Formelsammlung Technische Mechanik

(1)

Formelsammlung Technische Mechanik

1. Allgemeines

(1) 1 Newton = 1 N = 1 kg ·

² s m

(2) 1 kg Masse wiegt auf der Erdoberfläche 9,81 N

(3) F = mF · lF Kennzeichnung der Kraft

(4) F = q · l Streckenlast (q: Kraft / Länge)

(5) F = σ · A = p · A Flächenlast (σ, p: Kraft / Fläche)

y

x F1

x

R

^x

R

F1

1 y

F2 F1

x

R

F2

α

y

α2

(6.1) F2X =

1 2

1 x y

tan tan

·tan R R

α

− α

α

− (6.3) F1X =

1 2

2 x y

tan tan

·tan R R

α

− α

α +

−

(6.2) F2Y = 2

1 2

1 x

y ·tan

tan tan

·tan R

R α

α

− α

α

− (6.4) F1X = 1

1 2

2 x

y · tan

tan tan

·tan R

R α

α

− α

α +

−

(7) Fr

= FX · i + FY · j + FZ · k Addition räumlicher Kräfte (7.1) Fr Fr_X Fr_Y Fr_Z

+ +

=

(8) Rr Rr_X Rr_Y Rr_Z Fr₁ Fr₂ +

= + +

= Resultierende Kraft

= (F1X + F2X) · i + (F1Y + F2Y) · j + (F1Z + F2Z) · k

(8.1) RX = F1X + F2X = Σ FX Beträge

RY = F1Y + F2Y = Σ FY

RZ = F1Z + F2Z = Σ FZ

(9) F = F ²+F ²+F ² Betrag des Kraftvektors

Rechnerische Zerlegung einer Kraft in 2

Komponenten mit

gegebenen Wirkungslinien.

RX und RY (Resultierende) müssen mit dem zu- gehörigen Vorzeichen eingesetzt werden.

(2)

2. Statik

2.1 Kräfte am starren Körper (10) Σ Fr_n Rr

= Addition nichtparalleler Kräfte

(10.1) Σ FX = RX Beträge

Σ FY = RY

Σ FZ = RZ

(11) Σ Fr_n 0r

= Kräftegleichgewicht

(11.1) Σ FX = 0 Beträge

Σ FY = 0 Σ FZ = 0

2.2 Momente am starren Körper

(12) Mp = F · s Moment am starren Körper

(13) Mr ar Fr₁

×

= vektoriell allgemein

(14) M = s · F = a · F = sin α Betrag

(14.1)

z y x

F F F

a a a

k j i F ar×r=

(14.2)

y x

y x z y x

z y x

F F

a a

j i F F F

a a a

k j i F ar×r=

nach Sarrus berechnen

(14.3) = + ayFZi + aZFxj + axFyk – aZFyi – axFZj – ayFxk (14.4) = + (ay · Fz – az · Fy) · i

+ (az · Fx – ax · Fz) · j + (ax · Fy – ay · Fx) · k

(15) Bei der Parallelverschiebung einer Kraft F um s, muß ein Moment eingeführt werden, das dem Moment M = s · F der unverschobenen Kraft bezüglich der neuen Wirkungslinie entspricht.

(16) Mr_P rr Fr

×

= Das statische Moment einer Kraft

(16.1) MP = r · F · sin α Betrag

(17) M = (x1 – xP) · F · cos α - (y1 – yP) · F · sin α = Fy · (x1 – xP) – Fx · (y1 – yP)

(17.1) Umgekehrt gilt daher: Die Summe der statischen Momente mehrerer Kräfte ist gleich dem statischen Moment ihrer Resultierenden. Mr rr Rr rr_i Fr_i

× Σ

=

×

=

(17.2) Die Summe der statischen Momente mehrere Kräfte bzgl. eines Punktes der Wirkungslinie ihrer Resultierenden ist = 0. Mr =Σrr_i×Fr_i =0

(3)

Addition parallel gerichteter Kräfte (18.1)

1 2 l F l

R= ⋅ (Bezugspunkt B)

(18.2)

2 1

2

1 F F

l F l = ⋅ +

(18.3)

2 1 l F l

R= ⋅ (Bezugspunkt C)

(18.4)

2 1

1

2 F F

l F l = ⋅ +

2.3 Das Gleichgewicht am starren Körper

Ebenes System

(19) Fr_i 0r:Fr₁ Fr₂ Fr₃ ... Fr_n 0r

= + + + +

=

Σ Vektoren

(20.1) ΣFix = Σx = 0 : F1x + F2x + ... + Fnx = 0 Beträge (20.2) ΣFiy = Σy = 0 : F1y + F2y + ... + Fny = 0

(21) Mr_i*=M_i*⋅k

Freie Momente (22) Mri =(rix⋅Fiy−riy⋅Fix)⋅k

(23) Mr rr_i Fr_i Mr_i* 0r

= Σ +

× Σ

=

Σ Vektoren

(23.1) ΣM = Σ(rix · Fiy – riy · Fix) + ΣMi* = 0 Beträge Bemerkung:

Definiton des Gleichgewichts: Entweder durch 2 Vektorgleichungen (19 und 23) oder durch 3 Betragsgleichungen (20.1; 20.2 und 23.1).

Räumliches System

(24) Fr_i 0r:Fr₁ Fr₂ Fr₃ ... Fr_n 0r

= + + + +

=

Σ Vektoren

(24.1) ΣFix = Σx = 0 : F1x + F2x + ... + Fnx = 0 Beträge (24.2) ΣFiy = Σy = 0 : F1y + F2y + ... + Fny = 0

(24.3) ΣFiz = Σz = 0 : F1z + F2z + ... + Fnz = 0 (Vorzeichen beachten !)

