Großkanonische Gesamtheit (3 Punkte) (a) Bosonen: Mikrozust¨ande: {α}={nk1, nk2, nk3

Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08

Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung

Dr. M. Greiter Blatt 5

1. Großkanonische Gesamtheit (3 Punkte)

(a) Bosonen: Mikrozust¨ande:

{α}={n_k1, n_k2, n_k3, . . . , n_ki, . . .} , n_ki = 0,1,2,3, . . .

(Besetzungszahldarstellung). k₁,k₂, . . . ist eine willk¨urlich, aber fest gew¨ahlte An- ordnung aller Einteilchen-Zust¨ande (bzw. derer Quantanzahlen), die von einem Teil- chen besetzt werden k¨onnen. In diesem Fall sind das also die k-Vektoren eines freien Teilchens. Die Anordnung wird ¨ublicherweise dadurch festgelegt, daß gilt, ε(k1)≤ε(k2) etc.

Energie:

Eα=ε(k1)n_k1 + ε(k2)n_k2 + . . .=X

k

ε(k)n_k

Teilchenzahl:

N_α =X

k

n_k

Großkanonische Zustandssumme:

ZG = X

α

e^{−β(Eα−µNα)}

= X∞ n_k1=0

X∞ n_k2=0

. . . e^{−βPk(ε(k)−µ)nk}

= Y

k

∞

X

n=0

e^{−β(ε(k)−µ)n}

!

=Y

k

1 1−e^{−β(ε(k)−µ)}

⇒ ln(ZG) =−X

k

ln [ 1−e^{−β(ε(k)−µ)}]

Innere Energie: fasse β und βµals unabh¨angige Variablen auf; dann:

U =hEi= 1 ZG

X

α

E_αe^{−β(Eα−µ Nα)} =− 1 ZG

∂ZG

∂β

(βµ)

=− ∂

∂β ln(Z_G)

(βµ)

⇒ U =X

k

ε(k) 1

e^{β(ε(k)−µ)}−1 ≡X

k

ε(k)g(ε(k)−µ)

Teilchenzahl:

N =hNi= 1 ZG

X

α

N_αe^{−β(Eα−µNα)} = 1 ZG

∂ZG

∂ βµ

β

⇒ N = ∂

∂ βµln(ZG)

β

=X

k

g(ε(k)−µ)

Fermionen: Dasselbe, aber mit n_k = 0,1 .

⇒ ZG =Y

k

X

n=0,1

e^{−β(ε(k)−µ)n}

!

⇒ ln(ZG) =X

k

ln [ 1 + e^{−β(ε(k)−µ)}] Damit folgt durch Ableiten, analog zu den Bosonen,

U =X

k

ε(k) 1

e^{β(ε(k)−µ)}+ 1 ≡X

k

ε(k)f(ε(k)−µ)

N =X

k

f(ε(k)−µ)

(Beachte: es wurden spinlose Teilchen angenommen.) Zustandsdichte:

N(ε) = 1 V

X

k

δ(ε − ε(k))

Damit lassen sich formal die k-Summen ersetzem:

Bosonen: U =V Z

dεN(ε)ε g(ε−µ) , N =V Z

dεN(ε)g(ε−µ) Fermionen: U =V

Z

dεN(ε)ε f(ε−µ) , N =V Z

dεN(ε)f(ε−µ) Dies sind die Ausgangsgleichungen f¨ur praktische Rechnungen.

(b) Kanonische Gesamtheit: Die Teilchenzahl ist fest, N = const. Man k¨onnte jetzt versuchen, die kanonische Zustandssumme direkt zu berechnen:

Bosonen:

ZK = X

α

e^−βEα

N=const.

= X∞ n_k1=0

X∞ n_k2=0

. . . e^{−βPkε(k)nk}

(n_k1+n_k2+...)=N=const.

Um diese Zwangsbedingung an die Summen zu realisieren, w¨urde man wohl einen Lagrange-Multiplikator einf¨uhren, also letztlich auf die großkanonische Gesamtheit

¨

ubergehen. In der Praxis rechnet man also großkanonisch, muß dann aber das chem.

