26 Aufgaben zur Kombinatorik Repetition
1. Auf wie viele verschiedenen Arten kann man die Buchstaben im Wort „STUTTGART“ anordnen?
2. Eine 5-köpfige Familie besucht ein Theater. Sie haben 3 Plätze auf dem Balkon und 2 Plätze in der hin- tersten Reihe bekommen. Wie viele verschiedene „Paare“ können in der hintersten Reihe sitzen?
3. Bei einem Pferderennen laufen 10 Pferde mit a) Wie viele mögliche Zieleinläufe gibt es?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die ersten 3 Ränge in korrekter Reihenfolge zu tippen? (die hinteren Ränge spielen keine Rolle)
4. Jemand hat die Nummer seines fünfstelligen Zahlenschlosses vergessen. Er erinnert sich jedoch daran, dass alle Ziffern grösser als vier und dass genau zwei der Ziffern gleich neun sind. Wie viel Zahlen müsste man maximal durchprobieren um das Schloss zu öffnen?
5. Gegeben sind die fünf Buchstaben: A, b, C, d, E. Jeder darf nur einmal verwendet werden.
Wie viele Wörter lassen sich aus … a) … 3 Buchstaben bilden?
b) … 5 Buchstaben bilden?
c) … 5 Buchstaben bilden, wenn der erste ein Grossbuchstabe sein soll?
d) … 5 Buchstaben bilden, wenn zuerst alle Grossbuchstaben verwendet werden sollen?
e) … 5 Buchstaben bilden, wechselweise gross – klein?
6. Gegeben sind die fünf Buchstaben: A, b, C, d, E. Jeder darf mehrmals verwendet werden.
Wie viele Wörter lassen sich aus … a) … 3 Buchstaben bilden?
b) … 3 Buchstaben bilden, alle gross?
c) … 3 Buchstaben mit grossem Anfangsbuchstaben bilden?
d) … 3 Buchstaben bilden, die mit C beginnen?
e) … 3 Buchstaben bilden, Buchstabenreihenfolge gross – klein – gross?
f) … 4 Buchstaben bilden?
7. Frau Meier hat 4 Kleider, 9 Hüte und 10 Paar Schuhe. Auf wie viele Arten kann sie sich kleiden, wenn sie ein Kleid, einen Hut und ein Paar Schuhe tragen will?
8. Sechs Personen sollen an einem runden Tisch Platz nehmen. Die Plätze sind nummeriert. Bedingung:
Hans und Anna sollen nebeneinander sitzen. Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es?
9. Auf wie viele Arten kann man aus 9 Personen eine Dreiergruppe auswählen?
10. Es sind neun Punkte gegeben, von denen nie drei oder mehr auf einer Geraden liegen. Durch je drei der neun Punkte wird ein Kreis gelegt. Wie viele Kreise können gezeichnet werden?
11. In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn
a) genau 5 Lampen brennen sollen?
b) mindestens 5 Lampen brennen sollen?
12. Auf wie viele Arten kann man 5 Hotelgäste in 10 freien Einzelzimmern unterbringen, wenn es a) eine Rolle spielt, in welchem Zimmer welcher Gast unter kommt?
b) keine Rolle spielt, in welchem Zimmer welcher Gast unter kommt?
13. Wie viele Schnittpunkte haben 30 Geraden, welche derselben Ebene angehören, höchstens?
Wie viele sind es noch, wenn 6 Geraden durch einen Punkt gehen?
14. Aus 5 Franzosen, 10 Engländern und 6 Deutschen sollen 2 Personen verschiedener Nationalität ausge- wählt werden. Auf wie viele Arten geht das?
15. Sie haben 9 verschiedene Farben (inkl. rot, blau und grün) zur Auswahl. Auf wie viele Arten kann man 7 benachbarte Felder färben, wenn:
a) keine Einschränkung besteht?
b) jedes Feld eine andere Farbe haben soll?
c) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen?
d) die beiden Felder links und rechts aussen rot sein sollen?
e) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll?
f) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot gefärbt sind?
