Räumliche Simulation in der Diffusionsforschung. Am Beispiel der Simulationsmodellierung der räumlichen Diffusion von Agrarinnovationen in der polnischen Landwirtschaft — erdkunde

Zdzislaw Kaminski: Raumliche Simulation in der Diffusionsforschung 225

BERICHTE UND MITTEILUNGEN

RAUMLICHE SIMULATION IN DER DIFFUSIONSFORSCHUNG

Am Beispiel der Simulationsmodellierung der raumlichen Diffusion von Agrarinnovationen in der polnischen Landwirtschaft

Mit 4 Abbildungen (z. T. als Beilage V) und 4 Tabellen

Zdzislaw Kaminski

Summary: Spatial simulation in diffusion research. The example of simulation modelling of the spatial diffusion of

innovations in Polish agriculture

The study presented describes the result arrived at by the author in his research on the spatial diffusion of agricultural

innovations in Poland. The subject under examination is the diffusion of modern livestock buildings among peasant farmers in Southern Wielkopolska between 1967-1975.

The study aims at a reconstruction of this process and at an understanding of its mechanism in a spatio-temporal approach. This aim has been realized within the framework of the wave-model of innovation diffusion using the Monte Carlo simulation model. The article presents the successive

stages of simulation modelling, from the identification of spatial dependences of the observed diffusion process, through the formulation of the rules of a stochastic model and a simulation of the spatial patterns of diffusion for two model approaches, to the determination of the adequacy

and the evaluation of the simulation experiments carried out.

Vorbemerkungen

Das Ziel des vorliegenden Aufsatzes ist der Ver

such, eine Klasse von Raum-Zeit-Modellen, die auf der Theorie der stochastischen Prozesse beruhen, auf

die Simulationsmodellierung der raumlichen Diffu

sion von Agrarinnovationen anzuwenden. Diese Modelle sind stochastische Monte-Carlo-Simula

tionen, die prognostische Funktionen erfullen und daher nicht nur fur die geographische Forschung,

sondern auch fur die raumliche Planung von Bedeu tung sind.

Die Entwicklungsphase der sog. ,,Quantitativen Geographie" der sechziger und siebziger Jahre ging

auf eine verstarkte Orientierung an den exakten

Wissenschaften und ihren Methoden zuriick. Dies hat eine Expansion statistischer Verfahren und mathematischer Modelle hervorgerufen, um sowohl die Struktur der untersuchten Wirklichkeit zu be

schreiben als auch bestimmte Phanomene und Pro zesse zu erklaren und zu prognostizieren. Dank der

Fortschritte in der elektronischen Datenverarbeitung ist auch die numerische Simulationsmodellierung zu nehmend popularer geworden. Sie findet vor allem Anwendung beim Experimentieren mit Erscheinun

gen und Prozessen, deren direkte Untersuchung zu teuer oder sogar undurchfiihrbar ware. Die Effektivi tat der numerischen Simulation erhoht sich, wenn die

zu analysierenden Prozesse einen diskreten, nicht linearen oder stochastischen Charakter tragen bzw.

wenn exakte Losungen dieser Prozesse nicht moglich

sind. Mit derartigen Phanomenen, die sich als Resul tat von sehr komplexen Systemen ergeben, haben es Geographen haufig zu tun.

In Polen befindet sich die Entwicklung der Simula tionsmodellierung raumlicher Prozesse noch in den Anfangen. Dennoch gibt es in der geographischen

Literatur eine Reihe von Arbeiten, die man als Bei spiele ihrer Anwendung auch fiir Bediirfnisse der

Raumplanung erwahnen kann. Das erste polnische

Simulationsmodell iiber das Wachstum von Stadten stammt von Zipser (1972) und baut auf dem sog.

intervening opportunities-Modell (Stouffer 1940) auf.

Des weiteren ist die Arbeit von Mazurkiewicz (1977)

zu nennen, in der das Lowry-Typ-Modell (Lowry

1965) als Grundlage der Simulation der raum

funktionalen Strukturveranderungen einer Stadt ver

wendet wurde. Ein neuer Vorschlag im Bereich der Simulationsmodellierung des landlichen Siedlungs

systems geht auf Domanski und Wierzbicki (1981) zuriick. Die einzigen polnischen Beispiele der An wendung stochastischer Simulationsmodelle in der Diffusionsforschung bilden die Arbeiten von Dramo wigz (1975) und Kaminski (1982). Die von Dramo wicz erarbeiteten Modelle dienen zur Abbildung der Urbanisierungsprozesse im landlichen Raum. Die Untersuchungen von Kaminski werden im folgenden Teil des Aufsatzes ausfiihrlich dargestellt.

