1 SOL-Auftrag: Kombinatorik
Kombinatorik
Neben Analysis und Vektorgeometrie werden wir uns im Obergymnasium auch mit Stochastik beschäftigen. Dieses Gebiet der Mathematik beschäftigt sich mit
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik und Statistik.
Bevor wir damit beginnen können, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, werden einige Formeln benötigt, mit welchen wir herausfinden können, wie viele
Möglichkeiten es für ein bestimmtes Problem gibt. Mit der Fragestellung nach der Anzahl Möglichkeiten beschäftigt sich die Kombinatorik.
Vorgehen beim SOL-Auftrag
In diesem SOL-Auftrag werdet ihr die Kombinatorik selbst erarbeiten. Je nachdem, wie schnell ihr arbeitet, werden die folgenden Zeitangaben nur ungefähr stimmen.
Ihr werdet aber schnell feststellen, ob ihr schneller oder langsamer arbeitet, als angegeben. Je nach dem könnt ihr den Auftrag planen.
Der Auftrag ist gross und ihr müsst ihn planen. Es ist nicht möglich, in der Woche vor der Prüfung noch den ganzen Auftrag zu lösen!
In der folgenden Tabelle könnt ihr euch bei jeder Aufgabe, bzw. jedem Kapitel notieren, wie gut ihr die Theorie, bzw. die Aufgaben verstanden habt. So habt ihr später den Überblick, was ihr noch einmal anschauen müsst und was klar war:
1 bedeutet: Das habe ich sehr gut verstanden.
2 bedeutet: Das habe ich zwar verstanden, muss es aber noch einmal ansehen.
3 bedeutet: Dazu habe ich noch Fragen.
Falls ihr irgendwo eine 3 machen musstet, solltet ihr sofort vorbeikommen oder im Fachstudium vorbeigehen, damit die Frage geklärt werden kann.
Wichtig ist, dass ihr viele Aufgaben löst! Einige Aufgaben sind als "schwierig"
angegeben. Solltet ihr mit den einfacheren Aufgaben schon Schwierigkeiten gehabt haben, rate ich euch, diese auszulassen und erst ganz am Schluss des Auftrags (falls ihr noch Zeit habt) zu lösen. Sonst könnte der Auftrag für die gegebene Zeit zu gross werden. Die Mehrheit der Prüfungsaufgaben wird in der Art der "einfachen"
Aufgaben sein.
Der SOL-Auftrag ist wichtig. Das Gelernte wird in unserem nächsten Thema (der Wahrscheinlichkeitsrechnung) vorausgesetzt!
Bewertung
An der kommenden Prüfung wird eine Aufgabe (mehrere Teilaufgaben) aus der Kombinatorik gestellt.
Aufgabe aus einem Themenfremden Gebiet
Beachtet, dass auch an dieser Prüfung eine Aufgabe aus einem Themenfremden gebiet gestellt wird. An der kommenden Prüfung werden die Ableitungsregeln abgefragt.
2 Eigentlicher Auftrag
Kapitel: Vorwort bis 1.3 (ca. 10 Minuten)
In diesem Kapitel werden noch keine Formeln erklärt. Ihr werdet sehen, dass man Kombinatorik-Aufgaben eigentlich immer durch logisches Denken lösen kann. Die Formeln, welche in den späteren Kapiteln eingeführt werden, erleichtern einfach das Lösen.
Kapitel Bemerkung Verstanden?
Vorwort Überfliegen reicht 1.1-1.3 Produktesatz
Kapitel: 1.4
Dieses Kapitel braucht nicht bearbeitet zu werden.
Kapitel: 1.5 bis 1.7 (ca. 20 Minuten)
In diesem Kapitel geht es um Fragestellungen, bei welchen die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Kapitel Bemerkung Verstanden?
1.5 Permutationen: Alle Elemente werden angeordnet
1.6 Variationen: Eine Auswahl der Elemente wird angeordnet 1.7 Überblick mit Beispielaufgaben
Kapitel: 1.8 (ca. 30 Minuten)
In diesem Kapitel werden die oben besprochenen Formeln in verschiedenen
Aufgaben angewendet. In der Kombinatorik ist es weniger ein Problem, die Formeln zu verstehen. Schwieriger ist es, die richtige Formel auszuwählen, wenn man die Fragestellung sieht. Deshalb ist es sehr wichtig, durchmischte Aufgaben zu lösen.
Folgende Aufgaben sollten gelöst werden:
Aufgabe Verstanden?
1 3 4 5 6 7 8 11 12 13
Die Aufgaben 2, 9, 10, 14, 15 könnt ihr auslassen.
3 Kapitel: 1.9 (ca. 20 Minuten)
In diesem Kapitel geht es um Fragestellungen, bei welchen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Kapitel Bemerkung Verstanden?
1.9.1 Kombination ohne Wiederholung: Jedes Element wird nur einmal verwendet.
1.9.2 Kombination mit Wiederholung: Jedes Element wird mehrmals verwendet.
Kapitel: 1.10 (ca. 45 Minuten)
In diesem Kapitel werden die Formeln der Kombinationen vermischt in verschiedenen Aufgaben angewendet.
Folgende einfache Aufgaben sollten gelöst werden:
Aufgabe Verstanden?
1 2 3 4 6 7 8 11
Folgende schwierige Aufgaben sollten gelöst werden:
Aufgabe Verstanden?
5 9 12 14
Die Aufgaben 10, 13, 15 könnt ihr auslassen.
Kapitel: 1.11 und Fundamentum (ca. 5 Minuten)
In diesem Kapitel findet ihr eine Übersicht zu den Kombinatorik-Formeln. Da ihr das Buch an der Prüfung jeweils nicht dabei haben könnt, solltet ihr lernen, mit dem Fundamentum zu arbeiten.
Ihr findet im Fundamentum auf Seite 40 (unten) eine Tabelle, in welcher die meisten der Formeln auch aufgeführt sind.
In dieser Tabelle fehlen die Formeln der Permutation.
4
Die Formel der Permutation ohne Wiederholung braucht es aber eigentlich nicht, weil man auf die gleiche Formel kommt, wenn man die Formel der Variation ohne Wiederholung verwendet und dabei n und k gleich gross wählt.
Die Permutation mit Wiederholung ist auch nicht im Fundamentum, da sich diese Formel nicht in die Tabelle einordnen lässt. Man hat im Fall dieser Formel einige Elemente, bei welchen die Anordnung keine Rolle spielt (diejenigen, welche gleich sind) bzw. man könnte das Problem betrachten, dass eine teilweise Wiederholung möglich ist (es gibt Elemente, welche mehrmals vorkommen – allerdings nicht so häufig, wie man möchte). Diese Formel solltet ihr also auswendig wissen.
Arbeitet also in Zukunft mit dem Fundamentum, um euch daran zu gewöhnen!
Kapitel 1.12 (ca. 40 Minuten)
In diesem Kapitel werden alle bisher gelernten Formeln gemischt abgefragt.
Folgende einfache Aufgaben sollten gelöst werden:
Aufgabe Verstanden?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 15 16 17
Folgende schwierige Aufgaben sollten gelöst werden:
Aufgabe Verstanden?
12 13 19 20
Die Aufgaben 17 und 18 könnt ihr auslassen.
