MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

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MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN 21.05.2018

Ubungsblatt 7 ¨

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK-ANDRE DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Einen L¨ osungsvorschlag zu diesen Aufgaben finden Sie (passwortgesch¨ utzt) auf der Vorlesungsseite. Diese Aufgaben sind als Musterbeispiele zu verstehen. Eine Korrektur von L¨ osungsversuchen der Studierenden zu diesen Aufgaben erfolgt nicht.

Aufgabe 1

Es seien K ein K¨ orper und (V, +, ·) ein K-Vektorraum, außerdem v ∈ V und U ⊆ V ein Untervektorraum von V . Sei außerdem W ⊆ V gegeben durch W = {u + v | u ∈ U}.

(i) Weisen Sie nach, dass durch

⊕ : W × W → V , (v

1

, v

2

) 7→ v

1

+ v

2

− v

∗ : K × W → V , (λ, v

1

) 7→ λv

1

+ (1 − λ)v

Abbildungen W × W → W und K × W → W gegeben sind, und dass es sich bei (W, ⊕, ∗) um einen K-Vektorraum handelt.

(ii) Gegeben Sie eine hinreichende und notwendige Bedingung daf¨ ur an, dass W ein Untervektorraum von V ist.

Aufgabe 2

Sei I = [a, b] mit a < 0 < b und C

⁰

(I, R) versehen mit der ¨ ublichen Addition und skalaren Multiplikation von Funktionen der R -Vektorraum der stetigen Funktionen. Sei zudem die Menge der reellen Polynome von Grad kleiner gleich n ∈ N gegeben durch

P

n

:=

p : I → R , x 7→

n

X

k=0

a

k

x

^k

| a

0

, ..., a

n

∈ R .

(i) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ

n

: R

ⁿ⁺¹

→ C

⁰

(I, R ) gegeben durch

ϕ

_n

(v) = p ∈ C

⁰

(I, R ) ⇔ v =

n+1

X

k=1

a

_k−1

e ˆ

_k

∧ ∀x ∈ I : p(x) =

n

X

k=0

a

_k

x

^k

, a

₀

, ..., a

_n

∈ R

wohldefiniert und ein Monomorphismus ist, wobei ˆ e

k

den k-ten Einheitsvektor bezeichnet. Zeigen Sie zudem ϕ

n

( R

ⁿ⁺¹

) = P

n

und folgern Sie, dass P

n

einen Untervektorraum von C

⁰

(I, R ) darstellt.

(ii) Sein nun n ∈ N gegeben. Zeigen Sie, dass durch

T : P

n

→ P

n+1

, p 7→ T := I → R , x 7→

Z

x

0

p(t)dt

eine lineare Abbildung definiert ist und bestimmen Sie ihr Bild T(P

n

) sowie den Kern ker(T ).

(iii) Die Abbildung φ

_n

: R

ⁿ⁺¹

→ P

_n

mit φ

_n

(v) := ϕ

_n

(v) f¨ ur alle v ∈ R

ⁿ⁺¹

, die man durch Einschr¨ ankung

der Zielmenge von ϕ

_n

auf das Bild ϕ

_n

( R

ⁿ⁺¹

) = P

_n

erh¨ alt, stellt offenbar einen Isomorphismus

zwischen R -Vektorr¨ aumen dar mit Umkehrabbildung φ

⁻¹_n

: P

n

→ R

ⁿ⁺¹

. Zeigen Sie, dass eine

Matrix A ∈ R

(n+2)×(n+1)

existiert mit der Eigenschaft, dass (φ

⁻¹_n+1

◦ T ◦ φ

n

)(v) = Av, ∀v ∈ R

ⁿ⁺¹

und geben Sie diese an.

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Aufgabe 3

Sei I := [−1, 1] und C

⁰

(I, R) versehen mit der ¨ ublichen Addition und skalaren Multiplikation von Funk- tionen der R -Vektorraum der stetigen Funktionen.

(i) Zeigen Sie, dass die Teilmenge der geraden Abbildungen G :=

f ∈ C

⁰

(I, R ) : ∀x ∈ I : f (x) = f (−x) einen Untervektorraum von C

⁰

(I, R ) bildet.

(ii) Sei nun zus¨ atzlich die Teilmenge der ungeraden Funktionen U :=

f ∈ C

⁰