Beobachtung des Diffusionsprozesses

Forschungsgegenstand ist der Prozefi der raum lichen Ausbreitung von Agrarinnovationen. Im fol

genden Beispiel handelt es sich um moderne Wirt schaftsgebaude und Stalle, die in den Jahren 1967-1975 im siidlichen Gebiet von Wielkopolska (Grofipolen) im privaten Sektor der Landwirtschaft neu errichtet oder modernisiert worden sind. Mit der Untersuchung wird angestrebt, den beobachteten Diffusionsprozefi zu rekonstruieren und seinen

raum-zeitlichen Ablauf zu erkennen.

Die Kartenserie in Abb. 1 (Beilage V) stellt die

raumliche Diffusion der erwahnten Agrarinnovatio

nen im untersuchten Gebiet (rund 6000 km2) dar.

Der Ausbreitungsprozefi setzt im Jahre 1967 im west lichen und siidlichen Gebiet von Grofipolen ein. Die Lokalisation der ersten Adoptoren, d. h. der 23

Bauern, die die Innovation zuerst angenommen

haben, bestimmt den Beginn der Diffusion zum Zeit punkt to und bildet die Ausgangssituation fiir die weitere Entwicklung dieses Prozesses. Schon im Jahre 1968 (ti) hat sich die kumulative Zahl von Adoptoren auf 80 Personen erhoht und sich bis 1969 nochmals verdoppelt. Kennzeichnend fiir diese Phase des Ausbreitungsprozesses ist die Haufung der

neuen Adoptoren um die ersten Neuerer herum. Im

Jahr 1975 (ts) betragt die kumulative Zahl von Adop

toren 1681 Personen, und fast das ganze Gebiet von

Grofipolen ist von diesem Diffusionsprozefi erfafit.

Lediglich im nordlichen Teil des Untersuchungs

raumes hat sich ein kleines Gebiet gebildet, in dem sich die Diffusion nicht ausbreiten konnte.

Raumliche Abhangigkeiten des Diffusionsprozesses In der Simulationsmodellierung raumlicher Diffu sionsprozesse spielt die Weitergabe von Informatio nen eine sehr wichtige Rolle. Mit anderen Worten, man fragt danach, wie sich die Ausbreitung von

Informationen innerhalb der Bevolkerung eines Ge bietes raum-zeitlich vollzieht. Zu diesem Zweck geht

man von der Annahme aus, dafi die gesamte Kom munikation innerhalb der Bevolkerung auf person

lichen Kontakten beruht. Diese vereinfachende An

nahme findet unmittelbare Anwendung bei der Bearbeitung des sog. Mittleren Informationsfeldes (Mean Information Field - MIF), das die Wahrscheinlichkeit der nachbarschaftlichen Kontakte bei der Informa

tionsweitergabe ausdnickt, die aufgrund der empi risch-bestimmten Distanzabnahmefunktionen (distance decay function) formuliert werden kann (Hagerstrand

1967).

Es ist klar, dafi ein solches Mittleres Informations feld den konkreten lokalen Bedingungen eines sozio okonomischen Systems, in dem der Diffusionsprozefi stattfindet, entsprechen sollte. Das hier vorgestelite Verfahren beruht darauf, dafi die Bestimmung des MIF aufgrund der Beteiligung an den landwirtschaft

lichen Markten und damit iiber ein sog. Beteiligungs feld erfolgt. Jedes ?Beteiligungsfeld" hat seine be

Tabelle 1: Reale Verteilung und theoretische Verteilungen der Beteiligungsdichte an den Markten Actual distribution and theoretical distributions of journey to market densities

Distanzabnahmefunktionen

Entfernung Empirische -

gegeniiber Beteiligungs- Pareto Exponential- Pareto

Ringmitte dichte Funktion Exponential

(in km) (Personen/km2) Funktion

4,1400 1 10,2415 2,3445 4,1675

1,8842 3 1,7050 1,6449 1,8083

5 1,1942 0,7408 1,1540 1,0710

0,4663 7 0,4278 0,8096 0,6956

0,5484 9 0,2838 0,5680 0,4725

0,5138 11 0,2046 0,3985 0,3297

0,1408 13 0,1557 0,2796 0,2342

0,1539 15 0,1233 0,1961 0,1684

0,1498 17 0,1005 0,1376 0,1223

0,1425 19 0,0838 0,0965 0,0894

0,0645 21 0,0712 0,0677 0,0658

0,0243 23 0,0613 0,0475 0,0487

0,0319 25 0,0535 0,0333 0,0361

0,0620 27 0,0472 0,0233 0,0268

0,0138 29 0,0420 0,0164 0,0200

1-2 =

0,89 r2 = 0,91 r2 = 0,99

Zdzisidw Kaminski: Raumliche Simulation in der Diffusionsforschung 227

i

O Mfirkte ?- Beteiligungen an den Markten Woiewodschaftsgrenze

Abb. 2: Raumliche Ausbreitung der Beteiligungen an den Markten im sudlichen Gebiet von Wielkopolska (Grofipolen) im Jahre 1976

