1 Die Determinante

1 Die Determinante

Definition 1 Sei π ein Element aus der symmetrischen Gruppe Sn der Per- mutationen aller nat¨urlichen Zahlen von1 bisn.

a) Ein Fehlstand vonπist ein Paar(i, j)mit1≤i < j≤nundπ(i)> π(j).

Mitn(π)bezeichnet man die Anzahl der Fehlst¨ande vonπ.

b) Das Signum vonπist definiert als

sgn(π) =Y

i<j

π(i)−π(j) i−j .

c) Eine Permutation, die nur zwei Zahlen i und j vertauscht, heißt Trans- position. Man schreibt daf¨ur (ij).

Man sieht leicht, dass (1,2) der einzige Fehlstand der Transposition (12) ist.

Satz 1 Seienπ, σ in S_n und n≥2. Dann gilt:

a) Jede Permutation inSn ist Produkt von h¨ochstensn−1Transpositionen.

b) Es ist π(12)π⁻¹= (π(1)π(2)). Also sind alle Transpositionen zur Trans- position(12)konjugiert.

c) sgn(πσ) =sgn(π)sgn(σ), also insbesonderesgn(id) = 1und sgn(π⁻¹) = (sgn(π))⁻¹.

d) sgn(π) = (−1)^n(π). Also ist sgn((12)) =−1 =sgn(τ)f¨ur jede Transposi- tionτ.

Beweis: a) F¨ur n= 2 ist die Aussage klar. Im Induktionsschritt fassen wir die Permutationen, die n auf sich abbilden, als Elemente der Gruppe S_n−1 der Permutationen von 1,2, . . . , n−1 auf. Falls π(n) = n gilt ist also π per Induktion Produkt von h¨ochstensn−2 Transpositionen, die allen fest lassen.

F¨ur π(n)6= n betrachten wir π⁰ = (π(n)n)π. Dann gilt π⁰(n) = n und π⁰ ist Produkt von h¨ochstensn−2 Transpositionen, alsoπ= (π(n)n)π⁰ Produkt von h¨ochtensn−1.

b) Man rechnet nach, dass die Abbildungenπ(12)π⁻¹und (π(1)π(2)) gleich sind. Der Rest folgt, weil man die zweielementige Menge{1,2}mit einer geeig- neten Permutation in jede zweielementige Menge{i, j}uberf¨¨ uhren kann.

c) Der Ausdruck ^π(i)_i⁻₋^π(j)_j h¨angt nur von der Menge {i, j} ab und nicht von der Reihenfolge voniund j. Also istsgn(π) =Q

{i,j}π(i)−π(j)

i−j , wobei das Produkt ¨uber alle zweielementigen Teilmengen von {1,2, . . . , n} l¨auft. Daraus folgt sofort

sgn(πσ) = Y

{i,j}

πσ(i)−πσ(j)

i−j = Y

{i,j}

πσ(i)−πσ(j) σ(i)−σ(j)

σ(i)−σ(j) i−j

= Y

{i,j}

πσ(i)−πσ(j) σ(i)−σ(j)

Y

{i,j}

σ(i)−σ(j)

i−j =sgn(π)sgn(σ).

Durchl¨auft n¨amlich{i, j}alle zweielementigen Teilmengen, so auch{σ(i), σ(j)}, weshalb sgn(π) =Q

{i,j}πσ(i)−πσ(j)

σ(i)−σ(j) gilt. Der Rest von c) folgt leicht daraus, dasssgnein Gruppenhomomorphismus vonS_nin die multiplikative Gruppe von Qist.

d) Bis auf das Vorzeichen stehen in Z¨ahler und Nenner der Definition von sgn(π) die gleichen Zahlen. Im Nenner sind alle positiv, im Z¨ahler geraden(π) negative. Dies impliziert die erste Aussage von d). Der Rest folgt, da alle Trans- positionen konjugiert sind.

Das Bild vonsgnist also die multiplikative Gruppe{+1,−1}.

Definition 2 Die alternierende Gruppe An ist die Menge der Permutationen inSn mitsgn(π) = 1. Eine Permutation aus An heißt gerade Permutation.

