Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

D¨ usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

SS 2006 26. Mai 2006 Blatt 8

Ubungen zu Analysis II ¨

30. (a) Bestimmen Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichung y ⁰ = e ^y sin x und skiz- zieren Sie ihren Verlauf.

(b) Finden Sie eine L¨ osung der Differentialgleichung y ⁰ = − x

y mit der Anfangsbe- dingung y(1) = 1.

(c) Finden Sie L¨ osungen der Differentialgleichung y ⁰ = − x ²

y ³ mit den Anfangsbe- dingungen y(0) = 1 und y(0) = −1.

31. Finden Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichungen (a) y ⁰ + 2xy = xe ^−x

,

(b) y ⁰ + y cos x = ¹ ₂ sin 2x, (c) y ⁰ + y cos x = e ^{− sin x} .

32. Bestimmen Sie alle L¨ osungen der folgenden Systeme von Differentialgleichungen:

(a) y ⁰ ₁ = y ₂ y ⁰ ₂ = y ₁ + x.

(b) y ⁰ ₁ = y ₁ cos x y ⁰ ₂ = y ₁ e ^{− sin x} .

33. Ist k . k eine Norm auf IR ⁿ und A = (a jk ) eine relle n × n-Matrix, so definieren wir wie in §10:

kAk: = max{kAxk | x ∈ IR ⁿ und kxk = 1}.

(a) Geht man von der Norm k . k ∞ auf IR ⁿ aus, so ist kAk = max

j=1,...,n n

X

k=1

|a _jk |.

(Zeilensummennorm)

(b) Geht man von der Norm k . k ₁ auf IR ⁿ aus, so ist kAk = max

k=1,...,n n

X

j=1

|a _jk |.

(Spaltensummennorm)

(c) Warum gibt es f¨ ur n > 1 keine Norm auf IR ⁿ , so dass kAk =





n

X

j,k=1

a ² _jk





1/2

f¨ ur alle n × n-Matrizen A gilt?

Abgabe: Freitag, den 02. Juni 2006, 11.15 Uhr