

 

^a_e ^b



cos_e^t



^b_e ^a



sin_e^t



(17)

Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, ^x



^t₀ ^0



, und einer

Anfangsgeschwindigkeit, ^x



^t₀ ^0



, festgelegt werden können.

1.3. Lösung für die Anfangsbedingungen: x



t₀ 0



x₀ und x



t₀ 0



0

Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung x



t₀ 0



x₀ haben und mit der Geschwindigkeit x



t₀ 0



0 losgelassen werden. Die

Bedingungsgleichungen lauten:



t0 0



x0

x   und x



t0 ⁰



⁰ (18)

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:

0

sin_et₀  und ^cos_et0 ¹ (19) Für die Exponentialfunktion gilt bei tt0 ⁰:

0 1

0  



 e

e ^t (20) Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (16) ein, so erhält man die Lösung für b:



t



x



a b



b

x ₀ 0  ₀ 1 0 1  (20) Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (17) ein, so erhält man:



t 



 

 

a b

 

  b a







a b

x ₀ 0 0 1 _e 1 _e 0 _e (21)

Es folgt durch Einsetzen von (20) in die Gleichung (21) die Lösung für a:

ß x b

a_e   ₀ (22) Die Lösungen für a und b lauten also:

e

x

a 

 

 ₀ und b x0 (23)

Für die Anfangsbedingungen x

 

t₀ x₀ und x

 

t₀ 0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung ^x(t):

 

_



 



  



x e^{ } t t

t

x _{e e}

e

t  



  sin cos

0 (24)

Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:

 

 











 









 















 









   















 







   























 



 



   







 



    





















t e

x ß t

x x

e

ß t x x

t x

x e

ß t x x

t ß x

x e t x t v

e e

e t e

e e

e t

e e

e e e t e

e e

e e

e e t

 



 







 



 









 







 









sin sin

sin cos

sin cos

) (

2 2 0

2 0 2 0

2 0 0

0 0

0 0

0

 0

25)

Für die Anfangsbedingungen x

 

t₀ x₀ und x

 

t₀ 0 erhält man unter Verwendung der Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit ^x ^t :

 

t x e t

x t

v _e

e

t 



  sin

) (

02

0  





  ^{ } (26)

1.4. Lösung für die Anfangsbedingungen: x



t₀ 0



0 und x



t₀ 0



x₀ v₀

In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll



t₀ 0



0

x sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x



t₀ 0



 x₀ v₀ starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:



t₀ 0



0

x und x



t₀ 0



 x₀ v₀ (27) Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:

0

sin_et₀  und ^cos_et0 ¹ (28) Für die Exponentialfunktion gilt:

0 1

0  



 e

e ^t (29) Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (16) ein, so erhält man die Lösung für b:



^t

 

^{a b}



^b

x ₀ 0 01 0 1  (30)

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (17) ein, so erhält man eine Bedingung für a:



t 



v 

 

a b

 

  b a







a b

x ₀ 0 ₀ 1 _e 1 _e 0 _e (31)

Es folgt durch Einsetzen von (30) in die Gleichung (31) erhält man:

a e

v₀   (32)

Die Lösungen für a und b lauten also:





e

a v



0 und b 0 (33)

Für die Anfangsbedingungen x



t₀ 0



0 und x



t₀ 0



 x₀ v₀ ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung ^x(t):

 

^{t v e t}

x ^t _e

e

⁰  ^ sin

 ^{ } (34)

Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:

 



 



  









 



    













 



 



  







 



   

















t t

e v

v t v t

e

v t v t

e t x t v

e e

e t

e e

e e

e t

e e

e e

e e t

 

 



 



 



 







 







sin cos

sin cos

sin 0

cos 0

) (

0

0 0

0

 0

35)

Für die Anfangsbedingungen x



t₀ 0



0 und x



t₀ 0



 x₀ v₀ erhält man das Endergebnis für die Geschwindigkeit ^x ^t :

 

_



 



  





xt v e^{ } t t

t

v _e

e e

t 



 

 cos sin

)

(  ₀ (36)

