Dr. M. Helm
Marie-Curie-Gymnasium Dresden
Material zum Mathematik-Fernunterricht
Klasse 8b, 19.03.-08.04.2020
Liebe Schülerinnen und Schüler,
da ich die linearen Funktionen für zu wichtig halte, um diese im Selbststudium zu erarbeiten, verschieben wir dieses Thema erst einmal und reaktivieren den bisherigen Stand, wenn sich eine Besserung der Lage abzeichnet. Stattdessen nutzen wir die Zeit, um uns mit dem Phänomen des exponentiellen Wachstums auseinanderzusetzen. Das Thema wird von der mathematischen Seite später noch eingehend behandelt – keine Sorge. Es hat aber gerade einen sehr aktuellen Bezug, so dass es sich lohnt, sich damit zu beschäftigen.
Stellt Euch bitte zu Beginn einen Wasserhahn vor, aus dem konstant Wasser in ein Fass strömt. Wir würden dort beobachten, dass z. B. nach einer Minute 3 Liter Wasser, nach 2 Minuten 6 Liter Wasser, nach 3 Minuten 9 Liter Wasser im Fass sind usw. Pro Minute gibt es also einen konstanten Zuwachs von 3 Liter Wasser. Ein solches Wachstum nennt manlineares Wachstum. Irgendwann ist das Fass voll, aber eigentlich ist alles ganz harmlos.
Viel dramatischer ist das Wachstum, wenn man pro Zeiteinheit den aktuellen Wert mit einem gegebenen Faktormultipliziert. Bitte löst dazu die folgende Aufgabe:
In einer Petrischale befinden sich Einzeller, die sich alle 20 Minuten teilen und im Beobachtungszeitraum nicht sterben (d. h. die Anzahl der Einzeller verdoppelt sich alle 20 Minuten). Wie groß ist die Anzahl der Einzeller nach 3 h, 6 h bzw. 24 h, wenn man mit einem Einzeller beginnt und das Wachstum ungebremst wie beschrieben weitergeht?
(Anleitung: Fülle zunächst ein paar weitere Spalten der folgenden Tabelle aus und versuche dann ein (einfaches) Gesetz zu erraten, mitdem man die AnzahlNder Einzeller aus der Nummerndes betrachteten Zeitabschnitts berechnen kann:
Zeitabschnittsnummern 1 2 3 4 . . .
Ende des Zeitabschnitts 0:20 h 0:40 h 1:00 h 1:20 h . . .
Anzahl EinzellerN 2 4 8 16 . . .
Falls Du das Gesetz nicht erraten kannst, musst Du Dich leider für den Schmerz entscheiden und die Tabelle bis zum Zeitpunkt 24:00 h vervollständigen ;-))
Sicher sind Dir die gewaltigen Zahlen aufgefallen, die bereits nach 6, aber erst recht nach 24 h auftreten.
Das hier beobachtete Wachstum heißt exponentielles Wachstum. Ein ganz ähnliches Phänomen wird eindrucksvoll in folgendem Video erklärt (bitte vollständig anschauen):
https://www.youtube.com/watch?v=jWXLNPrVhfw
Was hat das aber nun mit der aktuellen Lage zu tun? Richtig: Epidemien breiten sich anfangs nach solchen Gesetzen aus! Bitte lies dazu den folgenden aktuellen Artikel:
https://projekte.sueddeutsche.de/artikel/wissen/coronavirus-die-wucht-der-grossen-zahl-e575082/
Nun kann das Wachstum natürlich nicht unbegrenzt so weiter gehen. Berechne dazu die Gesamtmasse der Einzeller nach 24 h im Beispiel oben, wenn ein einzelner Einzeller ein Millionstel Gramm (1µg) wiegt.
Wandle die Einheiten in Kilogramm und Tonnen um, damit Du ein Gefühl bekommst. Passt diese Masse von Einzellern in eine Petrischale? Woher soll deren Nahrung kommen? – Eben.
Also wird es irgendwann zu einer Trendumkehr bzw. einem Stopp des Wachstums kommen. Ein sehr guter Artikel dazu, der auch das exponentielle Wachstum gut beschreibt ist dieser hier (bitte unbedingt das Video schauen, die schwierigeren Abschnitte auch mehrfach):
https://www.mathematik.de/dmv-blog/2674-coronavirus-was-ist-exponentielles-und-logistisches- wachstum
Wahrscheinlich bleiben Teile des Videos für Dich völlig unverständlich, weil sie relativ schwer sind. Aber egal: Hauptsache, Du bekommst ein Gefühl für die Grundaussage.
