Seminar über

Seminar über

„Grundlegende Experimente der Elementarteilchenphysik“

WS 2002/2003

Vortragsthema: Nachweis der Quarks Von: Gordon Kaußen

Betreuer: Prof. Dr. G. Flügge

14.01.2003

2

Einführung

• In der Teilchenphysik werden typischerweise Streuexperimente durchgeführt.

• Mit Hilfe geeigneter Detektoren werden dabei die Eigenschaften der Teilchen wie Energie, Impuls oder Ladung analysiert.

• Aufgrund der hohen Teilchenenergien können sehr kleine Strukturen aufgelöst werden.

• In diesem Vortrag werden die Konstituenten der Nukleonen, die sogenannten Partonen, genauer betrachtet.

• Hierbei spielen die Tief-inelastische Elektron-Proton-Streuung und die entsprechenden Experimente am SLAC und bei HERA eine wichtige Rolle.

Wirkungsquerschnitte

Eine wichtige Messgröße bei Streuexperimenten ist der Wirkungsquer- schnitt:

Je nach betrachteten Teilchen nimmt er unterschiedliche Formen an:

1. Projektil und Target sind punktförmig, haben keinen Spin und das Target ruht Rutherford-Streuformel:

2. Das Elektron ist ein Spin ½ Teilchen und das Proton besitzt eine endliche Masse M Mott-Gleichung:

uß Teilchenfl er

einfallend

Teilchen gestreuten

d Raumwinkel den

in Winkel dem

unter der

Fluß Ω

= θ

σ d

sin 2 4 ₀^{2 4}

2

θ α σ

d p d

Ruth

 =



 



 Ω

( ) ( )

sin 2 2

1

cos 2 sin 2

2 1

cos 2 sin 2

4 ₀ ²

2

2 0

2

4 2 0

2

θ σ θ

θ θ

α θ σ

M d p

d M

p d p

d

Ruth

Mott  ⋅ +



 





= Ω +

⋅

 =



 



 Ω

4

3. Das Elektron hat einen Spin und das Proton hat einen Spin Dirac-Wirkungsquerschnitt:

wobei hier ist.

4. Das Proton ist kein punktförmiges Teilchen und hat ein anomales magnetisches Moment Rosenbluth-Gleichung:

Die Struktur des Protons wird jetzt durch die beiden Formfaktoren G_E und G_M beschrieben.





 +



 





= Ω



 





Ω sin 2

2

cos 2 ²

2 2

2θ θ

σ σ

M q d

d d

d

Ruth Dirac

( ) _^

 +



 



= 



 



 Ω

sin 2 2

2 1 sin

4 ₀^{2 4} ₀ ²

2

θ θ α

σ

M p d p

d

Ruth

( )

( )





 + ⋅





+

 +



 





= Ω



 





Ω 2 tan 2

4 4

1

4 _{2 2}

2 2 2

2

2 2 2

2 θ

σ σ

M M

E Mott

Rosen

M G q M

q

G M q

G d

d d

d

5

Elastische e ^- -p-Streuung

Der Viererimpulsübertrag q vom Elektron auf das Proton ist klein!

Seien und die Viererimpulse von Elektron bzw. Proton vor der Streuung und bzw. die Viererimpulse nach der Streuung. Dann ergibt sich für den Viererimpulsübertrag q:

p₁e p₁^p

p₂e p₂^p

( ) ( ) ( )

(

)

2 2

2 1 2

2 1 2

2 1 2

2 2 1

2

0 E M

p

E E

p p

p p

p p

q

p p

p p p

p p p

e e

−

 −

 

 −

=

−

 −

 

 −

=

−

=

−

=

6

Mit dem Energieübertrag vom Elektron auf das Proton und der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung

folgt schließlich:

bei elastischer Streuung!

Anmerkung: Allgemein gilt für q²

M E

E

E

−

=

−

=

ν

2 2 2

2

2 p

p p

E

M = −

( ^{ν M} ) ^{M M M ν M M M ν}

M M

E M

M E E

M E

q

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

=

− +

=

− +

=

−

=

− +

−

−

=

ν M q

= 2

⇒

sin 2 4

) cos 1

( 2

2 cos

2 2

cos 2

2

2 2

) (

) (

) (

2 2

1 2

1

2 1 2

1 2

2 1 1

2

2 2

1 2

1 2

2 2 1

2 2 1

2 2 1

2

θ θ

θ θ

e e e

e

e e e

e e

e e e

e e e

e e e e

e e e

E E E

E

E E E

E E

E p

p m

m E

E p

p m

E E

p p

p p

q

=

−

=

+

−

≈ +

⋅

⋅

−

−

=

− +

−

−

=

−

−

−

=

−

=

Tief-inelastische e ^- -p-Streuung

Die Energie des einfallenden Elektrons und damit auch der Viererimpuls- übertrag sind groß!

