Dr. M. Helm
Marie-Curie-Gymnasium Dresden
Material zum Mathematik-Fernunterricht
Klasse 8b, 19.03.-08.04.2020, Teil 3
Liebe Schülerinnen und Schüler,
heute kommt das letzte Material zu unserem dreiwöchigen Corona-Projekt. In den letzten Wochen habt Ihr Euch intensiv mit diesem aktuellen Thema beschäftigen können. Vielleicht habt Ihr noch etwas tief- greifender verstanden, wozu es führt, wenn man in der jetzigen Situation ungebremstes exponentielles Wachstum zuließe.
Heute soll es noch einmal darum gehen, die bisherigen Daten auszuwerten und auch einige Antworten auf die Fragen von letzter Woche zu geben. Diese Antworten und Gedanken sind sicher keineswegs vollständig und können gerne mit mir und untereinander per Mail oder – so bald sie eingerichtet sind – in den LernSax- Foren diskutiert werden. Für die besonders Interessierten unter Euch werde ich noch eine Methode zur Datenglättung vorstellen, die Ihr gerne auch selbst ausprobieren könnt.
Bitte versteht das aber eher als Angebot, bei dem man viel lernen kann –Pflichtaufgabe bleibt vor allem das Daten sammeln und darstellen wie auf dem ersten Blatt der Serie beschrieben. Bitte überschreitet auch nicht den Zeitrahmen, den ich Euch für diese Aufgabe gegeben habe. Ich weiß, dass die Situation für viele von Euch nicht gerade leicht ist.
Werfen wir zunächst einen Blick auf die aktualisierten Zahlen für die Wachstumsfaktoren. Mindestens eines der oberen beiden Bilder sollten mittlerweile auch bei Euch sinngemäß entstanden sein:
5 10 15 20 25 30
Tage seit dem 1.3.2020, 0h 1
1.5 2 2.5 3
Wachstumsfaktor Gesamtfaelle
Deutschland Sachsen
5 10 15 20 25 30
Tage seit dem 1.3.2020, 0h 1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Wachstumsfaktor Gesamtfaelle
Deutschland Sachsen
5 10 15 20 25 30
Tage seit dem 1.3.2020, 0h 1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Wachstumsfaktor Gesamtfaelle (D)
ungeglaettet gleitendes 3-er-Mittel gleitendes 5-er-Mittel
5 10 15 20 25 30
Tage seit dem 1.3.2020, 0h 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Taegl. Neuinfektionen (D)
Wie Ihr vor allem an den Bildern rechts oben und links unten erkennen könnt, sind die Wachstumsfaktoren mittlerweile deutlich kleiner (ca. 1.1, also 10% tägliche Zunahme) als noch Mitte des Monats (ca. 1.3, also30%tägliche Zunahme).
Exponentielles Wachstum ist durch Zeitabschnitte gekennzeichnet, in den sich die Wachstumsfaktoren nicht verändern. Dies lässt sich am ehesten an den Zahlen für Deutschland im Zeitbereich vom 10. bis 20.3. erkennen, danach schwächt sich das Wachstum deutlich ab. Ob wir derzeit eine Phase exponentiellen Wachstums mit geringerem Wachstumsfaktor haben oder eine weitere Abschwächung stattfindet, kann man anhand der Daten noch nicht wirklich beurteilen. Es lohnt sich also, noch etwa eine Woche lang Daten zu sammeln (Eure Aufgabe).
Nun zu den Fragen von Blatt 2 (noch einmal kursiv gedruckt hier wiedergegeben). Bitte überprüft, ob Ihr bei Euren Euch selbst gegebenen Antworten einigermaßen richtig lagt.
Die Karte/Tabelle, die ich Euch beim letzten mal verlinkt habe, zeigt die Gesamtzahl erfasster Fälle (einschließlich der Genesenen und Toten) sowie die Fälle der Genesenen und Toten. Der Anteil der letzten beiden Gruppen war bisher gering, daher macht es kaum einen Unterschied, ob man die aktuell Erkrankten oder die Gesamtzahl der bisher Erkrankten betrachtet. Womit würdet Ihr arbeiten wollen, wenn es so genau wie möglich werden soll? Wo liegen die Probleme? Wo liegen überhaupt typische Probleme bei der diesbezüglichen Datenerfassung?
Diese Frage ist gar nicht so leicht zu beantworten. Sinnvoller wäre es vermutlich, die aktuell Erkrankten zu zählen; also die Genesenen und Toten abzuziehen. Aber dazu gibt es auf unserer Karte eine Warnung:
Für wieder Gesunde gibt es keine Meldepflicht! Daher muss man bei diesen Werten mit größeren Fehlern rechnen! Insofern scheint es sinnvoll, weiter die Gesamtzahl aller erfassten Fälle zu verwenden, die man aber natürlich anders interpretieren muss.
Eine weitere Möglichkeit wäre es, die Anzahl derNeuerkrankungen pro Tag auszuwerten (Differenz ak- tueller minus Vortageswert). Das habe ich im Bild unten rechts getan. Man sieht, dass diese Zahlen nach wie vor tendenziell steigen. Die „Dellen“ in den Graphen um den 22. und 29.3. herum haben vermutlich ihre Ursache in verspätet gemeldeten Fällen vom Wochenende. Den Rückgang am 31.3. erklärt das aber nicht, so dass man gespannt sein darf.
Wenn Ihr es spannender als die Fortsetzung der bisherigen Aufgabe findet: Zeichnet von jetzt bis Ostern statt der Gesamtzahlen und Wachstumsfaktoren den Funktionsgraphen der Neuerkrankungen – vielleicht zeichnet sich ja in der kommender Woche ein Rückgang ab.