(25)

iy ix

iy ix iz iy ix

iz iy ix i i

F F

r r

j i F F F

r r r

k j i F r×r =

r Momente der Kräfte

(25.1) Mri*=Mix*⋅i+Miy *⋅j+Miz*⋅k

Freie Momente (26) rr_i Fr_i Mr_i* 0r

= Σ +

×

Σ Vektoren

(26.1) ΣM = 0 : Σ(r · F – r · F ) + ΣM * = 0 Beträge

C A

B

R F2

F1

l1 l2

l

(4)

2.4 Statik des Balkens

Konstante Streckenlast über die ganze Balkenlänge (siehe 230.4 / 230.5)

(31.1) 









 −

⋅ ⋅

=











 −

⋅ ⋅

= ^o ₂² ^q ₂²

l x l x 2

l R l x l x 2

l ) q x (

M (Parabel) Biegemoment an der Stelle x

(31.2) 



 

 −

⋅

= 2

1 l l x q ) x (

Q o (Gerade) Querkraft an der Stelle x

Kontinuierliche Streckenlast auf Teillänge des Balkens

x

A B

l

c a

y

Rq

b

q₀

(32.1)

2 ) b a x q ( 2

) a x q ( A ) x ( M

2 0

x

−

⋅ −

− +

⋅

−

= Biegemoment

(32.2) Q(x)=−A+q₀ ⋅(x−a)−q₀ ⋅(x−a−b) Querkraft

Konstante, übertragende Streckenlast

x B

q0

a b c

l

Rq

y A

(33.1) {

4 4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4 4

4 2

1 4 4 4

4 3

4 4 4

4 2

1

c _ Bereich o

b _ Bereich o a

_ Bereich

) b a x ( 2 B

a ) x a x ( q x 2 A

a ) x a x ( q x A x A ) x (

M = ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − −

(33.2) Q(x)=−A= −A+q₀ ⋅(x−a)=−A+q₀⋅(x−a)−B Querkraft A

y

x R_q

l

B q0

(5)

3. Schwerkraft und Schwerpunkt

3.1 Massenpunkt und Schwerpunkt

(60) G = m · g Gewicht = Masse · Erdbeschleunigung

(60.1) g = 9,81 ₂ s

m Fallbeschleunigung

(60.2) 1 N = 1 kg · 1 ₂ s

m Einheit

3.2 Der Schwerpunkt (61) Mr rr_i Gr_i rr₀ Gr

×

=

× Σ

=

(61.1) rr_o Gr 0 rr_i Gr_i

× Σ

=

×

(62) ^r^r^o ⁼ ^Σ^m_mⁱ^⋅^r^rⁱ ⁼

∑

^m_mⁱ ^⋅^r^rⁱ

(63) ^x⁰ ⁼

∑

^m_mⁱ ^xⁱ^y⁰ ⁼

∑

^m_mⁱ ^yⁱ ^z⁰ ⁼

∑

^m_mⁱ ^zⁱ

(64)

1 2 2 1

m m a a =

3.3 Ermittlung von Schwerpunkten (65) ⁱ r_i r₀

V

V r r

=

∑

⋅

Schwerpunkte von Linien

(66) i

i

0 x

l

x ∆l ⋅

=

∑

^y⁰ ⁼

∑

^∆_l^lⁱ ^⋅^yⁱ^z⁰ ⁼

∑

^∆_l^lⁱ ^⋅^zⁱ

(66.1)

1 2 2 1

l l a

a = gebrochener Linienzug

(66.2)

l x l l

x l l l

x

x l ¹ ¹ ² ²

2 1

2 1 2 1

1 1 0

+ ⋅

= ⋅ + + ⋅ +

= ⋅

l y l y l l l

y l l l

y

y l ¹ ¹ ² ²

2 1

2 1 2 1

1 1 0

⋅ +

= ⋅ + + ⋅ +

= ⋅

(67.1) s

b

y₀ = r ⋅ ; x0 = 0 (b = Bogenlänge, s = Sehnenlänge) Kreisbogen

(67.2)

° α

⋅ °

=πs 90

y0 ; x0 = 0 (67.3)

α α

=r⋅sin)

y₀ ; x0 = 0 (67.4)

=2πr

y₀ ; x0 = 0 Halbkreisbogen

r 2

(6)

1. Möglichkeit

(68.1) ₀ ⁱ ^{y i} x_i A

l

x ∆x ⋅ ⋅

=

∑

i y i i

0 y

A l x

y ∆ ⋅ ⋅

=

∑

2. Möglichkeit

(68.2) ₀ ⁱ ^xi x_i

A l x =

∑

∆y ⋅ ⋅

i xi i

0 y

A l y =

∑

∆y ⋅ ⋅

(69) Schwerpunkt eines Dreiecks:

Die 3 Seitenhalbierenden (Schwerlinien) eines Dreiecks, schneiden sich im Schwerpunkt der Dreiecksfläche. Der Schwerpunkt teilt die Schwerlinien und die Höhen im Verhältnis 2:1.

(69.2) x₀ =0 ;

b rs 3

y₀ = 2⋅ Kreisausschnitt, Kreissektor

(69.3) x₀ =0 ;

° α

⋅ °

=πs 60 y0

(69.4) x₀ =0 ;

α α

= ⋅ ) 3

sin r y₀ 2

(69.5) x₀ =0 ;

⋅π

= r

3

y₀ 4 Halbkreisfläche

(70) Kreisabschnitt:

Ist von einer Gesamtfläche ein Teil abgeschnitten, so ist das statische Moment der Restfläche gleich dem statischen Moment der Gesamtfläche, vermindert um das statische Moment der fehlenden Fläche.