2. 0²

2 

  : Aperiodischer Grenzfall

Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante ^ gleich der Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung 0 ist, d. h. 0²

2 

  . Der Radikand unter der Wurzel in der Gleichung (6) ist in diesem Fall null. Die Lösung für  lautet:



  (37) Eine (reelle) Teillösung für die Auslenkung x₁

 

t der Differentialgleichung für den

aperiodischen Grenzfall lautet:

 

^{t a e t}

x₁   ^ , (38) wobei a eine (reelle) Konstante darstellt, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt

werden muss. Neben der Lösung x₁

 

t existiert aber eine weitere Lösung der Differentialgleichung:

 

t t b e ^t

x₂    ^. (39) Im Vorlesungsskript wird auf Seite 157 bis 159 bewiesen, dass x₂

 

t tatsächlich Lösung der Dgl (1) ist. Die beiden Teillösungen x₁

 

t und x₂

 

t sind linear unabhängig. Die allgemeine Lösung für die Auslenkung kann als Linearkombination der linear unabhängigen

Teillösungen ausgedrückt werden:

 ^{t e} ^{a t b}

x  ^t   (40) Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung der Funktion x t nach der Zeit.

           

 



 

















































































a t b

e

e b t e b e

a b t a dt e t d x t v

t

t t

t t

1

 (41)

Zusammenfassung:

Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) ^x(t)und Geschwindigkeit ^x^(t)beim aperiodischen Grenzfall lauten:

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

Auslenkung: x t e^tatb (42) Geschwindigkeit: ^v

 

^{t x}

 

^{t et}



^b



^1t



^a



(43) Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, ^x



^t₀ ^0



, und einer

Anfangsgeschwindigkeit, x



t0 ⁰



, festgelegt werden können.

2.1. Lösung für die Anfangsbedingungen: ^x



^t₀ ^0



^x₀ und ^x



^t₀ ^0



^0

Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung x



t₀ 0



x₀ haben und mit der Geschwindigkeit x



t₀ 0



0 losgelassen werden. Die

Bedingungsgleichungen lauten:



^t₀ ⁰



^x₀

x   und ^x



^t₀ ^0



^0 (44) Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:

0

sin_et₀  und ^cos_et0 ¹ (45) Für die Exponentialfunktion gilt bei tt0 ⁰:

0 1

0  



 e

e ^t (46) Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (42) ein, so erhält man die Lösung für a:



^t



^x



^{a b}



^a

x ₀ 0  ₀ 1  0  (47) Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (43) ein, so erhält man:

     ^tx ₀ ^{ 100}   ^{b    01} _e ^{a   ab }



(48)

Es folgt durch Einsetzen von (47) in die Gleichung (48) die Lösung für b:

ß x

b ₀ (49) Die Lösungen für a und b lauten also:

x0

a und b^x0^ (50) Für die Anfangsbedingungen x

 

t₀ x₀ und x

 

t₀ 0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung ^x(t):

 

t x e



t



x  ₀ ^t 1 (51)

Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:

     

t t

e t x

x t ß

x e t x t v















































2 0

0

0 1

)

( 

(52)

Für die Anfangsbedingungen x

 

t₀ x₀ und x

 

t₀ 0 erhält man unter Verwendung der Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t :

 

t x t e ^t

x t

v( )   ₀²  ^ (53)

2.2. Lösung für die Anfangsbedingungen: ^x



^t₀ ^0



^0 und ^x



^t₀ ^0



^x₀ ^v₀

In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll



^t₀ ^0



^0

x sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit ^x



^t₀ ^0



^{ x}₀ ^v₀ starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:



t₀ 0



0

x und x



t₀ 0



 x₀ v₀ (54) Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:

0

sin_et₀  und ^cos_et0 ¹ (55)

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

0 1

0  



 e

e ^t (56) Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (42) ein, so erhält man die Lösung für a:



t

 

a b



a

x ₀ 0 01  0  (57) Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (43) ein, so erhält man eine Bedingung für b:



t



v



b

  

b

x ₀ 0  ₀ 1  10 0  (58)