Potential loswerden:

U(T, V, µ) = bekannt, N(T, V, µ) = bekannt ⇒ µ(T, V, N) = durch Umkehren

⇒ U(T, V, N) =U(T, V, µ(T, V, N))

F¨ur Fermionen nat¨urlich entsprechend.

Unterscheidbare Teilchen: Die Rechnung ist hier in der kanonischen Gesamtheit am einfachsten, siehe Vorlesung, letztes ¨Ubungsblatt. Daraus kann man sich das chem. Potential besorgen, z.B. ¨uber

dU =TdS−pdV +µdN ⇒ µ= ∂U

∂N

S,V

Die BedingungS =const.ist unpraktisch, da wirU =U(S, V, N) erst noch berech- nen m¨ussten, U(T, V, N) aber kennen. Also: Freie Energie:

F =U −T S ⇒ dF =−SdT −pdV +µdN ⇒ µ= ∂F

∂N

T,V

und damit ZK =X

α

e^−βEα ⇒ U(T, V, N) und F =−1

β ln(ZK) ⇒ µ(T, V, N)

⇒ N(T, V, µ) = durch Umkehrung ⇒ U(T, V, µ) =U(T, V, N(T, V, µ)) 2. Chemisches Potential im idealen Bose-Gas (4 Punkte)

(a) Teilchenzahl:

N(T, V, µ) =X

k

g(ε(k)−µ) =V Z

dεN(ε)g(ε−µ)

Die Zustandsdichte lautet N(ε) =C3√

ε , C3 = 1 4π²

2m

~² 3/2

Mitε ≥0 und −µ≫kT wird g(ε−µ) = [e^β(ε−µ)−1 ]⁻¹ ≃e^{−β(ε−µ)}, also N =V e^βµC3

Z ^∞

0

dε√

εe^−βε=V C3e^βµ(kT)^3/2 Z ^∞

0

dx√ xe^−x Das Integral ist Bronstein-integrabel,

N(T, V, µ) =V C3Γ(3/2)(kT)^3/2exp(βµ) , Γ(3/2) =

√π 2 Aufl¨osen nach µund Einsetzen von C3 ergibt

e^βµ = N V

1

Γ(3/2)C₃(kT)^−3/2 ⇒ µ(T, V, N)

kT =−ln

"

V N

2mkT

~²

3/2#

+const.

F¨ur T → ∞ geht also −µ ∝ Tln(T) ≫ T. Die anfangs willk¨urlich erscheinende Annahme −µ≫kT ist also konsistent.

Innere Energie:

U(T, V, µ) = V Z

dεN(ε)εg(ε−µ) (1)

≃ V C3e^βµ Z ^∞

0

dε ε^3/2e^−βε (2)

= V C3e^βµ(kT)^5/2 Z ^∞

0

dx x^3/2e^−x

| {z }

= Γ(5/2)

(3)

Jetzt muß manµbzw. e^βµ von oben einsetzen, um die Abh¨angigkeit von den kano- nischen Variablen T, V, N zu bekommen, C3 f¨allt heraus,

⇒ U(T, V, N) =NΓ(5/2)

Γ(3/2)kT , U(T, V, N) = 3 2NkT Der letzte Schritt folgt mit Γ(1 +x) =xΓ(x) .

Spezifische W¨arme: cV = ∂U

∂T

V,N

= 3 2Nk. (b) Die Teilchenzahl ist gegeben durch

N(T, V, µ) =V Z

dε g(ε−µ)

Außerdem ist die mittlere Besetzung eines bestimmten Einteilchen-Zustandes hn_ki= 1

ZG

X

α

n_k(α)e^{−β(Eα−µNα)}=. . .=g(ε(k)−µ)

Die mittlere Besetzung muß nat¨urlich≥0 sein, und mitε(k)≥0 folgt µ≤0 , damit die Bosefunktiong(ε(k)−µ)≥0 . Bei hohen TemperaturenT → ∞wissen wir, daß µ <0 und|µ| → ∞. Wird die Temperatur abgesenkt, so ist zu vermuten, daßµsich von großen negativen Werten kommend in Richtung µ= 0 bewegt. Das kann man sich graphisch klarmachen, indem man den Faktor N(ε)g(ε−µ) ∼ √