(71.1)

α

⋅ α

− α

α

⋅ ⋅

= sin cos

sin r 3 yo 2

3

) ; x0 = 0

(71.2)

α

− α

α

⋅ ⋅

= 2 sin

sin r 3 yo 4

3

) ; x0 = 0 Schwerpunkte räumlicher Flächen

(73) ^r^r⁰ ⁼

∑

^A_Aⁱ ^⋅^r^rⁱ ^r^r= Richtungsvektor

(73.1) ^x⁰ ⁼

∑

^A_Aⁱ ^⋅^xⁱ ^y⁰⁼

∑

^A_Aⁱ ^⋅^yⁱ^z⁰ ⁼

∑

^A_Aⁱ ^⋅^zⁱ

(73.2) x0 = 0 ; y0 = 0 ;

2 h h

z0 = 1+ Kugeloberfläche

(73.3) x0 = 0 ; y0 = 0 ; 2

z0 = r Halbkugeloberfläche

(73.4) x0 = 0 ; y0 = 0 ; ⁼ ^⋅

(

^y⁺^cos^α

)

2

z₀ r Kugelkappe

x

y l

Ai

xi Sⁱ

y ∆ _i

i yi

x

x i

y

l

xi

A_i Sⁱ

y

∆iy

i

x

(7)

Schwerpunkte von Körpern

(74) ^r^r⁰ ⁼

∑

^V_Vⁱ ^⋅^r^rⁱ ^r^r= Richtungsvektor

(74.1) ^x⁰ ⁼

∑

^V_Vⁱ ^⋅^xⁱ ^y⁰ ⁼

∑

^V_Vⁱ ^⋅^yⁱ^z⁰ ⁼

∑

^V_Vⁱ ^⋅^zⁱ

(74.2) Dreiseitige Pyramide

S ist Schwerpunkt eines Dreiecks, das parallel über dem Dreieck BCD (Grungfläche) liegt, im Abstand h/4 von diesem, bzw. im Abstand ¾h von A (Spitze) aus.

(74.3) x0 = 0 ; y0 = 0 ; 4

z0 =h Kreiskegel

(74.4) x0 = 0 ; y0 = 0 ; r (1 cos ) 8

z0 =3⋅ ⋅ + α Kugelausschnitt

(74.5) x0 = 0 ; y0 = 0 ; r 8

z₀ =3⋅ Halbkugel

Schwerpunktsbestimmung durch Messung

(75) l

G x₀ = B⋅

3.4 Bestimmung von Oberflächen und Volumen von Rotationskörpern

(80) A = 2π· y0· l Rotationsfläche

(80.1) A = 2π· ∑∆l_i⋅y_i

(81) A = 4πr² Kugeloberfläche

(82) A=π⋅r⋅ h²+r² Mantelfläche des Kreiskegels

(83) A = 4πr²· r· R Torus (Donut)

(84) V = 2π· y0· A Volumen des Rotationskörper

(85) V = r³

3

4⋅π⋅ Kugelvolumen

(86) V = h r² 3

1⋅π⋅ ⋅ Kreiskegel

(87) V = 2π²· R· r² Torus

(8)

4. Die Reibung

4.1 Haftreibung

(90) R = µ0 · N Reibungskraft (Coulomb’sches Gesetz)

(91) µ0 = Reibungskoeffizient der Ruhe Reibkegel

(92) ρ0 =arctan

( )

µ0 Reibungswinkel (93) Solange F innerhalb des Reibungskegels wirkt (α≤ρ₀)

bleibt der Körper in Ruhe und man spricht von Selbsthemmung (Selbstsperrung).

(94) ^H⁼^F^⋅

(

^µ0^⋅^cos^α⁻^sin^α

)

Horizontalkraft (94.1)

0 0

cos ) F sin(

H ρ

α

−

⋅ ρ

=

Reibung auf schiefer Ebene Hinaufschieben der Masse

(95) Qmax = G · (sin α + µ0 · cos α) (96) N = G · cos α (Normalkraft) (95.1) Qmax =

s l G⋅h+µ⁰⋅ mit µ0 = tan ρ0: (95.2) Qmax =

0 0

cos ) G sin(

ρ ρ +

⋅ α

Hinabschieben der Masse

(97) Qmax = G · (sin α - µ0 · cos α) (98) N = G · cos α (Normalkraft) (97.1) Qmax =

s l G h−µ⁰⋅

⋅ (97.2) Qmax =

0 0

cos ) G sin(

ρ ρ

−

⋅ α

(99) Selbsthemmung für α≤ρ₀

µ₀ R = N

ρ0

Fcos

ρ₀

Fsin m

N F

x y ρ0

s

Ang estrebte Bew eg.-Richtung y

x

N µ0

R= N

Gsinα Gcosα

G

Q^ma^x

h

Qm a x

α

l

s

l

α G

Gcosα

N y

x

Angestrebte Beweg.-Richtung

max

-Q

Gsinα

-Q_{m a x}

µ⁰

R= N h

(9)

(100) Selbsthemmung für 2 0

l t µ

≥ ⋅ Schraubzwinge

(101) Selbsthemmung für α≤ρ₀ Schraube mit Flachgewinde

Keilförmige Nut (102) N =

α

⋅ ⋅ sin 2 Q 1 (103)

α

⋅

=µ sin F ⁰ Q

Umschlingungsreibung (104) F2 = F1 · e^µ⁰^⋅^α

4.2 Gleitreibung (110) R = µ · N Gleitreibung am Radiallager (111) ρ = α

(111.1) N = Q · cos α (111.2) R = Q · sin α

(111.3) Md = r · Q · sin α äusseres Moment

Gleitreibung am Axiallager (112) MR = Q r

3 2⋅µ⋅ ⋅

Konstanter Druck auf Kreisringfläche

(113) MR = ₂

i 2 a

3 i 3 a

r r

r Q r 3 2

−

⋅ −

⋅ µ

⋅ Reibungsmoment

Hyperbolische Druckverteilung auf Kreisringfläche (114) MR = µ · Q ·

2 r r_a + _i

F1

α _F2

Q

F α

(10)