Spatial distribution of journeys to markets in southern Wielkopolska, 1976

stimmte raumliche Struktur, und die Intensitat der personlichen Kontakte verringert sich mit wachsen der Entfernung zum Zentrum des jeweiligen Feldes

(vgl. Abb. 2 und Tab. 1). Es erweist sich, dafi zwi schen den beiden Variablen, d.h. der Teilnahme der Bauern an den Markten und der Entfernung zu den Markten, ein recht enger negativer Zusammenhang

besteht (Korrelationskoeffizient r = -0,720). Die empirische Verteilung der Beteiligungsdichte in Ab hangigkeit von der Entfernung ist in Tab. 1 darge stellt. Zur mathematischen Beschreibung dieses be

obachteten Zusammenhanges werden drei Distanz abnahmefunktionen verwendet, und zwar die Pareto-, die Exponential- und die Pareto-Exponential-Funk

tion, deren Parameter mit Hilfe der ? Methode der kleinsten Quadrate" geschatzt worden sind. Die Be

stimmung der Anpassungsgiite der verwendeten Funktionen an die empirische Verteilung wird mit Hilfe des Bestimmtheitsmafies (r2) durchgefuhrt.

Aus dem Vergleich der einzelnen Bestimmtheits mafie (vgl. Tab. 1) geht hervor, dafi die Pareto Exponential-Funktion die beste Anpassung zeigt.

Diese Funktion verbindet zufalliges mit zweckmafii gem Verhalten der Menschen im geographischen Raum (vgl. Morrill u. Pitts 1967).

Aufbau des Mittleren Inforrnationsfeldes

Abb. 3 zeigt das Verfahren beim Aufbau des Mitt leren Inforrnationsfeldes (vgl. Morrill u. Pitts 1967 sowie Gould 1969). Den Anfang bildet das sog. Netz von erwarteten Kontakten (Expected Floating Grid -

EFG)}

das aus 19 hexagonalen Raumeinheiten (cells) be steht. Die Flache einer Zeile betragt 25 km2, die Ge samtflache des EFG ist 475 km2. Als Radius des EFG werden ca. 11 km angenommen, weil anschliefiend

die Beteiligung an den Markten stark abnimmt (vgl.

Netz von erwart*ten Kontakten MHtl^ree lnf^ Kumufatives Informationsfetd

(EF6> mm (AtFJ

/r?/Z^ >^/^ --^g^^

.':iV 'J-N^i^ Entfernun^wietz

^4??. 5: Konstruktion des Mittleren Informationsfeldes (MIF) und des Kumulativen Informationsfeldes (AIF) Construction of the mean information field (MIF) and the cumulative information field (AIF)

Abb. 3). Die Berechnung der Werte fiir jede Zeile des EFG wird in Anlehnung an die oben abgeschatzte

Pareto-Exponential-Funktion durchgefuhrt. In der

Zentralzelle steht die Zahl von Personen, die in den jeweiligen Marktorten wohnen (im Beispiel 388). Das MIF enthalt eine zu EFG analoge Aussage, jetzt

jedoch ausgedriickt als Wahrscheinlichkeit von Kon takten (Summe aller Zeilen = 1,0). Abb. 3 stellt die Etappen beim Aufbau des MIF und des sog. Accumu lated Information Field (AIF) dar. Dieses kumulative Informationsfeld ist eine Matrix, die Intervalle von Zufallszahlen enthalt. Diese Zufallszahlenintervalle

entstehen durch Kumulation der Zufallszahlen aus dem MIF im Uhrzeigersinn.

Da das oben dargestellte Verfahren bei der Kon struktion des MIF vollstandig isotrop ist, d. h. keine Richtungsunterschiede zulafk, und damit zu wenig realistisch ist, sollte man die Abschatzung der Wahr scheinlichkeitswerte besser aufgrund der Zahlen potentieller Adoptoren durchfuhren. Dabei geht man

von der Annahme aus, dafi die potentiellen Adoptoren

der untersuchten Agrarinnovationen solche Bauern

sind, die eine Feldflache von iiber 10 ha besitzen. In jede Zeile des Simulationsnetzes, das 281 hexagonale Raumeinheiten umfafit, wird die Zahl solcher poten

tieller Innovationsubernehmer eingetragen.