ε g(ε−µ) f¨ur verschiedene Werte vonµ <0 auftr¨agt: Die TeilchenzahlN ist durch die Fl¨ache unter diesem Faktor gegeben, und mit sinkender Temperatur wird diese kleiner. Will man N konstant halten, muß also µ entsprechend angehoben werden, wodurch der divergierende Teil der Bosefunktion n¨aher anε= 0 r¨uckt und den Verlust der Fl¨ache ausgleicht. F¨ur T → 0 funktioniert das aber nicht mehr, denn die Zustandsdichte unterdr¨uckt den Beitrag nahe ε = 0 , und µ muß ja ≤ 0 bleiben. Unterhalb einer bestimmten Temperatur T0, bei der µ= 0 erreicht ist, lassen sich die N Teilchen nicht mehr ganz im System unterbringen ?! Der Fehler liegt darin, daß sich ein endlicher Anteil des Gases im energetisch tiefsten Einteilchen Zustand mit k = 0 und damitε(k) = 0 sammelt (Bose-Kondensation). Dieser Beitrag zur Teilchenzahl geht beim ¨Ubergang von der k-Summe zum Integral mit Zustandsdichte verloren, daN(0) = 0 .

Im Allgemeinen muß man f¨ur die Teilchenzahl also ansetzen N(T, V, µ) =N0(T, V) +V

Z

dεN(ε)g(ε−µ)

dabei ist N0 die Anzahl der Bosonen im tiefsten Ein-Teilchen-Zustand k = 0 . N0(T, V)6= 0 nur f¨ur T ≤T0. Unterhalb von T0 ist auch µ= 0 , so daß

T < T₀ : N(T, V, µ) =N(T, V, µ= 0) =N₀(T, V) +V Z

dεN(ε)g(ε) UmT₀ zu bestimmen, nutzt man aus, daß bei T =T₀ gerade noch N₀ = 0 , also

N(T0, V, µ= 0) =N =V Z

dεN(ε)g(ε)

T=T⁰

=V C3(kT0)^3/2 Z ^∞

0

dx

√x e^x−1

| {z }

= Γ(3/2)ζ(3/2) Die Teilchendicht kann also durch T0 ausgedr¨uckt werden, bzw. umgekehrt,

N

V =C3Γ(3/2)ζ(3/2)(kT0)^3/2 ⇒ kT0 = ˜a· ~²k²₀

2m , k0 = 2π a0

, a0 = V

N 1/3

, 1

˜

a = [ 4π²Γ²(3/2)ζ²(3/2) ]^1/3 k0 ist der Wellenvektor, der zum mittleren Teilchabstand a0 korrespondiert.

(c) Es ist T > T0 mit T −T0 →0 , also auch (−µ)>0 mit (−µ)≪kT ≃kT0.

Problem: Jetzt ist nicht mehr µ= 0 , und die Integrale ¨uber die Bosefunktion sind nicht mehr so einfach. Man muß also eine geeignete N¨aherung suchen. Dazu:

N(T, V, µ) =V Z

dεN(ε)g(ε−µ) = ∆N(T, V, µ) +N(T, V,0) dabei ist

N(T, V,0) =V Z

dεN(ε)g(ε) , ∆N(T, V, µ) = [N(T, V, µ)−N(T, V,0) ] N(T, V,0) l¨aßt sich exakt berechnen.

Achtung: N(T, V,0) ist nicht die Teilchenzahl N, außer f¨ur T =T0.

Eine N¨aherung wird in ∆N gemacht [Landau, Lifshitz Band V, Paragraph 62]:

∆N(T, V, µ) = V Z

dεN(ε)[g(ε−µ)−g(ε) ] (4)

= V C₃ Z ^∞

0

dε√ ε

1

e^β(ε−µ)−1 − 1 e^βε−1

(5) Mit (−µ) ≪ kT kommen die st¨arksten Beitr¨age zum Integral von kleinen ε → (−µ)→0 , wo die Bosefunktion divergiert. Also:

e^βE ≃1 +βE , g(E) = 1

e^βE −1 ≃ kT

E , E =ε,(ε−µ) und damit

∆N(T, V, µ) ≃ V C3kT Z ^∞

0

dε√ ε

1

ε−µ − 1 ε

=V C3kT µ Z ^∞

0

dε 1

√ε(ε−µ)