Die Backenbremse (115.1)

c a

b Q a

N₁

⋅ µ +

⋅ +

= (115.2)

c a

b Q a

N2

⋅ µ

−

⋅ +

=

Reibung am Keil (116)

) sin (cos

) cos (sin

) sin cos ( ) cos sin Q (

F

2 2

3

2 2

1

α µ

− α + α µ + α µ

−

α + α µ + α

− α µ µ

⋅ −

=

(für eintreiben des Keils)

(117)

) sin cos (

) sin (cos

) cos sin ( ) cos Q (sin

F

2 3 2

2 1 2

α + α µ

− µ + α µ + α

α

− α µ

− µ + α µ

−

⋅ α

=

(für herausziehen des Keils) Für µ1 = µ2 = µ3

(116.1) F=Q⋅tan(α+2ρ) (eintreiben) (117.1) F=Q⋅tan(α−2ρ) (herausziehen)

Bandbremse

Reibungsmoment rechtslauf:

(118) M_R₁ =r⋅Q⋅(e^µα−1) Reibungsmoment linkslauf:

(118.1) M_R₂ =r⋅Q⋅(1−e⁻^µα)

a b

c

R A

N

Q

Q R3

N3

F

N1 R1

N2

α

S

¹

Q

ω2

S

²

r

α

ω1

(11)

5. Normal- und Tangentialspannung

5.1 Zugspannung und Dehnung

Hooke’sches Gesetz, Spannung, Dehnung (150)

A0

= F

σ Spannung

(151)

l0

∆l

=

ε Dehnung

(152) ε= α⋅σ mit α = Dehnungszahl Dim:

Kraft Fläche

Hooke’sches Gesetz (152.1)

E

= σ

ε mit E = Elastizitätsmodul = α

1

(152.2)

0 0

l l 'l ge

Anfangslän

ge Anfangslän

Endlänge − = −

= ε

(153)

E l σ⋅l⁰

=

∆ Verlängerung

(153.1)

E l A

l F ⁰

0

=

∆

(154) _Stahl ⁵ ₂

mm 10 N 1 , 2

E = ⋅ Elastizitätsmodul für Stahl

(154.1)

s K

Zul =

σ Zulässige Spannung

mit K = Werkstoffkennwert und s = Sicherheitsfaktor

Querdehnung (155)

0

q d

∆d

= η

=

ε Querkontraktion

(155.1)

0 0

q d

' d d −

=

ε Richtige Vorzeichen

Verhältnis zwischen ε und εq über Proportionalität:

(156) _q 1 _q

m ⋅ε

= ν ε

⋅

=

ε mit m = Poisson’sche Zahl und µ = ν = Querdehnungszahl

(156.1)

q m

= ε

ε Querkontraktion

Vorzeichen der Dehnung:

+ Verlängerung durch Zugkraft ist positiv.

- Verkürzung durch Druckkraft ist negativ.

(12)

Dehnung der Querschnittsfläche (157) ε = ∆ =2ε =2η

d

2 d _q

0 A

Volumendehnung (158)

m 2 m E m

2 m

V

⋅ −

= σ

⋅ − ε

= ε

Formänderungsarbeit bei Zugbeanspruchung

(159) W*= ₂¹⋅F⋅∆l Arbeit im elastischen Bereich

(160) W*= ₂¹⋅V₀⋅ε⋅σ=w⋅V₀ (160.1) mit

w E

2 2 1 2

1⋅ε⋅σ= ⋅σ

=

Diese Arbeit W* ist innerhalb des elastischen Bereiches geleistet und kann bei Entlastung wiedergewonnen werden. Man nennt W* eine „innere Arbeit“.

Wärmespannung

α = lineare Wärmeausdehnungszahl (bei Stahl: 1,17 ⋅ 10^-5 1/K)

(161) ∆l_T =α⋅l₀⋅∆T Verlängerung durch Wärmedehnung

(162) 



 





+ ⋅

−

⋅ α

⋅

=

∆ A E

) F T T ( l l

0 1 2 0

ges Gesamtverlängerung

(162.1) (T T ) A E

l

F l 2 1 0

0

ges ⋅ ⋅











∆ −α⋅ −

= dazu nötige Kraft

(162.2) (T T ) E

l l A

F

1 2 0

ges 0

⋅









∆ −α⋅ −

=

σ auftretende Spannung

Schrumpfspannung

(163) Temperaturdifferenz ρ

−

= ρ

= α

∆ r

T 1 mit r = Wellenradius

(163.1) Gesamtreibungsmoment

0 m 0

R E A

r R 2

M = π⋅µ ⋅ ⋅ ρ ⋅ ⋅ für s << Rm

A

ρ

Nach Aufschrumpfen

rs mR

0

ρr-

Lose, kalt b

(13)

z

x

γ/2

γ 90°- τ

τx z

z x

y 5.2 Tangential- oder Schubspannungen

Schubspannung (164)

Fläche Kraft A

T =

=

τ Schubspannung

Satz der Gleichheit einander zugehöriger Schubspannungen:

(164.1) τXZ = τZX

Definition der Indizes bei Schubspannungen:

1. Index: Bezeichnung der Achse, die zur Spannungsebene senkrecht verläuft.

2. Index: Bezeichnung der Achse, die zur Spannung τ parallel verläuft.

Gleitung, Gleitwinkel (165) γ =β⋅τ= ⋅τ

G

1 ; G = Gleitmodul; β = Gleitzahl

(165.1) =γ⋅G β

= γ τ

Gesamtgleitung (165.2)

