2 Borels starkes Gesetz der großen Zahlen

2 Borels starkes Gesetz der großen Zahlen

7. Satz Sei

(Z

_i

)

_i∈^{N iid mit}

Z

₁

∼ B (1, p)

^{. Dann}

P

ω ∈ Ω : lim

n→∞

1/n ·

X

n

i=1

Z

_i

(ω) = p = 1.

Beweis. Skiizze PROJEKTOR, Details TUTORIUM

Siehe auch Satz VI.34. Sprechweise: eine Eigenschaft gilt f ¨ur fast alle ω

bzw. fast sicher, falls sie f¨ur alle ω aus einer Menge A ∈ A mit P(A) = 1

gilt.

9. Beispiel Simulationsbeispiele

Z

₁

∼ B (1, 0.7)

,

n = 50

.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 n=50

S n(ω)/n

Z

₁

∼ B (1, 0.7)

,

n = 100

.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 n=100

n S n(ω)/n

Z

₁

∼ B (1, 0.7)

,

n = 1000

.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 n=1000

S n(ω)/n

10. Korollar Sei

(X

_i

)

_i∈^N iid und

M ∈ M

. Dann gilt f¨ur fast alle

ω

n→∞

lim 1/n ·

X

n

i=1

1

_M

(X

_i

(ω)) = P ( { X

₁

∈ M } )

Beweis. F¨ur

Z

_i

:= 1

_M

◦ X

_i

gilt

(Z

_i

)

_i∈^{N iid mit}

Z

₁

∼ B (1, p)

^und

p = P ( { X

₁

∈ M } )

^,

siehe ¨U^BUNG M:H8, WInf:G6. Wende Satz 7 an.

11. Bemerkung Damit

•

bei Problem A: stochastische Simulation liefert f ¨ur fast alle

ω

f¨ur ”große“ Anzahl

n

von Wiederholungen ”gute“

N¨aherung. Genauer gilt f¨ur eine Menge

A ∈ A

mit

P (A) = 1

∀ ω ∈ A ∀ ε > 0 ∃ n

₀

= n

₀

(ω, ε) . . .

•

bei Problem B: theoretisches Gegenst ¨uck zur beobachteten Konvergenz.