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Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Geometrie zu Beginn Q11

Seite 1 von 4

Grundwissen Beispiele

Strahlensatz

Bei ähnlichen Figuren sind die Streckenverhältnisse entsprechender Strecken gleich groß.

V-Figur:

𝐴𝐵

2

̅̅̅̅̅

𝐴𝐵

1

̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐶 ̅̅̅̅̅

2

𝐴𝐶

1

̅̅̅̅̅ = 𝑓 𝑒

X-Figur:

Kreis und Kugel

(2)

Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Geometrie zu Beginn Q11

Seite 2 von 4 Trigonometrie

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wichtige Formeln und besondere Werte

Trigonometrie im Einheitskreis

In einem rechtwinkligen Dreieck sind neben dem rechten Winkel bei C die Längen der Strecken b = 4cm und c = 5cm gegeben (s. nebenan).

Berechne den Winkel α und die Länge der Strecke a.

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑏

𝑐  𝛼 = cos−1(𝑏

𝑐)  𝛼 = cos−1(4

5) = 37°

(Beim Taschenrechner auf DEG-Einstellung achten und für SHIFT sin drücken)

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑎

𝑐  𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼  𝑎 = 5𝑐𝑚 ∙ sin(37°) = 3𝑐𝑚 (Überprüfung mit Satz des Pythagoras)

cos 135°

sin 135°

Sinus und Cosinus am Einheitskreis Der Radius hat also den Wert 1

135°

(3)

Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Geometrie zu Beginn Q11

Seite 3 von 4 Geometrische Körper

Die Oberfläche eines geraden Prismas beträgt 72 cm2. Seine Grundflache ist eine Raute

ABCD mit AC = 4 cm und BD = 3 cm.

Berechne die Höhe des Prismas.

ARaute = 2 ∙1

2∙ 𝐴𝐶̅̅̅̅ ∙1

2𝐵𝐷̅̅̅̅

ARaute = 1

2∙ 4𝑐𝑚 ∙ 3𝑐𝑚 = 6𝑐𝑚2 M = 72cm2 - 26cm2 = 60cm2 M = ℎ ∙ 4 ∙ 𝐴𝐷̅̅̅̅

𝐴𝐷̅̅̅̅2= 𝐷𝑀̅̅̅̅̅2+ 𝐴𝑀̅̅̅̅̅2= (1,5𝑐𝑚)2+ (2𝑐𝑚)2 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 2,5𝑐𝑚

 h = 6cm

Von einer geraden, quadratischen Pyramide sind folgende Größen gegeben:

a = 5cm; h = 6 cm. Berechne die Seitenkante s, sowie M und O.

Berechnung der Diagonalen d der Grundfläche:

𝑑2= 𝑎2+ 𝑎2  d = √2 ∙ 𝑎 = √2 ∙ 5𝑐𝑚 = 7,07𝑐𝑚 Berechnung der Seitenkanten wieder mit Hilfe des Pythagoras:

𝑠2= ℎ2+ (1

2𝑑)2  s2 = (6𝑐𝑚)2+ (5𝑐𝑚

√2𝑐𝑚)2=97

2𝑐𝑚2 s = 6,96cm

Berechnung einer Seitenfläche:

𝑠2= ℎ𝑆2

+ (1

2𝑎)2 ℎ𝑠2= 𝑠2− (1

2𝑎)2  hS =√169

4 𝑐𝑚 =

13 2 𝑐𝑚 ASeitenfläche = 1

2∙ 5𝑐𝑚 ∙13

2𝑐𝑚 =65

4𝑐𝑚2 M = 4ASeitenfläche = 65cm2

O = G + M = 25cm2 + 65cm2 = 90cm2

M

A B C

D

(4)

Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Geometrie zu Beginn Q11

Seite 4 von 4 Satzgruppe des Pythagoras

Höhensatz:

Kathetensätze:

Ein Quader hat die Seitenlangen a = 16 cm; b = 63 cm und c = 72 cm. Berechne die Länge

der Raumdiagonalen.

𝑓2= 𝑎2+ 𝑏2  𝑓 = √(16𝑐𝑚)2+ (63𝑐𝑚)2= 65𝑐𝑚 𝑑2= 𝑓2+ 𝑐2  𝑑 = √(65𝑐𝑚)2+ (72𝑐𝑚)2= 97𝑐𝑚

d

f

a

b c

Referenzen

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