Nun sind ja einige Maßnahmen gegen die Ausbreitung des Corona-Virus ergriffen worden. Wir sollten daher in den nächsten Tagen und Wochen eine Abschwächung des Wachstums sehen. Das kann man z. B. analysieren, in dem man sich die Zeiten anschaut, in denen sich die Anzahl der Infizierten jeweils verdoppelt. Lies dazu bitte folgenden Artikel:
https://www.sueddeutsche.de/wissen/coronavirus-zahlen-daten-1.4844448
Für uns viel einfacher ist es aber, von Tag zu Tag den Quotienten der aufeinanderfolgenden Infizier- tenzahlen auszurechnen. Haben wir am Tag 1 z. B. 100 Infizierte, am Tag 2 dann 130 Infizierte und am Tag 3 genau 170 Infizierte, liegen diese Quotienten bei 130/100 = 1.3 (zugeordnet zu Tag 2) und 170/130≈1.31(zugeordnet zu Tag 3). Wenn dieser Quotient (auch Wachstumsfaktor genannt), von Tag zu Tag abnimmt, schwächt sich das exponentielle Wachstum ab. Wenn er unter Eins fällt, gehen die Infiziertenzahlen zurück.(Im Einzeller-Beispiel ist der Wachstumsfaktor zwei.)
Eure Aufgabe für jetzt und die nächsten Wochen wäre nun:
Schreibe Dir eine Wertetabelle mit den täglichen Infiziertenzahlen für Deutschland und Sachsen seit Anfang März. Du kannst die Daten zum Beispiel aus folgender Darstellung entnehmen (Schieberegler unten im Bild beachten):
https://interaktiv.morgenpost.de/corona-virus-karte-infektionen-deutschland-weltweit/
Berechne für jeden Tag die Wachstumsfaktoren wie oben erklärt und trage sie in die Tabelle ein (ein Quotient pro Tag für ganz Deutschland und ein weiterer für Sachsen). Aktualisiere die Tabelle regelmäßig und beobachte, wie sich die Zahlen entwickeln. Achte darauf, die Zahlen immer aus der gleichen Quelle zu beziehen. Die Tabelle könnte wie folgt aussehen:
Datum Infizierte Wachstumsfaktor
Deutschland Sachsen Deutschland Sachsen
5.3. 400 1 – –
6.3. 639 2 639400 ≈1.60 21 = 2
7.3. 795 4 795639 ≈1.25 42 = 2
8.3. 903 4 903795 ≈1.14 44 = 1
...
Zeichne die Graphen der Wachstumsfaktorenfunktionen (das Argument ist die Zeit). Das bedeutet kon- kret, dass Du einx-y-Diagramm zeichnest, bei dem diex-Achse dem Datum und diey-Achse den Wachs- tumsfaktoren entspricht. Die Punkte für Deutschland zeichnest Du z. B. blau, die für Sachsen rot ein.
Verbinde die jeweils aufeinanderfolgenden roten und blauen Punkte, damit Du den Verlauf der Funktionen besser erkennen kannst (es muss eine rote und eine blaue Kurve entstehen).
Ich werde stichprobenartig zu kontrollieren, ob die Arbeit erledigt bzw. wenigstens der Versuch unter- nommen wurde (zum Beispiel in dem ich Euch um Fotos bitte). Noten gibt es keine – es sei denn, jemand erstellt freiwillig eine ganz tolle Präsentation oder Ähnliches . . .
Recherchiere bei Gefallen auch noch ein wenig zum exponentiellen Wachstum. Es kommt in der Natur und im Leben recht oft vor, z. B. beim Zinseszins, Wirtschaftswachstum oder dem radioaktiven Zerfall. In jedem Fall solltest Du Dir Zeit nehmen, über das neu Gelernte nachzudenken, z. B. bei einem Spaziergang (natürlich nicht in der Gruppe und nur falls weiterhin erlaubt) an der frischen Luft ;-).
Wenn Ihr Fragen habt oder mehr Aufgaben möchtet, könnt Ihr mir gerne eine Mail schreiben.
Viel Spaß damit, bleibt gut gelaunt und vor allem gesund, M. Helm