Lemma 1 a) An ist eine Untergruppe vonSn mit ^n!₂ Elementen f¨urn≥2.

b) πist eine gerade Permutation genau dann, wennπProdukt einer geraden Anzahl von Transpositionen ist.

c) F¨ur jede Transposition τ ist S_n die disjunkte Vereinigung von A_n und A_nτ.

Der Beweis ist eine einfache ¨Ubung.

Definition 3 SeiRein beliebiger kommutativer Ring. Matrizen mit Koeffizien- ten inRund deren Produkte werden analog zum Fall eines K¨orpers definiert. Ei- ne MatrixA∈R^n×nfassen wir im folgenden auf als einn-Tupel(v1, v2, . . . , vn) von ’Spaltenvektoren’vi∈Rⁿ. Eine Funktion

f :R^n×n−→R, die(v1, v2, . . . , vn)auf f(v1, v2, . . . , vn)abbildet, heißt

a) multilinear ( in den Spalten ), falls f¨ur alle Indizesi, aller, r⁰ ausR und alle Spalten v1, v2, . . . , vi, v_i⁰, . . . , vn gilt

f(v₁, . . . , rv_i+r⁰v⁰_i, . . . , v_n) =rf(v₁, . . . , v_i, . . . , v_n)+r⁰f(v₁, . . . , v⁰_i, . . . , v_n)

b) alternierend ( in den Spalten ), fallsf(v₁, v₂, . . . , v_n) = 0 gilt, sobald zwei der Spalten gleich sind

c) normiert, fallsf(En) = 1 gilt.

Wir wollen zun¨achst ein paar einfache Konsequenzen aus dieser Definition zie- hen.

Lemma 2 Seif :R^n×n −→R multilinear und alternierend. Dann gilt:

a) f(v1, v2, . . . vi, . . . , vj, . . . , vn) =−f(v1, v2, . . . vj, . . . , vi, . . . , vn), d.h.f¨andert beim Vertauschen von zwei Spalten das Vorzeichen.

b) Istπeine Permutation, so giltf(vπ(1), vπ(2), . . . , vπ(n)) =sgn(π)f(v1, v2, . . . , vn).

c) f(v₁, v₂, . . . , v_i+rv_j, . . . , v_j, . . . , v_n) = f(v₁, v₂, . . . v_i, . . . , v_j, . . . , v_n) f¨ur beliebige i 6=j und r ∈R. Der Wert von f ¨andert sich also nicht, wenn man zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte hinzuz¨ahlt.

d) f(A) =f(En)P

π∈Snsgn(π)a_π(1)1a_π(2)2· · ·a_π(n)n. Beweis: a) Es ist

0 =f(v1, v2, . . . vi+vj, . . . , vi+vj, . . . , vn)

=f(v1, v2, . . . vi, . . . , vi+vj, . . . , vn) +f(v1, v2, . . . vj, . . . , vi+vj, . . . , vn)

=f(v₁, v₂, . . . v_i, . . . , v_j, . . . , v_n) +f(v₁, v₂, . . . v_j, . . . , v_i, . . . , v_n).

b) Das ergibt sich per Induktion aus den Tatsachen, dass jede Permutation Produkt von Transpositionen ist undsgnein Homomorphismus ist.

c) Das ergibt sich direkt aus der Linearit¨at in deriten Spalte und der Alter- niertheit.

d) Die erste Spalte istPn

j1=1a_j11e_j1. Also folgt per Linearit¨at in der ersten Spalte

f(A) = Xn

j₁=1

a_j11f(e_j1, A_•2, . . . , A_•n).

Setzt man nun f¨ur die zweite Spalte A_•2 =Pn

j2=1a_j21e_j2 ein und benutzt die Linearit¨at in der zweiten Spalte, so folgt

f(A) = Xn

j₁=1

Xn

j₂=1

aj11aj22f(ej1, ej2, A_•3, . . . , A_•n).

Induktiv folgt

f(A) =X

aj₁1aj₂2· · ·aj_nnf(ej₁, ej₂, . . . , ej_n).