16. Acht Personen warten vor dem Selbstbedienungsbuffet.
a) Auf wie viele Arten kann die Schlange zusammengesetzt sein?
b) Drei der acht Personen wählen das Fischgericht. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Auswahl dieser drei Personen?
c) Die drei Fischliebhaber stehen direkt hintereinander. Wie viele Schlangen sind möglich?
17. Die Klassen A (12 Mädchen, 9 Knaben) und B (8 Mädchen, 16 Knaben) sind im Lager.
a) Eine Dreiergruppe muss einkaufen gehen; Wie viele Möglichkeiten zur Gruppenauswahl gibt es?
b) Eine Dreiergruppe muss einkaufen gehen; Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Gruppe nicht nur aus Mädchen oder nur aus Knaben bestehen soll?
c) Gesucht werden vier Kinder, die ganz verschiedene Aufträge ausführen sollen; Wie viele Möglich- keiten gibt es?
d) Wie viele Zweiergruppen Mädchen/Knabe sind möglich?
e) Wie viele Zweiergruppen Mädchen/Knabe sind möglich, wenn die beiden aus verschiedenen Klassen kommen sollen?
f) Peter wurde im Zimmer beim Rauchen erwischt. Zur Strafe muss er alle dreibuchstabigen Wörter aufschreiben, die man aus den Buchstaben R A U C H bilden kann. (Ein Buchstabe darf mehrmals verwendet werden). Wie viele Wörter muss er schreiben?
18. In einem Korb liegen 7 unterschiedlich schwere Äpfel. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Äpfel nach ihrem Gewicht anzuordnen?
19. Man darf von 10 verschieden farbigen Luftballons 3 zum Platzen bringen. Wie viele unterschiedliche Auswahlmöglichkeiten hat man insgesamt?
20. In einer Chäsi gibt es drei Sorten von Käse: Weichkäse, Hartkäse und Streichkäse.
a) Wie viele Möglichkeiten hat Hans 15 Käse zu kaufen?
b) Wie viele Möglichkeiten hat Hans, 4 Weichkäse, 5 Hartkäse und 6 Streichkäse auf verschiedene Ar- ten in seiner Einkauftasche zu stapeln?
21. Vor dir liegt eine Tastatur mit den Tasten A, B, C, D, E. Du musst 9 mal auf irgendeine Taste tippen.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielen soll?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen soll?
22. In einem Karteikasten liegen 10 Karteikarten, auf denen folgende Zahlen stehen: 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Zahlen (auf den Karteikarten) in eine unterschiedliche Reihenfolge zu bringen?
23. Aus 9 Bewerbern sollen 3 ausgewählt werden und diese 3 sollen in der Rangreihe ihrer Eignung vorge- schlagen werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
24. Eine Firma, die Glasperlen herstellt, will testen, welche Farben für Kinder besonders attraktiv sind. In 6 Glasschüsseln befinden sich jeweils 12 Glasperlen einer ganz bestimmten Farbe. In der Glasschüssel 1 sind z.B. 12 rote Perlen. Das Kind wird vor die Glasschüsseln gebracht und erhält die Anweisung: Du darfst dir 10 Perlen auswählen und mit nach Hause nehmen.
Für das Experiment entscheidend ist die Frage, wie oft das Kind welche Farbe ausgewählt hat. Wie viele unterschiedliche Auswahlen gibt es?
25. An einem Glacé-Stand hat es 10 verschiedene Eissorten. 2 Freundinnen wählen je 2 Kugeln für ihren Eisbecher (jede hat ihren eigenen Becher). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
26. a) Wie viele Rechtecke enthält die rechts gezeichnete Figur?