G l A l T l=Gτ ⋅ = ⋅

⋅ γ

= ψ

Gleitmodul für Stahl

(166) _Stahl ⁴ ₂

mm 10 N 1 , 8

G = ⋅

Zusammenhang zwischen Gleit- und Elastizitätsmodul

lγ

ψ

(14)

ρ dρ

rⁱ ra

Torsion einer Welle mit Kreisquerschnitt (168)

r l r l G

⋅

= γ τ ⋅

=

ϕ Verdrehwinkel

Dünne Hohlwelle (mit Radius ρ und Wandstärke dρ; ρ >> dρ)

(169) Mt =2π⋅τx_ϕ⋅ρ²⋅dρ Gesamt-Torsionsmoment

Dicke Hohlwelle oder Vollwelle (mit Radius ρ und Wandstärke dρ) (170)

32 ) d d I (

4 i 4 a p

π

⋅

= − Polares Flächenmoment 2. Grades

(171)

P t

I G

l M

⋅

= ⋅

ϕ Verdrehwinkel

(172)

P t

I M ⋅ρ

=

τ Torsionsspannung

(173)

P a t

max I

r M ⋅

=

τ Maximale Torsionsspannung

(174)

32 I d

4 P

π

= ⋅ Polares Trägheitsmoment für Vollwelle

(175)

16 W d

3 P

π

= ⋅ Polares Widerstandsmoment nur für Vollwelle

(176)

{

Vollwelle nur

P t

Hohlwelle auch

P t

max W

M I

r M ⋅ =

= τ

3 2 1

allgemein

(177) W* = 2⋅ t⋅ϕ

1 M Formänderungsarbeit bei Torsion

(178) W* = V w* V

G

2 2

1⋅τ ⋅ = ⋅ (V = A ⋅ l = Volumen)

(179) w* = G

2 2

1⋅τ spezielle Formänderungsarbeit

(15)

a

u

v

σ2

σ₂

σ1 σ₁

5.3 Spannungszustände

Einachsiger oder geradliniger Spannungszustand (180)

2 2 cos 1

x

α

⋅ + σ

= σ_ξ (180.1)

2 2 sin

x

⋅ α σ

−

= τ_ξη (181)

2 2 cos 1

x

α

⋅ − σ

= σ_η (181.1)

2 2 sin

x

⋅ α σ

= τ_ηξ

Zweiachsiger oder ebener Spannungszustand

(182) σ −σ ⋅ α

σ + +

= σ

σ_ξ cos2

2 2

2 1 2 1

(182.1) τ_ξη=−σ −σ ⋅sin2α 2

2 1

(183) σ_η =σ +σ −σ −σ ⋅cos2α 2

2

2 1 2 1

(183.1) τ_ηξ = σ −σ ⋅sin2α 2

2 1

Die Dehnungen im 2-achsigen Spannungszustand

(184) 



 



σ −σ

⋅

=

ε E m

u 1 ₂

1 2

a ges u



 



 σ

− σ

⋅

=

ε E m

v 1 ₁

2 2

a ges v

Umrechnen allgemeiner Spannungen

(185) σ −σ ⋅ α+τ ⋅ α

σ + +

=σ

σ ^ξ ^η ^ξ ^η cos2 _ξη sin2

2

x 2

2 τ σξ

ηξ

ξη η

τ

σx

ξ

α σ τ

ση α

τ_ξη

σ_ξ τ

η τηξ

ξ

2α σ

σ_η σ1

σ₂ α

(16)

Allgemeines Gesetz für die Zerlegung allgemeiner Spannungen

(187) σxx =σ_ξξ ⋅cosxξ⋅cosxξ+τ_ξη ⋅cosxξ⋅cosxη+τ_ηξ ⋅cosxη⋅cosxξ+σ_ηη ⋅cosxη⋅cosxη η

⋅ η

⋅ σ + ξ

⋅ η

⋅ τ + η

⋅ ξ

⋅ τ + ξ

⋅ ξ

⋅ σ

=

σ_{y y} ξξ cosy cosy ξη cosy cosy ηξ cosy cosy ηη cosy cosy η

⋅ η

⋅ σ + ξ

⋅ η

⋅ τ + η

⋅ ξ

⋅ τ + ξ

⋅ ξ

⋅ σ

=

σxy ξξ cosx cosy ξη cosx cosy ηξ cosx cosy ηη cosx cosy

Umrechnung auf Hauptspannungen (188)

η ξ

ξη

σ

− σ

= τ

α 2

* 2 tan

Die Invarianten des ebenen Spannungszustandes 1. Invariante

(189) σ_x +σ_y =σξ+ση =σ₁+σ₂ (190)

2 2 2 1

2 2

xy 2 y x

2 2

2 

σ −σ

= τ

 +











σ −σ

= τ

 +











σ −σ

η ξη ξ

2. Invariante

(190.1) 1 2

2 2

xy y

xσ −τ =σ σ −τ =σσ

σ ξ η ξη

Die Verzerrungen im ebenen Spannungszustand

(191) γ_ξη =−(ε1−ε2)⋅sin2α Änderung des rechten Winkels im Bogenmaß ! (191.1) γ_ξη =−γ −γ ⋅sin2α

2

22 11

(192) 2ε_ξ =(ε₁+ε₂)+(ε₁−ε₂)⋅cos2α

(192.1) γ_ξξ = ε_ξ = γ +γ + γ −γ ⋅cos2α 2

2 ¹¹ 2 ²² ¹¹ ²²

(193) 2ε_η =(ε₁+ε₂)−(ε₁−ε₂)⋅cos2α

(193.1) γ_ηη = ε_η = γ +γ − γ −γ ⋅cos2α 2

2 ¹¹ 2 ²² ¹¹ ²²

Verzerrungskreis die Größen ...

γξξ = 2εξ

γηη = 2εη

γ11 = 2ε1

γ22 = 2ε2

... sind Dehnungen.

