Fachbereich Mathematik M. Geißert
R. Haller-Dintelmann H. Heck
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2008 16.5.2008
PDG I
6. ¨ Ubung
Gruppen¨ ubungen
(G 1)
Berechnen SieFδ.
(G 2) (Cauchy Hauptwert)
(a) Zeigen Sie, dass ch− 1x ∈ S′(R) gilt.
(b) Berechnen Sie F(ch− 1x).
(c) Zeigen Sie, dass der Operator definiert durch Hf :=ch− 1x ∗f f¨ur f ∈Cc∞ zu einem stetigen Operator auf L2(R) fortgesetzt werden kann.
(G 3)
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung T 7→DαT, α∈Nd stetig auf S′ ist.
(b) Zeigen Sie, dass f¨ur f, g ∈ S und λ ∈ R die Operationen + und ·, definiert durch (f, g)7→f +g und f 7→λ·f stetig aufS × S bzw. S sind.
(G 4) (Heisenberg Ungleichung) Zeigen Sie, dass f¨ur jede Funktion ϕ ∈ S
d Z
Rd
|ϕ(x)|2dx≤2kxϕk2· k∇ϕk2 gilt.
