f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN 21.05.2018

Tutoriumsblatt 7

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK-ANDR ´E DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Bitte geben Sie Ihre L¨osungen bis sp¨atestens Montag, den 28.05.2018, um 12 Uhr entweder ¨uber den R¨uckgabekasten oder ¨uber UniWorx ab. Sp¨atere Abgaben k¨onnen nicht ber¨ucksichtigt werden. Gerne k¨onnen Sie in Gruppen abgeben (max. 3 Studierende).

Aufgabe 1 (Gewichtung 15%)

F¨ur einenK-VektorraumV undS⊆V definieren wir

lin(S) :=

n

X

k=1

λkvk

vk∈S, λk ∈K, n∈N .

Seien nunS, T ⊆V. Beweisen Sie die folgenden Aussagen, oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.

(i) lin(S) = lin(T)⇒S =T (ii) S⊆T ⇒lin(S)⊆lin(T)

Aufgabe 2 (Gewichtung 25%)

SeiV einK-Vektorraum undφ:V →V eine lineare Abbildung mitφ◦φ=φ.

(i) Beweisen Sie die Gleichungφ(V) ={v∈V |φ(v) =v}.

(ii) Zeigen Sie, dassv−φ(v)∈ker(φ) f¨ur allev∈V gilt.

(iii) Weisen Sie nach, dass V = ker(φ)⊕φ(V) gilt.

(iv) Zeigen Sie, dassφgenau dann injektiv ist, wennφ= idV gilt.

Aufgabe 3(Gewichtung 30%) SeiI= [a, b]6=∅,

Pn :=

p:I→R: ∀x∈I:p(x) :=

n

X

k=0

a_kx^k, a₀, ..., a_n∈R

sowieφn:Rⁿ⁺¹→ Pn der aus dem Zentral¨ubungsblatt bekannte Isomorphismus.

(i) Sei n ∈ N gegeben. Begr¨unden Sie kurz, warum die Abbildung (D◦φ_n) R-linear ist, wobei D gegeben sei durch

D:Pn→ Pn, f 7→(f⁰:I→R, x7→ df(x) dx )

und bestimmen Sie anschließend ihren Kern ker(D◦φn) sowie das Bild (D◦φn)(Rⁿ⁺¹).

(ii) Zeigen Sie, dass es eine MatrixA∈R(n+1)×(n+1)gibt mit (φ⁻¹_n ◦D◦φn)(v) =Av f¨ur allev∈Rⁿ⁺¹ und geben Sie diese an.

Aufgabe 4 (Gewichtung 30%)

SeiK ein K¨orper mit 1K 6=−1K undV ein K-Vektorraum. F¨ur eine lineare Abbildung φ:V →V mit φ◦φ= idV definieren wir

V⁺={v∈V |φ(v) =v} und V⁻={v∈V |φ(v) =−v}.

(i) Zeigen Sie, dassV⁺ undV⁻ Untervektorr¨aume vonV sind.

(ii) Weisen Sie nach, dassV =V⁺+V⁻ undV⁺∩V⁻ ={0_V}gilt, d.h.V =V⁺⊕V⁻.