Aufgaben zur Klausur Aerodynamik II

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Aufgaben zur Klausur Aerodynamik II

23. 02. 2016

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Klausur Aerodynamik II

Fragenteil, Traglinientheorie, Kompressible Str¨omung

1

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)∓sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1−cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x)−sin²(x)

• tan(x 2) =

r1−cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1−cos(x)

• sin(x)·sin(nx) =−1

2(cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])

• sin[(n+ 1)x]−sin[(n−1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

•

∞

X

n=1

1

nsin(nϕp)·sin(nϕ) = 1 4ln

1−cos(ϕ_p+ϕ) 1−cos(ϕp−ϕ)

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a− b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X)−2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx=−cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2 − 1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax)

3a −cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx=−sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z π

0

sin(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z _π

0

cos(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

sin(n·ϕ)·sin(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z π

0

cos(n·ϕ⁰)

cos(ϕ)−cos(ϕ⁰)dϕ⁰ =−π·sin(n·ϕ) sin(ϕ)

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a−b)x]

2(a−b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) ∀ |a| 6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (14 Punkte)

1. Nennen Sie vier Anteile des Gesamtwiderstandes eines Tragfl¨ugels endlicher Streckung in schallnaher Str¨omung

2. Welchen Vorteil ergibt die Verwendung eines gepfeilten Fl¨ugels in schallnaher Str¨omung?

3. Zeichnen Sie qualitativ den Widerstandsbeiwert als Funktion der Machzahl 0 ≤ M a ≤ 1 f¨ur ein klassisches Profil und erl¨autern Sie die Begriffe kritische Machzahl und Divergenzmachzahl.

4. Erkl¨aren Sie die Ursache f¨ur die Entstehung des Wellenwiderstandes am Beispiel einer Str¨omung ent- lang einer Wellenoberfla¨che, die durch die Funktiony ≈sin(x) beschrieben wird.

5. Erkl¨aren Sie das Ph¨anomen des Buffets.

6. Leiten Sie anhand einer Skizze der Str¨omung unter einem Anstellwinkel α ¨uber eine Skelettgeometrie, die kinematische Randbedingung der Skeletttheorie her.

7. Geben Sie drei Abl¨oseformen f¨ur eine inkompressible Profilumstr¨omung an und skizzieren Sie diese.

Zeichnen Sie zudem jeweils den zu erwartenden cp-Verlauf entlang der Saugseite.

3

2. Aufgabe: Prandtl‘sche Traglinientheorie (18 Punkte)

Ein sich im station¨aren Reiseflug befindendes Verkehrsflugzeug weißt die folgende Zirkulationsverteilung auf:

Γ (ϕ) = Γ₀ sin (ϕ) 0≤ϕ≤π .

Aufgrund eines mechanischen Defektes kommt es zu einem unsymmetrischen Ausfahren der Landeklappen, sodass sich die folgende Zirkulationsverteilung einstellt:

Γneu(y) = Γ0



 4− 4y

b 2!¹₂

1 +y

b



 mit −b

2 ≤y≤ b 2 .

1. ¨Uberf¨uhren Sie mit Hilfe der Koordinatentransformation y = −^b₂cos (ϕ) die Zirkulationsverteilung Γ_neu(y) in Γ_neu(ϕ) und bestimmen Sie f¨ur beide Flugzust¨ande die KoeffizientenA_nder entsprechenden Fourierreihe

Γ (ϕ) = 2bu∞ N

X

n=1

A_n·sin (nϕ) .

2. Leiten Sie ausgehend vom Fourierreihenansatz die allgemeine Formel f¨ur den Auftriebsbeiwert cL = πΛA1 her.

3. Skizzieren Sie die spannweitige Auftriebsverteilung f¨ur beide Flugzust¨ande in einem Diagramm. Welche Bewegung f¨uhrt das Flugzeug aufgrund der unsymmetrischen Klappenstellung aus?

4. Wie groß ist das durch die ver¨anderte Zirkulationsverteilung erzeugte RollmomentM_x?

5. Bestimmen Sie die induzierte Geschwindigkeit w_i(ϕ) f¨ur den Flugzustand mit ausgefahrenen Lande- klappen.

Gegeben: Γ0 =konst., Fl¨ugelspannweite b,u∞,ρ∞ , Λ.

Hinweise:

wi(y) =− 1 4π

Z ^b

2

−^b₂

dΓ dy⁰

dy⁰ y−y⁰

3. Aufgabe: Kompressible Str¨ omung (18 Punkte)

Ein Doppelkeil mit einem Halb¨offnungswinkel = 14^◦ wird mit Ma₁ = 3.8 unter einem Anstellwinkel von α = 4^◦ in einem Windkanal angestr¨omt.