Die Lösungen für a und b lauten also:



 0

a

^{und bv0} (59) Für die Anfangsbedingungen x



t₀ 0



0 und x



t₀ 0



 x₀ v₀ ergibt sich als

Endergebnis für die Auslenkung ^x(t):

 

t v t e ^t

x  ₀  ^ (60)

Für die Anfangsbedingungen ^x



^t₀ ^0



^0 und ^x



^t₀ ^0



^{ x}₀ ^v₀ erhält man das Endergebnis für die Geschwindigkeit v t  x t :

 

t v



t



e ^t

x t

v( )   ₀ 1  ^ (61)

2. 2 0²: Kriechfall

Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante ^ größer als die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung 0 ist, d. h. 2 0². Der Radikand unter der Wurzel in der Gleichung (6) ist in diesem Fall positiv. Die Lösung für  lautet:

2 0

2 



  ß  , (62) wobei die Wurzel Element der Menge der reellen Zahlen ist. Zur Vereinfachung definiert man:

2 0 2

2 

  ß  , (63) Die (reellen) Teillösungen für die Auslenkung x₁

 

t und x₂

 

t für den Kriechfall lauten:

 

^{t a e t t}

x₁   ^{} und ^x2

 

^{t bett} (64) wobei a und b (reelle) Konstanten darstellen, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Die beiden Teillösungen ^x1

 

^t und ^x2

 

^t sind linear unabhängig. Die allgemeine Lösung für die Auslenkung kann als Linearkombination der linear unabhängigen Teillösungen

ausgedrückt werden:

 

^{t e t}



^{a e t b e t}



x  ^  ^   ^ (65) Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung der Funktion x t nach der Zeit.

           

         

   

 

   



^{t t}



t

t t

t

t t t t

t t

t t

t t t

t t

t t

e b e

a e

e b e

a e

e b e e b e

e a e e a e

e b dt e e d a dt e

e d b e a dt e

t d x t v

































































































































































































































































(66)

Zusammenfassung:

Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) ^x(t)und Geschwindigkeit ^x^(t)beim Kriechfall lauten:

Auslenkung: ^x

 

^{t et}



^{aet bet}



(67) Geschwindigkeit: ^v

   

^{t  x}^{t et}

 

 ^



^{aet }



^



^{bet}



(68)

Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, x



t0 ⁰



, und einer

Anfangsgeschwindigkeit, ^x



^t₀ ^0



, festgelegt werden können.

Vorlesung Physik II Fachbereich Maschinenbau

3.1. Lösung für die Anfangsbedingungen: x



t₀ 0



x₀ und x



t₀ 0



0

Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung x



t₀ 0



x₀ haben und mit der Geschwindigkeit x



t₀ 0



0 losgelassen werden. Die

Bedingungsgleichungen lauten:



t0 0



x0

x   und x



t0 ⁰



⁰ (69) Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:

0

sin_et₀  und ^cos_et0 ¹ (70) Für die Exponentialfunktion gilt bei tt0 ⁰:

0 1

0  



 e

e ^t (71) Setzt man die Bedingungen (69) und die Beziehungen (70) und (71) in die Gleichung (67) ein, so erhält man für a und b:



^t



^x



^{a b}



^{a b}

x ₀ 0  ₀ 1 1 1   (72) Setzt man die Bedingungen (69) und die Beziehungen (70) und (71) in die Gleichung (68) ein, so erhält man:



^t

  

^ß



^a



^ß



^b

 

^ß



^a



^ß



^b

x ₀ 0 01   1   1       (73) Es folgt durch Kombination der Gleichungen (72) und (73) die Lösungen für a und b:









 

x⁰ 2

a und ^{bx0}_2^_^ (74)

Für die Anfangsbedingungen ^x

 

^t₀ ^x₀ und ^x

 

^t₀ ^0 ergibt sich als Endergebnis für die Auslenkung ^x(t):

  _



 



 



 

 

 

x e^{ t} e^{ t} e^{ t} t

x ^{  }













2

0 2 (75)