Aus dem Obigen geht hervor, dafi sich die Wahr scheinlichkeit Pi*, dafi ein Adoptor (teller), der die zentrale Zeile von MIF bewohnt, und ein potentieller Innovationsubernehmer (receiver), der eine andere Zeile i von MIF bewohnt, zur Zeit t zusammen

treffen, wie folgt abschatzen lafit:

Yi * Li(ti)

^ (fl- i. J E ^ Li(tj)

wobei Yi = Wahrscheinlichkeit der personlichen

Kontakte entsprechend dem Isotropen

modell des MIF,

Zdzidaw Kaminski: Raumliche Simulation in der Diffusionsforschung 229

Li = Zahl von potentiellen Innovationsiiber nehmern in der i-ten Zeile,

tj = Annahmezeit von Innovationen (tG =

1967 (G0), ti = 1968 (Gj), t2 = 1969 (G2), . . . t8 = 1975 (G8)),

i = Zeile.

Das bedeutet, dafi jede neue Verteilung der Wahr scheinlichkeitswerte sowohl von der Entfernung vom Diffusionszentrum als auch von der Zahl der poten

tiellen Innovationsubernehmer in jeder Zeile des

Simulationsnetzes und in jeder Generation des Simu

lationsmodells (Gi, G2, G3, . . ., G8) abhangig ist.

Prinzipien des Simulationsmodells

Die Simulation des untersuchten Diffusionspro zesses stiitzt sich auf folgende Prinzipien (siehe Kaminski 1982):

1. Das Gebiet, in dem der beobachtete Ausbrei tungsprozefi der Agrarinnovation stattfindet, ist

in hexagonale Raumeinheiten, sog. Zeilen, mit

gleichgrofien Flachen (25 km2) unterteilt.

2. Die Zeitabfolge des Diffusionsprozesses wird in

einzelne Zeitspannen, die sog. Generationen des

Simulationsmodells, gegliedert. Bekannt ist also die Zeit tG = 1967 (G0), die iiber den Anfang des

beobachteten Prozesses entscheidet.

3. Die Kommunikation innerhalb der Bevolkerung beruht auf personlichen Kontakten, wobei man in

diesem Bereich zwei alternative Prozeduren unterscheidet:

a) die Prozedur von Hagerstrand, in der man

davon ausgeht, dafi sich jeder Adoptor in einer

Generation nur mit einem Nicht-Adoptor tref

fen kann und

b) die Prozedur, in der in jeder Generation des Modells eine Angleichung der Zahlen von

simulierten und realen Adoptoren erfolgt.

4. Bekannt ist die Lokalisation der ersten Innova

tionsadoptoren zur Zeit tG (GQ) und die Zahl

potentieller Innovationsubernehmer innerhalb

jeder Zeile des Simulationsnetzes fiir jede Gene

ration des Simulationsmodells.

5. Bekannt ist weiterhin das sog. Mean Information

Field, das von der Distanzabnahmefunktion und

von der Zahl der potentiellen Innovationsuber nehmer abhangig ist.

6. Die Ubernahme der Neuerung durch einen Nicht Adoptor ist von bestimmten Kategorien der

psychischen Hemmung (psychological resistance) gegenuber der Innovation abhangig. Um dem Rechnung zu tragen, wird angenommen, dafi die psychische Hemmung gegen die Innovation

normal verteilt ist.

Nicht beriicksichtigt werden physische Barrieren, weil es in dem untersuchten Gebiet keine solchen

Effekte gibt. Desweiteren wird unterstellt, dafi aufier

halb der untersuchten Region keine Moglichkeiten

zur Ubernahme der Innovation bestehen, also

Pi*(t) = 0 fur i aufierhalb der Untersuchungsregion gilt.

Die Simulation des Diffusionsprozesses geht

auf Monte-Carlo-Operationen zuriick, mit denen Pseudozufallszahlen erzeugt werden. Auf diese Weise bestimmt man

- die Lokalisation der Zeile, in der ein neuer Inno

vationsubernehmer wohnt,

- eine konkrete Person, die die Innovation an nehmen konnte,

- die Kategorien der psychischen Hemmung.

Simulationsprozeduren

Die iiberwiegende Mehrheit von Forschern, die sich mit der Problematik der raumlichen Diffusion beschaftigen, lehnt sich dabei an das Modell von Hagerstrand (1967) an, bei dem davon ausgegan

gen wird, dafi die Ubernahme der Neuerung direkt nach Erhalt der Information erfolgt. Es kann jedoch nicht genug darauf hingewiesen werden, dafi dieser Mechanismus wenig realistisch ist. Diese Schwierig

keiten kann man iiberwinden, indem man die er

wahnte hagerstrand-Prozedur modifiziert. Diese

Modifizierung beruht darauf, fiir jede Generation die Zahl der simulierten neuen Adoptoren der Zahl der

realen neuen Adoptoren anzugleichen. Die Zweck

mafiigkeit dieser Auffassung haben schon friiher unter anderem Yapa (1976), Bivand (1978) und Kaminski (1982) betont.