Die große Unbekannte bei allen Methoden bleibt jedoch die Anzahlüberhaupt nichterfasster Fälle. Schät- zungen reichen vom 1- bis 10-fachen der erfassten Fälle (ihr könnt dazu gerne selbst recherchieren). Man weiß auch nicht, wie sich der Anteil nicht erfasster Fälle über die Zeit verändert.
Beide Graphen stabilisieren sich in den letzten Tagen bei Werten in der gleichen Größenordnung, ob- wohl sich die absoluten Infiziertenzahlen für Deutschland und Sachsen um mehr als eine Größenordnung unterscheiden. Kannst Du das erklären?
In den oberen beiden Bildern sieht man, dass die Wachstumsfaktoren in Sachsen und Deutschland mitt- lerweile weitgehend gleich sind. Das war auch zu erwarten, da das tägliche prozentuale Wachstum nicht stark von der Region abhängt, wenn man ähnlich restriktive Maßnahmen veranlasst und einigermaßen gleiche Bevölkerungsdichten annimmt. Über die absoluten Fallzahlen sagen die Wachstumsfaktoren gar nichts aus.
Die Graphen zeigen im zeitlichen Verlauf zunächst starke Schwankungen, die später aber deutlich zurück- gehen. Für den sächsischen Graphen ist das besonders augenfällig. Was ist die Ursache?
Die starken Schwankungen im Sachsen-Graphen am Monatsanfang werden vor allem durch statistische Schwankungen verursacht. Bei geringen Gesamtzahlen sind diese deutlicher sichtbar, bei hohen Gesamt- zahlen mitteln sie sich stärker heraus.
Außerdem muss man davon ausgehen, dass die Qualität der Datenerfassung mit wachsendem Problembe- wusstsein und wachsenden Fallzahlen steigt. Dies kann anfangs auch zu überschätzten Wachstumsfaktoren führen, weil man von Tag zu Tag einen höheren Anteil der Erkrankungen bemerkt. Das erklärt evtl. auch die höheren Wachstumsfaktoren für Sachsen zum Monatsanfang.
Wie Ihr seht, hat selbst ein so einfaches Problem unglaublich viele Facetten, mit denen sich Mathematiker herumschlagen müssen. Viele Probleme haben wir hier sicher noch gar nicht erfasst. Wer sich professionell mit solchen Auswertungen beschäftigen will, hat desweiteren zunächst einen riesigen Berg an Fachliteratur vor sich. Wenn Euch das Projekt für diese Schwierigkeiten ein Stück weit ein Gefühl vermittelt hat, hat es eines seiner drei Ziele schon erfüllt.
Das zweite Ziel war natürlich, auch ein bisschen zur Aufklärung in der jetzigen Krise beizutragen und noch etwas mehr Verständnis für die getroffenen Maßnahmen zu erzeugen. Wenn Ihr noch einmal an die Videos zum exponentiellen Wachstum zurückdenkt, ist Euch vielleicht einiges noch klarer geworden.
Außerdem fällt es Euch vielleicht leichter, manche Aussagen zu bewerten, die derzeit in Umlauf gebracht werden ;-).
Drittes Ziel war das Training am aktuellen Stoff (Funktionen und ihre grafische Darstellung). Erinnert Euch dazu bitte noch einmal, was eine Funktion ist, und macht Euch klar, dass sowohl die Gesamtzahlen, die Wachstumsfaktoren und die Neuinfektionen als Funktionen der Zeit aufgefasst werden.
AlsZusatzfür Interessierte hier noch die Antwort auf meine letzte Frage vom zweiten Blatt:
Vor allem für die „Spezis“: Daten sind häufig von zufälligen Störungen überlagert, die das Erkennen eines vorhandenen Trends erschweren. Denkt zum Beispiel an die Graphen von Börsenkursen oder Wetterdaten.
Auf welche Weise könnte man diese Störungen „herausdämpfen“, ohne dabei die Informationen über den Trend zu verlieren?
Für solche Fälle gibt es zum Beispiel das gleitende Mittel, welches im Bild unten links zusammen mit den Originalwerten der Wachstumsfaktoren für Deutschland dargestellt ist. Beim gleitenden Dreiermittel würde man zum Beispiel
• den Originalwert vom 3. März durch den Durchschnitt der Originalwerte vom 2.,3.,4. März ersetzen,
• den Originalwert vom 4. März durch den Durchschnitt der Originalwerte vom 3.,4.,5. März ersetzen,
• den Originalwert vom 5. März durch den Durchschnitt der Originalwerte vom 4.,5.,6. März ersetzen usw.
Wenn Ihr mögt: probiert es selbst aus.Beim gleitenden Fünfer-Mittel geht es analog, nur werden jeweils fünf Werte zusammengefasst.Die Aufgabe ist freiwillig, ich kann aber gerne dazu gefragt werden ;-).
Vielleicht findet Ihr auch folgende Links mit Anwendungen zum gleitenden Mittel interessant:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitreihe_der_Lufttemperatur_in_Deutschland https://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/
Wenn Ihr Fragen/Probleme habt und/oder mehr/andere Aufgaben möchtet, könnt Ihr mir auch gerne wieder eine Mail schreiben.
Ansonsten wünsche ich Euch schon mal schöne Osterferien. Ich hoffe, dass wir uns danach persönlich wiedersehen, aber das hängt freilich vom weiteren Verlauf der Gefahrenlage ab. In jedem Fall müssen wir uns dann aber wieder den regulären Themen widmen, damit nicht zu viel Verzug entsteht. Wir bekommen das schon hin.
Bleibt gesund, haltet durch und macht das Beste aus der Situation!
Beste Grüße M. Helm
