MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

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MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN 16.04.2018

Tutoriumsblatt 2

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK ANDR ´ E DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Bitte geben Sie Ihre L¨ osungen bis sp¨ atestens Montag, den 23.04.2018, um 12 Uhr entweder

¨

uber den R¨ uckgabekasten oder ¨ uber UniWorx ab. Sp¨ atere Abgaben k¨ onnen nicht ber¨ ucksichtigt werden. Gerne k¨ onnen Sie in Gruppen abgeben (max. 3 Studierende).

Melden Sie sich, falls noch nicht geschehen, f¨ ur eines der Tutorien an. Alle Informationen zur Vor- lesung finden Sie unter: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/Teaching/lin_

alg18/

Aufgabe 1 (Gewichtung: 40%)

(i) Entscheiden Sie, welche der folgenden Matrizen paarweise addiert/multipliziert werden k¨ onnen.

A =

1 2 3 −4

, B =

1 1 0 −2

2 0 3 1

, C =







−2 3 2

4 0 0

0 2 −2

1 −1 0





 , D =





2 1 0 0 2 2 1 1 4



 ,

E =

1 2 3 4 1 0 0 3

, F = 0 0 2

,

Stellen Sie eine Merkregel auf, f¨ ur welche Wahl von α, β, γ, δ ∈ N die Matrixaddition A + B und das Matrixprodukt A · B f¨ ur Matrizen A ∈ K

^α×β

, B ∈ K

^γ×δ

wohldefiniert ist.

(ii) Seien die beiden Matrizen A, B gegeben durch

A =





2 1 0 0 2 2 1 1 4



 , B =





2 8 2 0 0 3 1 7 2



 .

Berechnen Sie das Produkt AB und BA.

(iii) Sei A ∈ R

^3×3

eine allgemeine Matrix mit A =





a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33



. Geben Sie jeweils

eine konkrete Matrix B an, so dass

(a) das Produkt AB, die 1., 2. bzw. 3. Spalte von A ergibt, also

AB =



 a

_1j

a

_2j

a

3j



 , j ∈ {1, 2, 3}.

(b) das Produkt BA, die 1., 2. bzw. 3. Zeile von A ergibt, also BA = a

_i1

, a

_i2

, a

_i3

, i ∈ {1, 2, 3}.

(2)

Aufgabe 2 (Gewichtung: 20%)

Sei K ein K¨ orper und n ∈ N. Erinnern Sie sich an die Definition der Linearform, die wie folgt lautet: Falls f¨ ur Φ : K

ⁿ

→ K Koeffizienten Φ

₁

, ..., Φ

_n

∈ K existieren, sodass

∀x = (x

₁

, ..., x

_n

) ∈ K

ⁿ

: Φ(x) =

n

X

i=1

Φ

_i

x

_i

,

dann nennen wir Φ eine Linearform.

Zeigen Sie: Seien c, d : K

ⁿ

→ K Linearformen und λ ∈ K , dann sind auch folgende Funktionen Linearformen.

(i) (c + d) : K

ⁿ

→ K , x 7→ c(x) + d(x) (ii) λc : K

ⁿ

→ K, x 7→ λc(x)

Aufgabe 3 (Gewichtung: 20%)

Sei K ein K¨ orper und m, n ∈ N , a

₁

, ..., a

_m

: K

ⁿ

→ K Linearformen, b = (b

₁

, ..., b

_m

) ∈ K

^m

ein Vektor und ((a

1

, ..., a

m

), b) das entsprechende LGS. Wir definieren die sogenannten Elementarumformungen

M

_k,λ

((a

1

, ..., a

_k

, ..., a

m

), (b

1

, ..., b

_k

, ..., b

m

)) := ((a

1

, ..., λa

_k

, ..., a

m

), (b

1

, ..., λb

_k

, ..., b

m

)) mit 1 ≤ k ≤ m, λ ∈ K

^×

, d.h. das Ersetzen der k-ten Gleichung durch ihr λ-faches, und

A

_k,l,λ

((a

₁

, ..., a

_k

, ..., a

_l

, .., a

_m

), (b

₁

, ..., b

_k

, ..., b

_l

, ...b

_m

)) :=

((a

1

, ..., a

_k

, ..., λa

_k

+ a

_l

, .., a

m

), (b

1

, ..., b

_k

, ..., λb

_k

+ b

_l

, ...b

m

))

mit 1 ≤ k 6= l ≤ m, λ ∈ K, d.h. das Ersetzen der l−ten Gleichung durch die Summe des λ-fachen der k-ten Gleichung und der l−ten Gleichung.

Zeigen Sie, wie durch Kombinationen der Operationen M

_k,λ

und A

_k,l,λ

jeweils f¨ ur geeignete k, l, λ die Vertauschung V

_r,s

der r-ten und der s-ten Gleichung, d.h.

V

_r,s

((a

₁

, ..., a

_r

, ..., a

_s

, ...a

_m

), (b

₁

, ..., b

_r

, ..., b

_s

, ...b

_m

)) := (a

₁

, ..., a

_s

, ...a

_r

, ..., a

_m

), (b

₁

, ..., b

_s

, ..., b

_r

, ...b

_m

)) erreicht werden kann.

Aufgabe 4 (Gewichtung: 20%) Sei die Matrix A gegeben durch A =





1 0 0 0 2 0 0 0 3



 .

Berechnen Sie die Potenzen A

²

, A

³

und geben Sie A

ⁿ

f¨ ur n ∈ N an. Beweisen Sie letzteres

mit dem Beweisverfahren der vollst¨ andigen Induktion.