Man nimmt dabei folgendes an:

1. T bezeichnet die Zahl von Zeitspannen, Genera tionen,

2. xx[t], t =

1, 2, . . ., T bezeichnet die realen Sum men von Adoptoren,

3. yy[t] bezeichnet die Zahl von Adoptoren im Simu lationsmodell und

4. y[i], i = 1, 2, . . ., N bezeichnet das Register von

Adoptoren.

In der klassischen hagerstrand-Prozedur wer

den m < xx[t] potentielle Innovationsubernehmer zu Adoptoren, weil nur xx[t] Informationen iibermittelt

werden. Ein Teil davon kann das Untersuchungs

gebiet verlassen oder infolge der Wirkung der psychi schen Hemmung nicht zum Tragen kommen. Die

Modifizierung der hagerstrand-Prozedur beruht

auf der Notwendigkeit der Erzeugung von m = xx[t + l]-xx[t] neuen Adoptoren in der Generation t.

Dies bedeutet, dafi eine Verlangerung der Simulation notwendig wird, bis yy[t] =

xx[t + 1] gilt. Damit die Wahrscheinlichkeit der Informationsiibermittlung

im weiteren Verlauf gleich bleibt, mufi man solange Personen aus dem Register der aktiven Adoptoren

auslosen und sie als neue Adoptoren registrieren, bis

yy = xx[t + 1] ist.

Angenommen, dafi die Eingangsdaten des Simula tionsmodells bekannt sind, d. h. die Zahl von poten

tiellen Innovationsubernehmernz[i], i = 1,2, . . ., N,

die Zahl der aktiven Adoptoren x[i], i=l,2, ...,N,

xx[t], t = 1, 2, . . ., T, sowie die Wahrscheinlichkeits

werte des MIF, dann kann man die oben besprochene modifizierte Prozedur der Informationsubermittlung wahrend des raumlichen Diffusionsprozesses in fol

genden Schritten darstellen:

1. Zum Ausgangszeitpunkt t = 1 stimmt die Zahl der Adoptoren mit der im Register iiberein (yy[l]: =

xx[l]).

2. Man lost den Informationsiibermittler aus dem Register von aktiven Adoptoren und legt die Zeile

k, zu welcher der Ubermittler gehort, fest.

3. Durch das abzuschatzende Informationsfeld iiber k wird die Zeile des ausgewahlten potentiellen

Ubernehmers bestimmt.

4. Falls eine auf diese Weise ausgewahlte Person ein Adoptor, aber kein Ubermittler ist oder fiir sie eine psychische Hemmung zutrifft oder die Zeile aufierhalb des Untersuchungsgebietes liegt, dann mufi man zu Punkt 2, falls aber diese Person ein Ubermittler ist, zu Punkt 3 zunickgehen. Anson

sten kann man das Verfahren fort setzen.

5. Die Zahl der Adoptoren im Simulationsmodell ist um 1 zu erhohen, und wenn sie kleiner als die reale

Summe von Adoptoren ist, dann mufi man zu

Punkt 2 zuriickspringen.

6. Die Zahl der aktiven Adoptoren entspricht jetzt den Adoptoren im Register.

7. Man erhoht t um 1 und beginnt wieder bei Punkt 1. Falls t + 1 = T ist, endet die Prozedur.

Simulation des raumlichen Ablaufs des Diffusionsprozesses Im untersuchten Beispiel wird sowohl die bekannte Prozedur von Hagerstrand (Version 1 des Modells) als auch die oben dargestellte modifizierte Prozedur

(Version 2) angewandt. Jedes Verfahren beruht auf der Erzeugung von 99 Serien der Simulation, wobei jede Serie 8 Generationen des Simulationsmodells umfafit (Gj = 1968, . . ., G8 = 1975). Insgesamt wer den 198 Simulationsserien des Diffusionsprozesses

erarbeitet.

Die Monte-Carlo-Simulation des Diffusionspro zesses besteht in der Erzeugung der Pseudo-Zufalls zahlen, die aus dem sog. multiplikativen Generator von Zufallszahlen nach folgender Formel erfolgt:

Xj +1 = frac (n Xi)

Die Simulation der effektiven Informationsan weisung (Innovationsiibernahme) ist eine zweistufige

Prozedur. Die erste Zufallszahl bestimmt die Lokali

sation einer Zeile, die ein Informationsadressat be

wohnt, die zweite identifiziert die konkrete Person aus den potentiellen Adoptoren. Der Effekt der psychischen Hemmung wird fur jeden potentiellen Annehmer noch vor der Durchfuhrung des Simula

tionsmodells bestimmt. Diese Vorgehensweise ist Ausdruck des stochastischen Wesens des raumlichen

Diffusionsprozesses.