(Ein Rechteck besteht aus zwei Paaren paralleler Seiten.) b) Auf wie viele Arten kann man die Figur mit den drei Farben-
rot, blau und gelb einfärben, wenn jede Farbe gleich oft vor- kommen soll, resp. keine Einschränkungen gemacht werden?
c) Wie viele Wege von links oben nach rechts unten gibt es, wenn man nur nach rechts und nach unten fahren darf und im markierten Punkt vorbei kommen muss?
Lösungen
1. 9!
Permutation mit Wiederholung: 15'120 4!=
2. 5
Kombination ohne Wiederhollung: 10 2
=
3. a) Permutation ohne Wiederholung: 10! 3'628'800= b) Variation ohne Wiederholung:
(
10!)
72010 3 !=
−
4.
5. a)
(
5!)
5!Variation ohne Wiederholung: 5 4 3 60 5 3 !=2!= =
− b) Permutation ohne Wiederholung: 5! 120= c)
d) zweimal Permutation ohne Wiederholung (für Gross- und Kleinbuchstaben): 3! 2! 12 = e) 3 2 2 1 1 12 =
6. a) Variation mit Wiederholung: 53=125 b) Variation mit Wiederholung: 33=27 c) 3 5 2=75
d) 1 5 2=25 e) 3 2 3 18 =
f) Variation mit Wiederholung: 54=625
7. 4 9 10 =360 8.
3
Es gibt 5 10 Möglichkeiten, eine 9 auf 2 Stellen zu verteilen. (Kombination ohne Wiederholung) 2
Für die restlichen 3 Stellen stehen noch die 5,6,7,8 zur Verfügung, also 4 64 Möglichkeiten (Variat
=
= ion mit Wiederholung)
Total = 10 64 =640 Möglichkeiten.
Für den ersten Buchstaben hat man 3 Möglichkeiten
restliche Buchstaben: Permutation ohne Wiederholung 4! 24 Total 3 4! 72
= =
= =
Zuerst setzt sich Hans, er hat 6 Möglichkeiten. Anna sitzt neben ihm, also je 2 Möglichkeiten.
Die 3. Person hat noch 4 Möglichkeiten, die 4. Person noch 3 Möglichkeiten, ....
6 2 4! 288 =
10. 9
"aus 9 sind 3 auszuwählen": Kombination ohne Wiederhollung: 84 3
=
11. a) 8
Kombination ohne Wiederholung: 56 5
=
b)
12.
13.
14. F und E+F und D+E und D= + + =5 10 5 6 10 6 140
15. a) Variation mit Wiederholung: 97 =4'782'969
b) 9!
Variation ohne Wiederholung: 9 8 7 6 5 4 3 181'440 2!= =
c) 9 8 =6 2'359'296 d) 1 9 1 59'049 =5
e) 7 4 2 7!
210 oder Permutation mit Wiederholung 210
3 2 2 3! 2! 2!
= = =
f)
genau 5 Lampen sollen brenne: Kombination ohne Wiederholung: 8 56 5 genau 6 Lampen sollen brenne: Kombination ohne Wiederholung: 8 28
6 genau 7 Lampen sollen brenne: Kombination ohne Wiederhol
=
=
ung: 8 8
7 genau 8 Lampen sollen brenne: Kombination ohne Wiederholung: 8 1
8 Total 56 28 8 1 93
=
=
= + + + =
Ein Schnittpunkt ergibt sich aus 2 Geraden. Auf wie viele Arten kann man aus 30 Geraden 2 auswählen?
30 435 2
6 Geraden haben maximal 6 15. Wenn sie alle durch einen Schnittpunkt gehen, dann 2
=
=
nur noch 1.
Also 435 15 1 421− + =
Es gibt 5 Möglichkeiten, dass 3 rote Felder nebeneinander zu platzieren.
Für die restlichen 4 Felder hat man noch 4 Farben, welche auch gleich sein a) Variation ohne Wiederholung: 10! 30240
5!
10 10!
b) Kombination ohne Wiederholung: 252 5 5! 5!