γξη ist die Änderung des rechten Winkels im Bogenmaß.

α

α 2 γ11

γ_ξξ γ

γik

γ_ii ηη

η

ξ

γ22

ξη

ηξ

γ

(17)

Die Invarianten der Verzerrungenszustandes (194) γξξ +γηη =γ_xx+γ_{y y} =γ₁₁+γ₂₂

2 1 y

x +ε =ε +ε ε

= ε + εξ η

(194.1) γ_xxγ_{y y}−γ_xy² =γξξγηη −γξη² =γ₁₁γ₂₂ Allgemeine Umrechnungsformeln für Verzerrungen

geg: γxx = 2εx; γy y = 2εy; γxy (=Winkeländerung) ges: γξξ = 2εξ; γηη = 2εη; γξη

(195) γ −γ ⋅ α+γ ⋅ α

γ + +

= γ

γ_ξξ cos2 sin2

2

2 ^xy

y y xx y y xx

α

⋅ γ

− α γ ⋅

−

−γ γ +

= γ

γ_ηη cos2 sin2

2

2 ^xy

y y xx y y xx

α

⋅ γ + α γ ⋅

+

−γ

=

γ_ξη sin2 cos2

2 ^xy

yy xx

Ermittlung der Hauptverzerrungsrichtungen aus γxx , γyy und γξξ45°

(195.1)

2

y y xx 45 xy

γ +

−γ γ

=

γ _ξξ _°

Zusammenhang zwischen Spannungskreis und Verzerrungskreis

Verzerrungskreis ^ik

=m ·l_γ γ γ σ

γ lt

rγ

l

γ11

γ22 ⁱⁱ

γ Spannungskreis

τ γ

=m ·l_σ

σ _σ

σ2 σ₁

lr^σ

l_t_σ

(196)

σ γ σ

γ γ

σ ⋅ = ⋅

= +

m G m m m ) 1 m ( 2

Em l

l

r r

(196.1) ( m )

1 m

m E

2 2 1

1 ⋅ ε ⋅ +ε

−

= ⋅ σ

(196.2) ( m )

1 m

m E

1 2 2

2 ⋅ ε ⋅ +ε

−

= ⋅ σ

(197) ^σ ^γ ^γ ⋅ ^γ

−

= +

− ⋅

⋅ +

=

− ⋅

⋅

= ⋅ ^r

t m 1 m m 1 l

m G m l E

(18)

Dreiachsiger Spannungszustand

Hier ist der Spannungszustand in der Ebene 1 – 3 dargestellt. Eine Drehnung um die Achse 2 ergibt Schubspannungen τzx bzw. τzx im System x – z.

σ x

σ1

αx z

τ_{z x} σ

2 3

σ1

σ3 3

σ₃ z τ

x z 1 α

τx z

τz x

x z

Man kann diese drei ebenen Spannungszustände in drei Spannungskreisen ausdrücken, die man ineinander zeichnen kann.

Wenn 2 der vorhandenen Spannungen Hauptspannungen sind, dann ist zwangsläufig die 3. Spannung auch eine Hauptspannung.

Der ebene Spannungszustand ist nur ein Sonderfall des räumlichen, wobei eine Spannung = 0 ist.

Hydrostatischer Spannungszustand

Ein hydrostatischer Spannungszustand liegt vor wenn σ1 = σ2 = σ3. Der Spannungskreis des 3-achsigen Spannungszustandes wird zum Punkt, es gibt also keinerlei Schubspannungen, daher auch keine Winkelverzerrungen.

σ3 σ2 σ1

σ τ

(19)

Verzerrungen im 3-achsigen Spannungszustand (200)

G

xy xy

= τ γ

(201) 





 σ −σ

− σ

⋅

=

ε E m m

1 y _z

x

x Dehnungen



 



σ −σ −σ

⋅

=

ε E m m

1 _z _x

y y







 σ

σ −

− σ

⋅

=

ε E m m

1 x y

z z

(202) _x _y _z

V0

e =∆V = ε +ε +ε Volumendilatation

(202.1)

(

^x ^y ^z

)

m E

2

e m ⋅ σ +σ +σ

⋅

= −

(203) 



 



 + − ε + ⋅

= ⋅

σ m 2

e 1

m m E

x x



 



 + − ε + ⋅

= ⋅

σ m 2

e 1

m m E

y y



 



 + − ε + ⋅

= ⋅

σ m 2

e 1

m m E

z z

Formänderungsarbeit durch Schubspannungen

(204)

( )

^dx ^dy ^dz

G V 2

w w w

* W

2 y z 2 xz 2 xy 0 3 2 1

gesamt ⋅ ⋅ ⋅

⋅ τ + τ +

= τ

⋅ + +

τ =

Formänderungsarbeit durch Normalspannungen

(205) dx dy dz

m 2 2

2 E

2

* 1

W _gesamt _x² _y² _z² ^x ^y ^x ^z ^y ^z ⋅ ⋅ ⋅





 σ σ + σ σ + σ σ

− σ + σ + σ

⋅ ⋅

σ =

Spez. Gesamtformänderungsarbeit durch Spannungen ausgedrückt

(206)

( )

_^









 σ σ +σ σ +σ σ + + ⋅ τ +τ +τ

σ − + σ +

⋅ σ

τ =

σ 2

y z 2 xz 2 xy z

y z x y x 2 z 2 y 2 x

, m

1 m m

2 E

w 1

(206.1)

( ) ( ) ( )

_^









σ +σ +σ − + ⋅ σ σ +σ σ +σ σ + + ⋅τ +τ +τ

⋅

τ =

σ 2

y z 2 xz 2 xy z

y z x y x 2

z y x

, m

1 m m

1 m 2

E w 1

Spezielle Formänderungsarbeit durch Verzerrungen ausgedrückt

( ) ( )

^

 ⋅ − − ⋅ ε ε +ε ε +ε ε + ⋅ γ +γ +γ

⋅

= ² m 1 ¹ ² ² ²

Die Spannungen als Funktion der Dehnungen

Die einzelnen Werte σ können auch negativ sein, wenn es sich um Druckspannungen handelt.