Testen der Simulationsmodelle

Das Testen der Simulationsmodelle gehort bis

heute zu den noch wenig angewandten Verfahren

innerhalb der geographischen Simulationsforschung.

Im vorliegenden Fall basiert das Testen des Simula tionsmodells auf der HoPE-Typ-Prozedur (Hope 1968). Diese Prozedur wurde zum ersten Mal zur

Uberpriifung des hagerstrand-Modells von Cliff

und Ord (1973) verwendet. Sie besteht aus folgenden Schritten:

1. Man erzeugt m unabhangige Realisationen des

Simulationsmodells x[i,k], i=l, N, k = l,

...,m.

2. Dann berechnet man eine mittlere Karte S[i] aus

den m Realisationen und aus der Karte des beob

achteten Prozesses y[i]

S[i] = [|x[i,k] + y[i]]/(m+ 1), i- 1, 2, .. ., N.

3. Man ermittelt fiir jede Karte ein Anpassungsmafi.

4. Man ordnet die (m + l)Ergebnisse nach der Grofie der Standardnormalabweichungen und lehnt die Nullhypothese ab, falls keine signifikan ten Unterschiede zwischen einer mittleren Karte

und der Karte des beobachteten Prozesses be stehen.

Im 3. Schritt der HoPE-Typ-Prozedur ist eine

Version des I-Autokorrelationstestes von Moran

(vgl. Cliff u. Ord 1973) fiir die Unterschiede zwi

schen den Karten verwendet worden, d.h. zwischen

der mittleren Karte (2. Schritt) und den Simulations karten (m Realisationen) als auch der Karte des beob achteten Prozesses y [i]. In dieser Version des I-Testes nimmt man an, dafi die Unterschiede zwischen den Karten nicht gleich Null sind, dafi also

t n{ * 0 gilt.

Die angewandte Variante des I-Testes von Moran ist wie folgt definiert:

ii n

n Z Z Wy zik zjk

Ik= n ,

w I zik2

Zdzistaw Kaminski: Raumliche Simulation in der Diffusionsforschung 231

n wobei Wy = wy / E w^ mit

* _ f 1 wenn i ein Nachbar von j ist

lJ ~

I 0 in ubrigen Fallen und w = I Wjj , _i.j J

Zik = xik-Xi, Xi =- I xik, k =

1, 2, . . ., m, m k-i

wobei xj ein Wert der Zeile i der mittleren Karte und m die Zahl der Karten zum Vergleich mit der

mittleren Karte ist.

Die Standardnormalabweichung der oben bespro

chenen I-Statistik ist SND(I) = [I-ER(I)][VarR(I)]-1/2.

Im 4. Schritt der HoPE-Typ-Prozedur ordnet man

die Standardnormalabweichungen vom kleinsten (Rang 1) bis zum grofiten Wert (Rang m + 1). Die am besten angepafite Karte ist diejenige, fiir die die Standardnormalabweichung SND(I) dem Wert Null moglichst nahe kommt. Unter Beachtung der Posi

tion der Karte des beobachteten Prozesses in der ge

ordneten Reihe der SND(I) kann man die Anpas sungsstufe des Modells bestimmen. In diesem Fall testet man die Hypothese HQ, ob die Unterschiede

zwischen der mittleren Karte und der Karte des be obachteten Prozesses, bei einem angenommenen Sig

nifikanzniveau (a = 0,05), nicht signifikant sind.

Im Fall der Verwendung der Hagerstrand Prozedur werden sechs von acht Modell generationen

getestet (Gi, G2, G4, G6, G7, Gs). Dabei wird ange

nommen, dafi das Testen einer Generation in dem

Moment beginnt, in dem die Globalzahl der simulier ten Adoptoren yy[t + 1 ] grofier oder gleich der Zahl realer Adoptoren xx[t + 1] ist. Wenn diese Vorausset zung nicht erfiillt ist, d. h. wenn yy[t + l]<xx[t + 1]

ist, dann ist eine Fortsetzung des Simulationsmodells notwendig. Die Testergebnisse der beiden Modellie

rungsverfahren sind in Tab. 2 dargestellt.