=
= =
16. a) Variation ohne Wiederholung: 8!=40'320
b) 8
Kombination ohne Wiederholung: 56 3
=
c)
17. a) 45
Kombination ohne Wiederholung: 14'190 3
=
b)
c) Variation ohne Wiederholung:
(
45!)
45! 45 44 43 42 3'575'880 45 4 !=41!= =− d) 20 25 =500
e) 12 16 8 9 + =264 f) 53=125
18. Permutation ohne Wiederholung: 7! 5040=
19. 10
Kombination ohne Wiederholung: 120 3
=
20. a) 3 15 1 17 17!
Kombination mit Wiederholung: 136
15 15 2! 15!
+ −
= = =
b) 15!
Permutation mit Wiederholung: 630'630 4! 5! 6!=
21.
Es gibt 6 Möglichkeiten, dass die 3 Fischliebhaber nebeneinander stehen.
Für jede Variante gibt es 3! Möglichkeiten, wie die 3 Fischliebhaber untereinander stehen. Für die restlichen 5 Plätze gibt es 5! Möglichkeiten, sie mit Personen zu besetzen. Also total= =6 3! 5! 4'320
reine Knabengruppen: Kombination ohne Wiederholung: 25 2300 3
reine Mädchengruppen: Kombination ohne Wiederholung: 20 1140 3
Also: 14 '190 2300 1140 10 '750 oder:
2 M aus 20 M auswählen und 1 K aus
=
=
− − =
25 K auswählen plus 1 M aus 20 M auswählen und 2 K aus 25 K auswählen:
20 25 20 25
190 25 20 300 4750 6000 10 '750
2 1 1 2
+ = + = + =
a) Variation mit Wiederholung: 59=1'953'125
22. 10!
Permutation mit Wiederholung: 25'200 3! 2! 3! 2!=
23.
24.
25.
26. a) 8 7 2 2 588
=
b)
c)
Kombination ohne Wiederholung: 9 84 3
Reihenfolge nicht relevant, denn: wird z.B. der 1,5,7 ausgewählt, so gäbe es 6 Möglichkeiten, diese anzuordnen. Es gibt jedoch nur 1 Möglichkeit, wenn sei nach
=
ihrer Eignung sortiert werden müssen.
D.h. die 6 Möglichkeiten sollen nur als 1 gezählt werden, so wie wenn die Reihenfolge nicht relevant ist.
Da es in den einzelnen Schüsseln mehr Kugeln hat als gezogen werden, kann die Frage auch anders formuliert werden: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Farben 10 auszuwählen.
die Reihenfolge der Ziehung ist egal, von der gleichen Farben kann nochmals gezogen werden.
6 10 1 15
Kombination mit Wiederholung 3003
10 10
+ −
= = =
18
42 20
42 28
jede Farbe gleich oft: 2.12 10
14 14
keine Einschränkung: 3 1.09 10
=
=
Es braucht 7 Schritte, 4 nach rechts, 3 nach unten um von links oben bis zum Punkt zu kommen:
7 3 7
Anzahl Möglichkeiten um aus 7 Schritten 4 Rechtsschritte zu wählen: 35
4 3 4
Es braucht
= =
6 Schritte, 3 nach rechts, 3 nach unten um vom Punkt nach rechts unten zu kommen:
6 3 6
Anzahl Möglichkeiten um aus 6 Schritten 3 Rechtsschritte zu wählen: 20
3 3 3
Total 35 20 700 andere M
= =
= =
öglichkeit:
von links oben bis zum Punkt: Permutation mit Wiederholung: 7 Schritte, 4 r, 3 u 7! 35 4! 3!
vom Punkt bis rechts unten: Permutation mit Wiederholung: 6 Schritte, 3 r, 3 u 6! 20 2! 3!
=
=
= =
2 2
2
2 mal Kombination mit Wiederholung
10 2 1 10 2 1 11 11 11! 11 10
55 3025
2 2 2 2 2! 9! 2
+ − + −
= = = = =