Sei nun der Dreierimpuls, E^* die Energie und W die invariante Masse des hadronischen Endzustandes. Dann ergibt sich für den Viererimpuls- übertrag q:

*

p

(

)

(

)

2 1 2 *

0 E M

p E

E p

p

q

  − −

  −

=

−

 −

 

 −

=

8

Mit und erhält man sofort:

bei inelastischer Streuung!

Die Gleichungen zur elastischen bzw. inelastischen Streuung können im Rosenbluth-Diagramm dargestellt werden:

M E −

= ^*

ν W ² = E^*2 − p^*2

( )

2 2

* 2

2 *

* 2 2

* 2

2 2

2 2

M W

M M

W M

M

M W

M E M

M E E

W E

q

+

−

=

−

− +

=

−

−

=

− +

−

−

=

ν ν

2 2

2

2 M W M

q = − +

⇒ ν

Die Variable x ist durch das Verhältnis , 0 < x < 1 , definiert.

ν M x q

2

= 2

10

• Für kleine Viererimpulsüber- träge q beobachtet man eine starke Überhöhung des Wir- kungsquerschnittes bei

• Bei größeren Werten des Energieübertrags , also bei kleinerem E´, findet man ein breites Maximum in der Re- gion

• Für freie Nukleonen würde man eine scharfe Spitze bei

sehen

Vergleich von e ^- -p- und e ^- -Kern-Streuung

MKern

E q E

E 2

2

´ = −ν = −

Nukleon

M q 2

≅ 2

ν

Nukleon

M q 2

= 2

ν

ν

• Bei kleinen q² (großes E^`) beobachtet man einen elastischen Peak bei

• Mit zunehmendem q² erscheinen weitere Maxima, die den Proton- resonanzen entsprechen

• Steigert man q² weiter, so erhält man schließlich ein Kontinuum, was ein Hinweis für die Streuung an Konstituenten des Protons ist

M q 2

= 2

ν

12

Zur Erinnerung

∫

= e f r d r q

F ^qr

i 3

2) ( )

(

. 1

) ( )

(q² e r d³r const

F ^qr

i ⋅ = =

=

∫

Formfaktor F=F(q²) ist Fouriertransformierte der Ladungsverteilung f(r):

Sonderfall einer punktförmigen Ladungsverteilung Fourier-Transformierte:

Ladungsverteilung ergibt sich durch Rücktransformation aus Formfaktor:

q d q F e

r

f ^qr

i 2 3

3 ( )

) 2 ( ) 1

( = _π

∫

) ( )

(r r

f = δ

Das Partonmodell

Der Wirkungsquerschnitt für die Tief-inelastische Elektron-Proton- Streuung kann als Funktion von q² und geschrieben werden als:

Nun werden folgende Größen eingeführt:

, , , ,

Damit wird die obere Gleichung zu:

( ) ( ) _ ^

  +

= 2 , sin 2

cos 2

4 ,

1 2

2 2

´ 4

2 2

2

πα ν θ ν θ

ν

σ W q W q

EM E q

d dq

d

( ) ( )

1 q W q

F =

( ) ( )

M q q W

F₂ ^2,ν = ν ^{2 2,}ν

y ₌ νE

E y

E =1−

´

MExy q

= 2

( ) ( )

 +

= 2 , sin 2

cos 2

4 , _{2 2}

1 2

2 2

´ 4

2 2

2 ν θ ν ν θ

ν πα

ν

σ F q

q M E F

E q

d dq

d

ν

14

Mit den Beziehungen und erhält man schließlich:

Nach der Bjorkenschen Hypothese der Skaleninvarianz gilt nun:

Wenn eine Funktion im Grenzfall und endlich bleibt, kann sie nur von dem dimensionslosen Verhältnis der beiden Größen abhängen.

Anders ausgedrückt: Wenn die Elektron-Parton-Streuung eine punkt- förmige Wechselwirkung ist, dann können F₁ und F₂ nicht von q² ab- hängen, sondern sind lediglich Funktionen von x.

Wie wir später sehen werden, wurde diese Vorhersage in SLAC-Experi- menten bestätigt.