Dabei l¨auft die Summe ¨uber alle Indizes j_k unabh¨angig voneinander von 1 bis n. Sind aber zwei Indizes gleich, so istf(e_j1, e_j2, . . . , e_jn) = 0 wegen der Alter- niertheit. Also l¨auft die Summe nur ¨uber die n-Tupel (j₁, j₂, . . . , j_n), die eine Permutationπliefern. Nach b) gilt sgn(π) =f(e_j1, . . . , e_jn).

Satz 2 Es gibt genau eine multilineare alternierende normierte Funktion f :R^n×n−→R,

die ( n-reihige ) Determinantedetn. Dabei gilt die Leibniz-Formel detn(A) = X

π∈Sn

sgn(π)a_π(1)1a_π(2)2· · ·a_π(n)n.

Beweis: Die Eindeutigkeit und die Leibniz-Formel sind klar nach Teil d) des voranstehenden Lemmas. Die Normiertheit ist evident und die Linearit¨at in jeder Spalte eine einfache Rechnung.

Sei alsoA_•i=A_•j mit i6=j. F¨ur die Transposition τ= (ij) gilt dann nach Lemma 1

det_n(A) = X

π∈A_n

(a_π(1)1a_π(2)2· · ·a_π(n)n−a_(πτ)(1)1a_(πτ)(2)2· · ·a_(πτ)(n)n).

Nun ista_π(k)k =a_(πτ)(k)k f¨ur alle voni undj verschiedenen Indizesk. Weiter ist wegen der Gleichheit der Spalten mit Indizesiundj aucha_π(j)j=a_(πτ)(i)i unda_π(i)i =a_(πτ)(j)j. Somit sind alle Summanden Null.

Satz 3 F¨ur jede Matrix Agilt detn(A) =detn(A^T). Also ist die Determinante auch multilinear und alternierend in den Zeilen der Matrix.

Beweis:

det_n(A) = X

π∈S_n

sgn(π)a_π(1)1a_π(2)2· · ·a_π(n)n = X

π∈S_n

sgn(π)a_1π−1(1)a_2π−1(2)· · ·a_nπ−1(n)

= X

π∈S_n

sgn(π⁻¹)a_1π−1(1)a_2π−1(2)· · ·a_nπ−1(n)=det_n(A^T).

Dabei benutzt man der Reihe nach, dassa_π(1)1a_π(2)2· · ·a_π(n)n=a_1π−1(1)a_2π−1(2)· · ·a_nπ−1(n), dassπund π⁻¹ gleiches Signum haben und dass π⁻¹ mitπ die ganze Gruppe

durchl¨auft.

Der n¨achste Satz heißt Determinantenmultiplikationssatz.

Satz 4 F¨ur alleA, B∈R^n×n gilt detn(AB) =detn(A)detn(B).

Beweis: F¨ur festesAweist man leicht nach, dass die Abbildungf :R^n×n→ R mit f(B) = detn(AB) multilinear und alternierend ist. Nach Teil d) von Lemma folgt die Behauptung.

Definition 4 F¨urA∈R^n×n und Indizesi, j zwischen1 undnseiA^ij die Ma- trix inR^{(n−1)×(n−1)}, die durch Wegstreichen deri-ten Zeile undj-ten Spalte aus Aentsteht. Die Adjunkte A˜zu Aist definiert durch A˜_ij = (−1)^i+jdet_n−1(A^ji).

Satz 5 ( Laplacescher Entwicklungssatz ) F¨ur jedesAinR^n×n und alle Indizes i, j gilt:

a) detn(A) =Pn

i=1aij(−1)^i+jdetn−1(A^ij) ( Entwicklung nach Spaltej ).

b) detn(A) =Pn

j=1aij(−1)^i+jdetn−1(A^ij)( Entwicklung nach Zeilei ).

Beweis: Wir beweisen nur die Spaltenentwicklung; die Zeilenentwicklung zeigt man analog.

Es istA_•j =Pn

i=1aijei, also detn(A) =

Xn

i=1

aijdetn(A_•1, A_•2, . . . , A_•j−1, ei, A_•j+1, . . . , A_•n).