(20)

Gestaltänderungsarbeit und Dehnungsarbeit

Die Formänderungsarbeit besteht aus Dehnungsarbeit (Volumenänderung) und Gestaltänderungs- arbeit (Verzerrung).

(208)

m 2

) 2 m ( 3 E

' w '

2 D

⋅ −

=σ

σ Dehnungsarbeit

(208.1)

) 2 m ( 3

1 e m

G

w_D ²

−

⋅ +

⋅

ε =

(209.1) ^wG_ε =−²^G⋅

(

ε1^'ε2^'+ε1^'ε3^'+ε2^'ε3^'

)

Gestaltänderungsarbeit (209.2) ^w^G^ε ⁼⁺^G₃^⋅

[ (

^ε¹^'⁻^ε²^'

) (

² ⁺ ^ε¹^'⁻^ε³^'

) (

²⁺ ^ε²^'⁻^ε³^'

)

²

]

(209.3) ^w^G^σ ⁼₁₂¹_G^⋅

[ (

^σ¹^'⁻^σ²^'

) (

²⁺ ^σ¹^'⁻^σ³^'

) (

²⁺ ^σ²^'⁻^σ³^'

)

²

]

( ) ( ) ( )

[

¹ ² ² ¹ ³ ² ² ³ ²

]

G ' ' ' ' ' '

m E 6

1

w m ⋅ σ −σ + σ −σ + σ −σ

⋅

= +

σ

Überlagerung von Dehnungs- und Gestaltänderungsarbeit zur Formänderungsarbeit

(206.3) {

{ ( ) }













ε ε + ε ε + ε ε

⋅

−

− +

⋅ +

⋅

=

−

ε 1444442444443

4 4 3 4 4 2

1 Gestaltänderungsarbeit

3 2 3 1 2 1 beit

Dehnungsar 2

arbeit Formänd

' ' ' ' ' ' ) 2

2 m ( 3

1 e m

G w

(206.4) ^w^ε ⁼^G₃^⋅_^^e²^⋅_m^m₋⁺₂¹⁺

{ (

^ε¹⁻^ε²

) (

²⁺ ^ε¹⁻^ε³

) (

²⁺ ^ε²⁻^ε³

)

²

}

_^

(206.5) ^w^σ ⁼ ₆_⋅_E¹_⋅_m^⋅

[

⁽^m⁻²⁾^⋅⁽^σ¹⁺^σ²⁺^σ³⁾²⁺⁽^m⁺¹⁾^⋅

{ (

^σ¹⁻^σ²

) (

²⁺ ^σ¹⁻^σ³

) (

² ⁺ ^σ² ⁻^σ³

)

²

} ]

(21)

Festigkeitshypothesen (Bruchhypothesen, Anstrengungshypothesen)

σv= Vergleichsspannung 

 



σ ≤σ = s Re zul v

Theorie 1: Vergleich der größten Normalspannung (bei Versagen durch Trennbruch).

(210) σ_v =σ₁

Theorie 2: Vergleich der größten Dehnung zwischen zwei Punkten.

(211)

m m

3 2 1 v

−σ

− σ σ

= σ

Theorie 3: Vergleich der größten Schubspannung (bei Versagen durch Gleitbruch).

(212) σ_v =σ₁−σ₃

Theorie 4: Vergleich der Formänderungsarbeit

(213)

( ) (

1 2 1 3 2 3

)

2 3 2 1

v m

) 1 m (

2⋅ + σ ⋅σ +σ ⋅σ +σ ⋅σ

− σ + σ + σ

=

σ oder

( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

{

¹ ² ³ ² ¹ ² ² ¹ ³ ² ² ³ ²

}

v (m 2) (m 1)

m 3

1 ⋅ − σ +σ +σ + + ⋅ σ −σ + σ −σ + σ −σ

= σ

Theorie 5: Vergleich der Gestaltändänderungsarbeit (214) 2

[ (

¹ ²

) (

² ¹ ³

) (

² ² ³

)

²

]

1

v = ⋅ σ −σ + σ −σ + σ −σ

σ

Festigkeitshypothesen bei Wellen

Theorie 1:

(210.1) w²

2 w w 2 w

1 1 ) (

v = σ = ⋅(σ + σ + σ +4τ

σ _σ

Theorie 2:

(211.1) 

σ ⋅ − + σ + τ ⋅ +

⋅

= σ _ε

m 1 4 m

m 1

w m w²

2 2 w

1 ) ( v

(211.2) σ_v₍_ε₎ =0,35⋅σ_w +0,65⋅ σ_w²+4τ_w² Theorie 3:

(212.1) σ_v₍_τ₎ = σ_w²+4τ_w² Theorie 4:

) 1 m (

2 +

(22)

6. Allgemeine Biegung

6.1 Die Biegebeanspruchung

Allgemeines

Angreifende Belstungen an einem Balken können sein:

• Einzellasten Fi, A und B

• Streckenlasten q(x)

• Freie Momente Mi

Iäq = äquatoriales Trägheitsmoment = Flächenträgheitsmoment = äq. Flächenmoment 2. Grades (215.1)

∑

^z² ^⋅^dA ⁼

∫

^z²^⋅^dA ⁼^I^äq η = Abstand von neutraler Faser (215)

äq b

i M ⋅η

=

σ ;

äq max b

max I

M ⋅η

=

σ Biegespannung

Errechnung von Flächenträgheitsmomenten Rechtecksfläche

(216.1)