4 1 2 1

cos _´

2

2 = − ≅

EE θ q

x dx d =

ν ν

( ) ( ) ( )



 



 − +

= x

q x y xF

x q x y F

q dx

dq

d ₂ ^{2 2} ₁ ²

4 2 2

2 2 ,

2 1 ,

4

πα σ

∞

→

q2 ν → ∞

ν M x q

2

= 2

) , (^q2 ν F

Eine physikalische Erklärung der Skaleninvarianz wird durch Feynmans Parton-Modell gegeben:

Im „infinite momentum frame“ gilt: P=(p,iE)=(p,0,0,ip)

Für den Viererimpuls eines Partons der Masse m, das an einem Elektron gestreut worden ist, folgt:

( )

0 2

0

2 2

2

2 2

≅ +

+

⇒

≅

−

= +

xPq q

P x

m q

xP

16

Für erhält man:

Das invariante Vierer-Skalarprodukt Pq wurde dabei im Laborsystem aus- gewertet, d.h. P=(0,0,0,iM) und .

Für ein hypothetisches im Laborsystem ruhendes Parton der Masse m wäre bei elastischer Streuung , so daß sich im Grenzfall für x ergibt:

Im Laborsystem gibt x also den Bruchteil der Protonenmasse M an, der effektiv von einem Parton getragen wird.

2 2

2 2

2P x M q

x = − <<

ν M q Pq

x q

2 2

2 2

=

= −

ν m

q² = 2 q² >> M ²

M m M

m M

x = q = = ν ν ν ²

2 2

2

) , (^{q i}ν q =

Das SLAC-Experiment

18

20

Ergebnis

22

Spin der Partonen

Um den Spin der Partonen zu bestimmen, wird der Wirkungsquerschnitt für die Tief-inelastische Elektron-Proton-Streuung mit dem Dirac-Wir- kungsquerschnitt für die Streuung punktförmiger Spin-½ Teilchen der Ladung ze und der Masse m verglichen.

• Dirac:

• Inelastisch:

Vergleich der Koeffizienten von und liefert unter Ver- wendung von die sogenannte Callan-Gross-Relation:





 +

 

= 





sin 2 2

cos 2

4 ₂

2 2 2

´ 2 4

2 2 2

θ θ

πα σ

m q E

E q

z dq

d

Dirac

( ) ( )

x x x xF

M x q

E F E q

dx dq

d

h inelastisc

1 sin 2

2 2 cos 2

4 ₂

2 1 2 2 2

2

´ 4

2 2

2





+

 =

 

 σ πα θ θ

2 2

2 x M

m =

( ) ( )

2

2

1 =

x F

x xF

( )

cos² θ ^sin2

( )

Dieses vorhergesagte Verhältnis wurde in Experimenten bestätigt:

24

Ladung der Partonen

Betrachtet man die Gleichung von Seite 14 für den Grenzfall , das bedeutet für den Streuwinkel , so erhält man:

Wenn das Proton aus u-, d- und s-Quarks besteht, ergibt sich für die Struk- turfunktion F₂ der Elektron-Proton-Streuung:

Die Strukturfunktion für die Elektron-Neutron-Streuung erhält man aus der obigen Gleichung, indem man die Symbole u durch d und durch ersetzt:

→ 0 y

→ 0

θ

( )

∫

= x

dx x F

q dq

d ₂^eN

4 2 2

4πα σ

( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]







 + + + + +

=

=

∑

x F

i

i i ep

9 1 9

) 4

2 (

2

u d

( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]







 + + + + +

= x d x d x u x u x s x s x

x F^en

9 1 9

4

2

Allgemein folgt für die Strukturfunktion der Elektron-Nukleon-Streuung aus dem Mittelwert von und :

Aus ähnlichen Überlegungen erhält man für die Strukturfunktion der Neutrino-Nukleon-Streuung:

Durch Einsetzen der unteren in die obere Gleichung findet man schließ- lich die Beziehung:

Messungen der Strukturfunktionen und lieferten die folgen- den Ergebnisse:

F

F

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ^{( ) ( )} ]







 + + + + +

= x u x u x d x d x s x s x

x F^eN

9 1 18

5

2

( )

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

F₂^νN = + + +

( )

( )

F₂^N ₂^eN 5

≤ 18

ν

F₂^νN ¹⁸₅ F₂^eN

26

Man erwartet nun notwendigerweise, daß die Summe der Impulsanteile über alle Konstituenten gleich Eins ist, d.h.

Eine experimentelle Bestimmung der Integrale lieferte jedoch als Ergeb- nis:

Die Partonen, die verantwortlich für die Streuung der Elektronen sind, tragen also nur ungefähr die Hälfte der Nukleonenmasse.

Gluonen werden als weitere Konstituenten postuliert!

Wie sich die Strukturfunktion des Protons mit seinem Quarkinhalt verän- dert, wird in der folgenden Übersicht klar:

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

∫

∫

∫

5 18

2

2 x dx F x dx u x u x d x d x xdx

F^{eN νN}

( ) ( )

∫

∫

5 18

2

2 x dx F x dx

F^{eN νN}

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Experimente bei HERA

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32

Skalenverletzung