M₁ 2

3

4 5

α ε

1. Skizzieren Sie sorgf¨altig das am Doppelkeil enstehende System der Stoß- und Expansionswellen. Be- trachten Sie die Zustands¨anderungen an der Hinterkante zun¨achst nicht.

2. Bestimmen Sie unter Anwendung der linearisierten Potentialtheorie den Auftriebskoeffizientenclsowie den Widerstandscoeffizienten c_ddes Profils.

3. Zeichnen Sie die Zustands¨anderungen entlang der Oberseite in der Hodographenebene ein.

4. Bestimmen Sie den Auftriebsbeiwert cl und den Widerstandsbeiwert cd mittels der allgemeinen gas- dynamischen Beziehungen in Abh¨angigkeit der Druckverh¨altnisse _p^pi

1(i = 2,3,4,5) sowie der Winkel und α . Bestimmen Sie alle relevanten Druckverh¨altnisse auf der Oberseite unter Verwendung der beigef¨ugten Diagramme.

Gegeben: α= 4^◦,M a1 = 3.8,= 14^◦,γ = 1.4, ^p_p⁵

1 ≈0.6 Hinweis: c_p=±^{√ 2β}

M a²−1

α 15^◦±2^◦ 20^◦±2^◦ 25^◦±2^◦ 30^◦±2^◦ 35^◦±2^◦

sinα≈ 0.25 0.3 0.4 0.5 0.55

5

7

1. Aufgabe: Fragenteil (14 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. (2 Punkte:)

Druckwiderstand, Reibungswiderstand, induzierter Widerstand, Wellenwiderstand.

2. (1 Punkt:)

Die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Vorderkante ist beider Str¨omung ¨uber einen gestreck- ten, schlanken K¨orper f¨ur die sich ergebende Druckverteilung relevant. Diese Komponente ist bei der Str¨omung ¨uber einen gepfeilten Fl¨ugel geringer als die Anstr¨omung selbst, so dass die Kompressibili- t¨atseffekte, die mit der Erh¨ohung der lokalen Machzahl zusammenh¨angen, verringert werden.

3. (3 Punkte:)

Bei der kritischen Machzahl der Anstr¨omung tritt erstmalig an einem Punkt des Str¨omungsfeldes des Tragfl¨ugels Schallgeschwindigkeit auf.

Die Divergenzmachzahl ist die Machzahl der Anstr¨omung, ab der ein starker Anstieg des Widerstandes zu beobachten ist. Im Allgemeinen wird in der angewandten Literatur der starke Anstieg mit ≥ 20 drag counts angesetzt.

4. (2 Punkte:)

Wegen der Vorzeichenumkehr in der linearisierten Potentialgleichung (1−M a²_∞)Φ_xx+Φ_yy = 0 im ¨Uber- schall durch den Term (1−M a²_∞) wird diese zur Wellengleichung. Die Str¨omungsinformationen breiten sich nun nur stromab entlang der Charakteristiken aus. Die Druck¨anderungen erfolgen nur aufgrund lokaler ¨Anderungen der Oberfl¨ache (Prandtl-Meyer: positive Kr¨ummung ⇒ Kompression, negative Kr¨umung⇒ Expansion, oder Formel c_p = ²

dy

√ dx

M a²∞−1 Die sich daraus ergebende Druckverteilung auf der Wellenoberfl¨achecp ≈cos(x) ist phasenverschoben zum Oberfl¨achenverlauf. Dies ergibt eine finite resultierende Kraft von der Str¨omung auf die Oberf¨ache in axialer Richtung, die als Wellenwiderstand bezeichnet wird.

5. (1 Punkt:)

Als Buffet bezeichnet man sich selbsterhaltende Stroßschwingungen bei transsonischer Str¨omung, die durch Wechselwirkung zwischen Stoß und Grenzschicht hervorgerufen werden.

