MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

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MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN 07.05.2018

Ubungsblatt 5 ¨

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK-ANDR ´ E DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Folgende Aufgaben werden in der Zentral¨ ubung am Dienstag, den 08.05.2018 besprochen.

Diese Aufgaben sind als Musterbeispiele zu verstehen. Eine Korrektur von L¨ osungsversuchen der Studierenden zu diesen Aufgaben erfolgt nicht.

Achten Sie beim L¨ osen der Aufgaben auf Vollst¨ andigkeit. Das bedeutet auch, dass Sie jeden Schritt begr¨ unden, indem Sie notieren, welche Eigenschaft (z.B. Assoziativit¨ at, Kommutativit¨ at, neutrales Element, inverses Element) benutzt wurde.

Aufgabe 1

Sei (M, ·) ein Monoid. Wir sagen, ein Element a ∈ M erf¨ ullt die linksseitige K¨ urzungsregel, falls f¨ ur b, c ∈ M aus ab = ac jeweils die Gleichung b = c folgt. Sei M

⁰

die Menge aller Elemente aus M , die die linksseitige K¨ urzungsregel erf¨ ullen.

(i) Zeigen Sie, dass M

⁰

unter der Verkn¨ upfung · von M abgeschlossen ist, und dass M

⁰

mit der auf M

⁰

eingeschr¨ ankten Verkn¨ upfung zu einem Monoid wird.

(ii) Beweisen Sie: Ist M

⁰

endlich, dann ist M

⁰

sogar eine Gruppe.

Hinweis : Verwenden Sie daf¨ ur die Abbildung τ

_a

: M

⁰

→ M

⁰

, x 7→ ax mit a ∈ M

⁰

. (iii) Entscheiden Sie, ob die Aussage aus Teil (ii) auch f¨ ur unendliches M

⁰

noch g¨ ultig

ist, und begr¨ unden Sie Ihre Entscheidung durch einen Beweis oder ein konkretes Gegenbeispiel.

Aufgabe 2

Sei G, ◦ eine Gruppe, ∅ 6= U ⊆ G. Wir nennen U eine Untergruppe von G, wenn (i) ∀a, b, ∈ U : a ◦ b ∈ U

(ii) ∀a ∈ U : a

⁻¹

∈ U

Zeigen Sie: U Untergruppe von G ⇔ ∀a, b ∈ U : a ◦ b

⁻¹

∈ U

Aufgabe 3 (Staatsexamen F15T3A1)

Gegeben seien eine Gruppe G und drei Untergruppen U

1

, U

2

, V ⊆ G mit der Eigenschaft, dass V ⊆ U

₁

∪ U

₂

. Zeigen Sie, dass V ⊆ U

₁

oder V ⊆ U

₂

gilt.

Aufgabe 4

Sei V ein R -Vektorraum. Wir definieren auf V ×V eine Verkn¨ upfung ⊕ und eine Abbildung

∗ : C × (V × V ) → (V × V ) durch

(v

₁

, w

₁

)⊕(v

₂

, w

₂

) = (v

₁

+v

₂

, w

₁

+w

₂

) und (a+ib) ∗(v

₁

, w

₁

) = (av

₁

−bw

₁

, bv

₁

+aw

₁

)

f¨ ur alle (v

1

, w

1

), (v

2

, w

2

) ∈ V × V und a, b ∈ R . Dabei bezeichnet i ∈ C die imagin¨ are

Einheit mit i

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DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN 07.05.2018

Ubungsblatt 5 ¨

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK-ANDR ´ E DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Folgende Aufgaben werden in der Zentral¨ ubung am Dienstag, den 08.05.2018 besprochen.

Diese Aufgaben sind als Musterbeispiele zu verstehen. Eine Korrektur von L¨ osungsversuchen der Studierenden zu diesen Aufgaben erfolgt nicht.

Achten Sie beim L¨ osen der Aufgaben auf Vollst¨ andigkeit. Das bedeutet auch, dass Sie jeden Schritt begr¨ unden, indem Sie notieren, welche Eigenschaft (z.B. Assoziativit¨ at, Kommutativit¨ at, neutrales Element, inverses Element) benutzt wurde.

Aufgabe 1

Sei (M, ·) ein Monoid. Wir sagen, ein Element a ∈ M erf¨ ullt die linksseitige K¨ urzungsregel, falls f¨ ur b, c ∈ M aus ab = ac jeweils die Gleichung b = c folgt. Sei M

die Menge aller Elemente aus M , die die linksseitige K¨ urzungsregel erf¨ ullen.

(i) Zeigen Sie, dass M

unter der Verkn¨ upfung · von M abgeschlossen ist, und dass M

mit der auf M

eingeschr¨ ankten Verkn¨ upfung zu einem Monoid wird.

(ii) Beweisen Sie: Ist M

endlich, dann ist M

sogar eine Gruppe.

Hinweis : Verwenden Sie daf¨ ur die Abbildung τ

: M

→ M

, x 7→ ax mit a ∈ M

. (iii) Entscheiden Sie, ob die Aussage aus Teil (ii) auch f¨ ur unendliches M

noch g¨ ultig

ist, und begr¨ unden Sie Ihre Entscheidung durch einen Beweis oder ein konkretes Gegenbeispiel.

Aufgabe 2

Sei G, ◦ eine Gruppe, ∅ 6= U ⊆ G. Wir nennen U eine Untergruppe von G, wenn (i) ∀a, b, ∈ U : a ◦ b ∈ U

(ii) ∀a ∈ U : a

∈ U

Zeigen Sie: U Untergruppe von G ⇔ ∀a, b ∈ U : a ◦ b

∈ U

Aufgabe 3 (Staatsexamen F15T3A1)

Gegeben seien eine Gruppe G und drei Untergruppen U

, U

, V ⊆ G mit der Eigenschaft, dass V ⊆ U

∪ U

. Zeigen Sie, dass V ⊆ U

oder V ⊆ U

gilt.

Aufgabe 4

Sei V ein R -Vektorraum. Wir definieren auf V ×V eine Verkn¨ upfung ⊕ und eine Abbildung

∗ : C × (V × V ) → (V × V ) durch

(v

, w

)⊕(v

, w

) = (v

+v

, w

+w

) und (a+ib) ∗(v

, w

) = (av

−bw

, bv

+aw

)

f¨ ur alle (v

, w

), (v

, w

) ∈ V × V und a, b ∈ R . Dabei bezeichnet i ∈ C die imagin¨ are

Einheit mit i

= −1. Zeigen Sie, dass (V × V, ⊕, ∗) ein C -Vektorraum ist.