Bewertung des Simulationsmodells

Die wichtigste Eigenschaft eines gut angepafiten Simulationsmodells besteht darin, dafi die Unter

schiede zwischen den Simulationskarten und der

Karte des realen Prozesses nicht signifikant sind. Zur Uberpriifung wurde der raumliche I-Autokorrela

tionstest von Moran herangezogen (s. oben), und zwar fur jede zu testende Generation des Modells

(Tab. 2). Daraus lafit sich nicht nur ablesen, ob das

angewandte Monte-Carlo-Simulationsmodell den zu

erforschenden Diffusionsprozefi gut widerspiegelt, sondern man kann auch diejenigen der zwei Ver sionen des Simulationsmodells auswahlen, die diesen

Prozefi besser beschreibt.

Diese Auswahl ist anhand der Analyse der raum

lichen Autokorrelation der Differenzen zwischen den

Simulationsergebnissen und den realen Werten des beobachteten Prozesses moglich. Die Resultate dieser

Analyse stellt ebenfalls Tab. 2 dar. Da die I-Statistik

Tabelle 2: Test des Simulationsmodells Testing the simulation model

Generation Nummer der Serie, SND(I) fiir die Kartenposition des SND(I) fiir die Signifikanzniveau die am besten zur bestangepafite beobachteten Karte des fiir die Karte

durchschnitdichen Serie Prozesses in der beobachteten des beobachteten

Karte angepafit ist geordneten Reihe Prozesses Prozesses nach

(nach SND(I) SND(I) HoPE-Prozedur Werten)

VERSION 1

Gj -0,1575 23 87 -0,8270 0,14

G2 -0,0030 29 84 -0,8248 0,17

G4 -0,0576 68 68 -0,9371 0,33

G6 0,0254 16 60 -0,9354 0,41

G7 -0,0325 1 58 -0,6933 0,43

G8 0,0135 27 25 -0,9394 0,26

VERSION 2

G! 0,0035 63 100 3,1700 0,01

G2 0,0056 89 93 2,5828 0,08

G3 0,0475 99 68 1,6424 0,33

G4 -0,0004 63 74 2,4427 0,27

G5 -0,0140 63 74 3,0533 0,27

G6 0,4018 91 62 3,6111 0,39

G7 -0,0565 63 70 5,0358 0,31

G8 0,5971 63 81 6,9063 0,20

Tabelle 3: Test der theoretischen Verteilungen mit Hilfe des -Anpassungstests Testing the theoretical distributions using the ^-test

Theoretische Verteilungen

Negativ-Binomial Polya-Aeppli Neyman-Tvp A

Werte des Tests realer simulierter realer simulierter realer simulierter Prozefi Prozefi Prozefi Prozefi Prozefi Prozefi

X2 23,62 14,48 11,63 35,68 47,17 757,33

Anzahl der

Freiheitsgrade (FG) 14 12 14 12 14 12

Signifikanzniveau (a) 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Kritischer Wert (?) 23,69 21,03 23,69 21,03 23,69 21,03

von Moran asymptotisch normalverteilt ist, ist anzu

nehmen, dafi eine signifikante raumliche Autokorre lation der Unterschiede (auf dem 5 % -Niveau signifi kant) nur im Fall der zweiten, modifizierten Version des Modells vorhanden ist. Kennzeichnend ist dabei die Tatsache, dafi in dieser Version nur positive

Werte der raumlichen Autokorrelation auftreten

(vgl. Tab. 2). Dies bedeutet, dafi das Vorhandensein eines Sachverhaltes in einer Raumeinheit die Wahr scheinlichkeit vergrofiert, dafi dieser Sachverhalt

auch in den benachbarten Raumeinheiten vorhanden

ist. Damit hat sich die zweite, modifizierte Version

des Simulationsmodells als besser erwiesen.

Zur Bewertung der Simulationsexperimente stehen

noch andere Methoden zur Verfiigung. In der hier durchgefuhrten Untersuchung wird zusatzlich die

Quadratanalyse, ein weniger kompliziertes Verfah ren, herangezogen (vgl. hierzu Bahrenberg, Giese,

Nipper, Schigkhoff, Streit 1978; Harvey 1966).

Die Quadratanalyse ermoglicht, die Anordnung der

untersuchten Punkte und somit die raumliche Ent wicklungstendenz von beobachteten Diffusionspro

zessen zu untersuchen.

Bei der Anwendung der Quadratanalyse geht man ebenfalls von dem iiber die zugrundeliegende Flache gelegten Gitternetz mit 281 hexagonalen Zeilen aus.

Um die Diffusion von Neuerungen zu beschreiben und die Ergebnisse der Simulationsmodellierung

(Version 2) mit den realen Werten vergleichen zu

konnen, werden insgesamt vier theoretische Ver teilungen eingesetzt, und zwar: Poissonverteilung, Negativ-Binomialverteilung, Polya-Aeppli-Vertei

lung und neyman-Typ A-Verteilung. Als Anpas sungstest wird der #2-Test gewahlt, der zu den haufig sten Tests bei der Quadratanalyse gehort (Tab. 3). In der Tabelle sind keine Werte fiir die Poissonvertei

lung aufgenommen, weil diese Verteilung, die eine zufallige Anordnung der Punkte beschreibt, sich als

vollig unbrauchbar erwiesen hat, da sowohl fiir den realen als auch fiir den simulierten Diffusionsprozefi die x2-Werte sehr weit iiber den kritischen Werten %2a

liegen.