6. (2 Punkte:)

Die kinematische Randbedingung besagt, dass entlang einer ebenen Skelettlinie die Normalkomponen- ten der resultierenden Geschwindigkeitsverteilung Null ist.

dZ^(s)

dX = ^w+u_u+u^∞sinα

∞cosα, mitsinα≈α,cosα≈1 undu << u∞

⇒ ^dZ_dX^(s) = ^w+u_u∞^∞α

kinematische Randbedingung: α−^dZ_dX^(s) =−_u^w

∞

7. (3 Punkte:)

9

2. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Prandtl‘sche Traglinientheorie (18 Punkte)

1. Einsetzen der Koordinatenstransformation y=−^b₂cos (ϕ) in Γ_neu(y) f¨uhrt zu:

Γ_neu(ϕ) = 2 Γ₀ 1−cos²(ϕ)¹₂

1−1

2cos (ϕ)

= 2 Γ0

sin (ϕ)−1

2sin (ϕ) cos (ϕ)

⇒mit Additionstheoremen : = 2 Γ₀

sin (ϕ)−1

4sin (2ϕ)

Koeffizientenvergleich mit der Fourierreihe ergibt:

Reiseflug:

A₁ = Γ₀ 2bu∞

, A₂, ..., A_N = 0 neu:

A1,neu = Γ0

bu∞

, A2,neu =− Γ0

4bu∞

, A3,neu, ..., AN,neu = 0

2. Nach dem Satz von Kutta-Zhukhovski kann der Auftrieb durch Integration ermittelt werden FL=ρ∞u∞

Z ^b

2

−^b

2

Γ (y)dy

mitdy= ₂^bsin (ϕ)dϕ folgt:

F_L = ρ∞u∞

b 2

Z π 0

Γ (ϕ) sin (ϕ)dϕ

= ρ∞u∞

b 2

Z π 0

2bu∞ N

X

n=1

A_n·sin (nϕ) sin (ϕ)dϕ

= ρ∞u²_∞b²

N

X

n=1

An

Z π 0

sin (nϕ) sin (ϕ)dϕ

= π

2ρ∞u²_∞b²A1

Dabei wurde folgende Beziehung aus der Integraltafel verwendet:

Z π 0

sin (n·ϕ) sin (p·ϕ)dϕ=

(π/2 n=p 0 n6=p F¨ur den Auftriebsbeiwert ergibt sich mit der Streckung Λ =b²/S

c_L = F_L

ρ∞

2 ·u²_∞·S

= π·Λ·A₁

11

3.

φ L / ρ

u

Γ

^

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

-0.5

π /2 π

sin(φ) 2sin(φ)

-0.5sin(2φ)

2sin(φ)-0.5sin(2φ)

Das Flugzeug steigt und f¨uhrt eine Rollbewegung in mathematisch positive Richtung aus (Lneu> Lalt) 4. Das erzeugte Moment um die L¨angsachse ergibt sich aus der Integration der Auftriebsverteilung gewichtet mit dem Hebelarm.

Mx = ρ∞u∞

Z ^b

2

−^b₂

y·Γneu(y)dy M_x = ρ∞u∞

Z _π

0

−b

2cos (ϕ)

·Γ_neu(ϕ)· b

2 ·sin (ϕ)dϕ Nach Einsetzen der Zirkulationsverteilung und Verwenden der Additionstheoreme folgt:

M_x = −ρ_∞u∞

b² 4

Z π 0

Γ₀sin (2ϕ)

sin (ϕ)−1

4sin (2ϕ)

dϕ Mx = −ρ∞u∞b²Γ0

4

Z π 0

sin (ϕ) sin (2ϕ)

| {z }

→0

−1

4sin²(2ϕ)

| {z }

→^π₂

dϕ

M_x = ρ∞u∞πb²Γ₀ 32 5. Mit dem Hinweis:

wi(y) =− 1 4π

Z ^b

2

−^b₂

dΓ dy⁰

dy⁰ y−y⁰ , und der Substitution y=−b

2cos (ϕ) folgt:

wi(ϕ) = 1 2πb

Z π 0

dΓ dϕ⁰

dϕ⁰

cos (ϕ)−cos (ϕ⁰) ,

mit: dΓ

dϕ⁰ = 2 Γ₀

cos ϕ⁰

− 1

2cos 2ϕ⁰

, folgt:

wi(ϕ) = Γ0

πb Z π

0

cos (ϕ⁰)−¹₂cos (2ϕ⁰) cos (ϕ)−cos (ϕ⁰) dϕ⁰ .

Die L¨osung des Glauert-Integrals liefert:

w_i(ϕ) = Γ₀ πb

−π+π 2

sin (2ϕ) sin (ϕ)

= −Γ₀ b

1− 1

2

sin (2ϕ) sin (ϕ)

13

3. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Kompressible Str¨ omung (18 Punkte)

1.