12 h I b

3 äq

= ⋅ äquatoriales Trägheitsmoment

(216.2)

b h W b

2 äq

= ⋅ (nur für Vollquerschnitt) äquatoriales Widerstandsmoment

(216)

3 2 1 43

42 1

hnitt Vollquersc

nur äq b

hnitt Hohlquersc

auch äq

max b

max W

M I

M ⋅η =

= σ

Kreisquerschnitt (217.1)

64 I d

4 äq

π

= ⋅ äquatoriales Trägheitsmoment

(217.2)

32 W d

3 b

⋅

= π (nur für Vollquerschnitt) äquatoriales Widerstandsmoment

(217)

{

hnitt Vollquersc

nur b b

hnitt Hohlquersc

auch äq

max b

max W

M I

M ⋅η =

= σ

43 42 1

Hohler Kreisquerschnitt

(217.3) = = − ⋅π

64 d I d

I

4 i 4 a zz y y

(217.4)

64 ) d d (

2 M d I

M

4 i 4 a

a b äq

max b

max − ⋅π

= ⋅ η

= ⋅ σ

(23)

Umrechnung von Flächenträgheitsmomenten auf parallele Achsen (Steiner’scher Satz) (218) IBB =Iäq*=IäqSchwerachse+a² ⋅A

Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen

Flächenträgheitsmomente mit gleicher Bezugsachse dürfen addiert werden.

Das äquatoriale Trägheitsmoment eines fehlenden Flächenteils darf von dem Iäq der Gesamtfläche abgezogen werden, fall gleiche Bezugsachse vorliegt.

Widerstandsmomente dagegen, dürfen nicht addiert werden.

Der Krümmungsradius (219)

äq b

I E K M 1

= ⋅

ρ = ρ = Krümmungsradius, K = Krümmung

6.2 Allgemeine Balkenbiegung

(220)

(

¹^y^y^'^'^'²

)

²³

K 1 ⋅

= +

= ρ Krümmung

(221) K=−y''

(222)

( )

dx ) x ( M ) d x (

Q = −

(223)

dx ) x ( ) dQ x (

q =

Allgemeine Biegeformeln

(224) q(x)

dx y I d E y I

E ₄

4 äq IV

äq⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

(225) Q(x)

dx y I d E ' ' ' y I

E ₃

3 äq

äq⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

(226) M(x)

dx y I d E ' ' y I

E ₂

2 äq

äq⋅ = ⋅ ⋅ =−

⋅

(227) dy M(x)dx

I E ' y I

E^⋅ ^⋅ ⁼ ^⋅ ^⋅ ⁼ ⁻

∫

a

B B

z

y

A

(24)

y l/2

l

F x

A B

Einzellast in der Mitte

Symmetrie:

A = B = 2 F

(229)











− + ⋅

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

l x 4 3 l x I

E 12

l

y F ₃

3 äq 3

Biegelinie

(229.1)











− +

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

4 1 l x I

E 4

l ' F

y ₂

2 äq 2

Neigung

(229.2)

äq 2

I E 16

l ) F 0 ( '

y ⋅ ⋅

= ⋅ Neigung bei x = 0

(229.3)

äq 3

I E 48

l f F

⋅

= ⋅ Maximale Durchbiegung

Konstante Streckenlast q0

Symmetrie:

A = B = 2

l q₀ ⋅

(230)











 − +

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

l x l 2x l x I E 24

l

y q ₃

3 4

4 äq 4

0 Biegelinie

(230.1)

äq 4 0 äq

4 0

I E

l q 384

5 I

E l q 24 16 f 5

⋅

⋅ ⋅

⋅ =

⋅ ⋅

= ⋅ Maximale Durchbiegung

(230.2)











 +

⋅

− ⋅

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

4 1 l 2

x 3 l x I E 6

l ' q

y ₂

2 3

3 äq 3

0 Neigung

(230.3)

äq 3 0

I E 24

l ) q

0 ( '

y ⋅ ⋅

= ⋅ wegen Symmetrie:

äq 3 0

I E 24

l ) q

l ( '

y ⋅ ⋅

− ⋅

= Neigung

(230.4)











− +

⋅ ⋅

= l

x l x 2

l ) q x (

M ₂

2 2

0 Biegemoment (wie 31.1)

(230.5) 

 −

⋅

= 2

1 l l x q ) x (

Q 0 Querkraft (wie 31.2)

F^q

q⁰ x l

y A B

(25)

Unsymmetrische Einzellast

A = F l b⋅

B = F l a ⋅

(231)











 −

+ + ⋅

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅ ⋅

⋅

= ⋅ ₃

3 3

3 äq

3

l ) a x ( l x l

b l l b l a l x l b I

E 6

l

y F Biegelinie

(231.1)











− ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + −

⋅ ⋅

⋅

= ⋅ ₂² ₂ ²

äq 2

l ) a x ( l

b l l b l a 3 1 l x l b I

E 2

l ' F

y Neigung

Sonderfall: mittige Einzellast (231.2)











 



 

 −

⋅ +

−

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

3 3

3 äq 3

2 1 l 2 x l x 4 3 l x I

E 12

l ' F

y wie (229)

Lastmoment bei x=a

A = l

−M

B = l M

(232)











 



 



⋅ −

−











 − ⋅ + ⋅

⋅ +

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

2 2

2 3

3 äq 2

l a 3 x l 3 a l 6 a l 2 x l x I E 6

l

y M Biegelinie

(232.1)











 − ⋅ −









 − ⋅ + +

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

l a 2 x l a l 2 a 3 2 l x I E 2

l ' M

y ₂

2 2

2 äq

Neigung y

l

A B

a

F b

x

M

l A

a

x

B

y

(26)

Zwei gleiche entgegengesetzt gerichtete Momente an den Stabenden

B

A M

Mr r

= A = 0 B = 0

(233)

M M

y

A B