Der Vergleich der %2- und ?2a-Werte der ange

wandten theoretischen Verteilungen zeigt, dafi be friedigende Resultate des Anpassungstests nur in einigen Fallen eingetreten sind. Im Fall der Neyman Typ A-Verteilung und im Fall der Polya-Aeppli-Ver

teilung fiir den simulierten Diffusionsprozefi mufi HQ

abgelehnt werden. Die Negativ-Binomialverteilung

hat sich als beste Verteilung erwiesen, sowohl fiir den realen als auch fiir den simulierten Prozefi. Diese Feststellung bestatigt ein Untersuchungsergebnis von Harvey (1966), der sich mit der Anwendung der

Quadratanalyse zum Testen des Hagerstrand

Modells beschaftigt hat. Die Negativ-Binomialver teilung beschreibt am besten die Tendenz zur klum

penhaften Anordnung der Punkte. Diese Anordnung

ist eine Konsequenz der wellenformigen Ausbreitung

von Neuerungen im Raum.

Um den Grad der Clusterung im Zeitverlauf zu er fassen, wird das Verhaltnis von Varianz (m2) und Mittelwert (m^ der Haufigkeitsverteilungen fiir die

einzelnen Generationen ermittelt. Genauer wird das

sog. L-Mafi angewandt, das wie folgt definiert ist:

T N m2

N-l mi '

wobei mi =

Mittelwert, m2 = Varianz, N = Anzahl

der Zeilen ist.

Auf diese Weise lassen sich drei Punktmuster iden tiflzieren, und zwar eine klumpenhafte (L> 1), eine zufallige (L = 1) und eine regelmafiige (L< 1) Ver teilung. Dieses L-Mafi, das in der polnischen geo graphischen Literatur als die ,, Anzahl von Lexis" be zeichnet wird, wurde schon in den dreifiiger Jahren

Zdzidaw Kaminski: Raumliche Simulation in der Diffusionsforschung 233

Tabelle 4: Lexis-Mafi nach der Zeitfolge des Diffusionsprozesses und nach den Generationen des Simulationsmodells

Lexis measure by the temporal sequence of diffusion and the simulation model generations

Zeitfolge in

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1970 (G3) 1,407 2,091

1971 (G4) 1,490 2,226

1972 (G5) 1,526 2,485

1973 (G6) 1,623 2,838

1974 (G7) 1,797 3,164

1975 (G8) 2,082 3,452

von Steinhaus (1936), einem polnischen Mathe matiker, verwendet, um die raumliche Verteilung

eines Siedlungssystems zu beschreiben.

Die Anwendungsergebnisse dieses Ansatzes stellen Tab. 4 und Abb. 4 dar, in denen die verschiedenen Werte des Lexis-Mafies sowohl fiir den realen als

auch fiir den simulierten Diffusionsprozefi fiir die

verschiedenen Generationen des Simulationsmodells

(Version 2) angegeben werden. Auf diese Weise lafit sich feststellen, dafi der erforschte Diffusionsprozefi einem Entwicklungstrend folgt, der sich durch eine

immer grofiere klumpenformige Anordnung der Adoptoren auszeichnet. Dieser Trend lafit sich auch

fiir Prognosezwecke benutzen. Es mufi aber betont

werden, dafi diese Tendenz bei den simulierten Dif

fusionsprozessen starker eingetreten ist. Diese Fest

stellung ermoglicht, eine noch bessere Ubereinstim

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Abb. 4: Lexis-Mafi fiir den simulierten und realen Diffu sionsprozefi nach Generationen (1967-1975)

Lexis measure of the simulated and observed diffusion process according to generations (1967-1975)

mung zwischen dem angewandten Monte-Carlo Simulationsmodell und dem untersuchten Diffu

sionsprozefi herzustellen und auf diese Weise zu einer Vorhersage des erforschten Phanomens iiberzu

gehen.

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Abb.1 Diffusion von Agrarinnovationen im

Diffusion of agricultural i

Beilage V zu ERDKUNDE 42,3 Beitrag Kaminski

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ion von Agrarinnovationen im sudlichen Teil von Wielkopolska (Grofcpole

Diffusion of agricultural innovations In Southern Wielkopolska, 1967-1975

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Southern Wielkopolska, 1967-1975

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introducing the innovations