In der Matrix (A_•1, A_•2, . . . , A_•j−1, ei, A_•j+1, . . . , A_•n) kann man noch durch Spaltentransformationen alle Eintr¨age in der i-ten Zeile außerhalb der j-ten Spalte annullieren ohne die Determinante zu ¨andern. Danach ¨uberf¨uhrt man die erhaltene Matrix durch i−1 Zeilen und j−1 Spaltenvertauschungen in BlockdiagonalformB mit einer 1 links oben und A^ij rechts unten. Es ist also det_n(A_•1, A_•2, . . . , A_•j−1, e_i, A_•j+1, . . . , A_•n) = (−1)^i+jdet_n(B).

Ist nun f¨ur eine beliebige MatrixCinR^{(n−1)×(n−1)}die erweiterte MatrixC⁰ die Blockdiagonalmatrix mit einer 1 links oben undC rechts unten, so ist die AbbildungC7→detn(C⁰) offenbar multilinear, alternierend und normiert. Also giltdetn(C⁰) =detn−1(C) und insbesonderedetn(B) =detn−1A^ij.

Satz 6 F¨ur A∈R^n×n gilt AA˜= ˜AA=detn(A)En.

Beweis: SetzeB = ˜AA. Dann istB_jj=det_n(A) wegen der Entwicklung nach Spaltej. UmBij = 0 zu zeigen f¨urj6=iersetze man inAdiei-te Spalte durch diej-te. Die erhaltene MatrixA⁰ hat dann Determinante 0 und es ist (A⁰)^kj bis auf Vertauschen von|i−j| −1 Spalten geradeA^ki. Entwicklung vondetn(A⁰) nach Spaltej liefert das Gesuchte.

Die andere Gleichheit zeigt man analog mit Hilfe der Zeilenentwicklung.

Folgerung 1 Genau dann ist A∈R^n×n invertierbar, wenn detn(A)invertier- bar ist inR. Es gilt f¨ur die inverse Matrix die ’Formel’

A⁻¹= (detn(A))⁻¹A.˜

Uber einem K¨¨ orper ist eine Matrix also genau dann invertierbar, wenn die De- terminante der Matrix nicht0 ist.

Beweis: Ist det_n(A) invertierbar, so auch A und es gilt die Formel. Ist um- gekehrt B die inverse Matrix zu A, so folgt 1 = detn(En) = detn(AB) = detn(A)detn(B).

Man erh¨alt daraus eine n¨utzliche Charakterisierung des Ranges einer Matrix.

Satz 7 Sei A∈k^n×n, wobeik ein K¨orper ist. Genau dann ist Rang(A) ≥r, wenn es einer×r-UntermatrixB vonA gibt mit detr(B)6= 0.

Beweis: Sei der Rang ≥r. Dann gibt es Indizes i₁ < i₂ < . . . < i_r, so dass die MatrixCmit den ZeilenA_i1•, . . . , A_ir• den Rangrhat. Daher gibt es Spal- tenindizesj1< . . . < jr, sodass die Matrix B gebildet aus den entsprechenden Spalten vonC den Rangrhat. Also ist die Determinante vonB nicht 0.

Ist umgekehrtB eine invertierbarer×r-Untermatrix, so sind die Zeilen von B linear unabh¨angig, also erst recht die entsprechenden Zeilen vonA.

Schließlich erh¨alt man f¨ur eine invertierbare Matrix noch eine ’Formel’ f¨ur die L¨osung eines linearen Gleichungssystems, die sogenannte Cramersche Regel.

Satz 8 Sei A ∈ R^n×n invertierbar. Dann ist die Gleichung Ax= b f¨ur jedes b ∈ Rⁿ eindeutig l¨osbar und es ist xi·detn(A) die Determinante der Matrix A(i), die ausA entsteht, wenn mann diei-te Spalte durchb ersetzt.

Beweis: Multiplikation vonAx=b mit ˜A und Entwicklung vondetn(A(i)) nach deri-ten Spalte liefert sofort die Behauptung.