M₁

2 3

4 5

α ε

2.

c_l= Z 1

0

∆c_pcos(β)dx≈ Z 1

0

∆c_pdx, mit cos(β)≈1

⇒cl = 1

2(cp4−c_p2)+1

2(cp5−c_p3) = 1

pM a²₁−1((+α)−(−α)+(−(−α))−(−(+α))) = 4α pM a²₁−1

⇒cl= 4·4^◦·₁₈₀^π◦

√16−1 ≈ π 45 c_d=

Z 1 0

∆c_psin(β)dx≈ Z 1

0

∆c_pβdx, mit sin(β)≈β

⇒c_d= 1

pM a²₁−1((+α)²+ (−α)²+ (+α)²+ (−α)²) = 4α²

pM a²₁−1 + 4² pM a²₁−1

⇒c_d= 44^◦2₁₈₀^π2◦2

√16−1 + 414^◦2₁₈₀^π2◦2

√16−1 ≈ 212π²

180² = 53π² 90²

3.

1 u/c*

2

3

α ε

M*=1 v/c*

4.

c_l = L

ρ∞/2v²_∞l = L

ρ1/2v²₁l = L ρ₁/2(M₁√

γRT₁)²l, mitv₁ =M₁p γRT₁

= 2L

ρ₁M₁²γ RT₁

|{z}

p1/ρ1

l = 2L γM₁²p₁l

cd = W

ρ∞/2v_∞² l = W

ρ₁/2v₁²l = W ρ₁/2(M₁√

γRT₁)²l, mitv1 =M1

pγRT1

= 2W

ρ1M₁²γ RT1

|{z}

p1/ρ1

l = 2W γM₁²p1l

L=R⊥cos(α)−Rksin(α) W =R⊥sin(α) +R_kcos(α)

R⊥ = X pi

l

2 = (p4−p2+p5−p3)l 2 Rk = X

pi

l

2tan() = (p4+p2−p5−p3)l 2tan()

⇒L= l

2(p₄−p₂+p₅−p₃) cos(α)− l

2(p₄+p₂−p₃−p₅) tan() sin(α)

| {z }

Von h¨oherer Ordnung, Vernachl¨assigbar klein

⇒W = l

2(p4−p₂+p5−p₃) sin(α)

| {z }

α

+l

2(p4+p2−p₅−p₃) tan()

| {z }

cos(α)

| {z }

≈1

= l

2(p4−p₂+p5−p3)α+l

2(p4+p2−p₅−p3)

c_l = 1 γM₁²

p₄ p₁ −p₂

p₁ +p₅ p₁ −p₃

p₁

c_d = 1 γM₁²

p4

p₁ −p2

p₁ +p5

p₁ −p3

p₁

α+ p4

p₁ +p2

p₁ −p5

p₁ −p3

p₁

ges. p₂/p₁,p₃/p₁,p₄/p₁,p₅/p₁

p2

p1 =?

M₁ = 3.8 undδ =−α= 14^◦−4^◦= 10^◦

⇒ Abb. 1: θ= 23^◦

M_n1 =M₁sinθ≈3.8 sin 25 = 1.52 aus Abb. 4: ^p_p²

1 = 2.5

p3

p1 =?, M2 =?

Mn1 = 1.52⇒Mn2 = 0.7 aus Abb. 3

15

M₂ = _sin(θ−δ)^Mn2 = _sin(13)^0.7 ≈ _0.25^0.7 ≈2.8

ν₃ =ν₂+ 2mit Abb. 2:ν₃ = 45^◦+ 28 = 73^◦; aus Abb. 2: M a₃ = 4.6

⇒ ^p_p³

1 = _p^p3

03

p02

p2

p2

p1 mit Abb. 4 folgt somit:

⇒ ^p_p³

1 = ₃₀₀¹ ·30·2.5 = ¹₄

p4

p1 =?

M1 = 3.8 undδ =+α= 14^◦+ 4^◦= 18^◦

⇒ Abb. 1: θ= 30^◦

Mn1 =M1sinθ≈4sin30 = 2 aus Abb. 4: ^p_p⁴

1 = 4.5

p5

p1 =?, M₄ =?

Mn1 = 2⇒Mn4 = 0.58 aus Abb. 3 M4 = _sin(θ−δ)^Mn4 = _sin(13)^0.58 ≈ ^0.58_0.25 ≈2.3

ν5 =ν4+ 2mit Abb. 2:ν3 = 35^◦+ 28 = 63^◦ ; aus Abb. 2: M a5 = 3.8

⇒ ^p_p⁵

1 = _p^p5

05

p04

p4

p4

p1 mit Abb. 4 folgt somit:

⇒ ^p_p⁵

1 = ₁₁₀¹ ·14·4.5 = ^13.5₂₂₀ ≈0.6