= V C3kT µ 2

√−µ π 2

also

∆N(T, V, µ) =−V C3π(kT)√

−µ

Diese N¨aherung liegt eigentlich f¨ur alle Integrale bei T → T0 nahe, also auch f¨ur N(T, V, µ) , allerdings konvergiert das Integral an der oberen Grenze ∞ nur, wenn man vorherN(T, V,0) abzieht (und natuerlich wieder, ohne N¨aherung, addiert) ! N(T, V,0) haben wir in b) schon berechnet, allerdings ist hier T0 →T ,

N(T, V,0) =V C3Γ(3/2)ζ(3/2)(kT)^3/2

F¨ur T =T0 ist dies die Teilchenzahl, N(T0, V,0) =N, und wir k¨onnen damit (wie oben schon !) C3 rauswerfen,

N(T, V, µ) = V C3

Γ(3/2)ζ(3/2)(kT)^3/2−π(kT)√

−µ

= N(T0, V,0)

"

T T₀

3/2

− π

Γ(3/2)ζ(3/2) T

T₀

r−µ kT₀

#

und mit N(T, V, µ) =N(T0, V,0) =const.=N kann man nach µ aufl¨osen, r−µ

kT₀ = Γ(3/2)ζ(3/2) π

"

T T₀

1/2

− T0

T #

Im Prinzip ist dies das Ergebnis, aber man kann f¨urT →T₀ durch Entwickeln noch etwas vereinfachen:

T T0

= 1−T −T0

T0 ≡1 +δt, T

T0

1/2

= (1 +δt)^1/2 ≃1 +1 2δt,T0

T = 1

1 +δt ≃1−δt womit schließlich (nach Quadrieren) folgt:

−µ kT0

=d·(δt)² , d= [ 3

2πΓ(3/2)ζ(3/2) ]²

Der Verlauf l¨aßt sich also so zusammenfassen (Bild: Skript S. 49):

T < T₀ : µ= 0 T ≥T0 : µ∝ −T² T ≫T0 : µ∝ −T ln(T)

(d) In zwei Raumdimensionen ist die Zustandsdichte N(ε) =C2θ(ε) , C2 =const.

Die Bedingung f¨ur T0 lautet jetzt also N

V = Z

dε N(ε)g(ε)|T=T0 =C2

Z ^∞

0

dε g(ε)|T=T0 =C2kT0

Z ^∞

0

dx 1 e^x−1 Das Integral divergiert an der Untergrenze x = 0 , so daß T0 = 0 . Mit einer gra- phischen Darstellung wie in b) wird klar: Da hier die Zustandsdichte die Beitr¨age kleiner Energien nicht unterdr¨uckt, lassen sich auch f¨ur T →0 alle Teilchen in an- geregten Zust¨anden (beliebig kleiner Energie) unterbringen, und die Kondensation setzt nicht ein, zumindest nicht bei einer endlichen Temperatur.

3. Pauli-Suszeptibilit¨at (3 Punkte) (a) Besetzungszahldarstellung:

{α}={n1, n2, . . .}={n_k1,+1, n_k1,−1, n_k2,+1, n_k2,−1, . . .} , nλ = 0,1 , Eα=X

λ

ελnλ =X

k

X

σ

εσ(k)nkσ , Nα =X

λ

nλ =X

k

X

σ

nkσ

Die λ ≡ (k, σ) = (kx, ky, kz, σ) sind Quantenzahlen f¨ur die Energie-Eigenzust¨ande eines einzelnen Teilchens, die von den Fermionen entweder besetzt (nλ = 1) oder un- besetzt (nλ = 0) sein k¨onnen. Im allgemeinen gibt es∞viele solche Eigenzust¨ande.

In der Zustandssumme wird nun ¨uber alle Besetzungszahlen summiert; dadurch werden alle m¨oglichen Mikrozust¨ande des Gases erreicht. Die Teilchenzahl Nα kann dabei schwer konstant gehalten werden, daher wird großkanonisch gerechnet:

Z =X

α

e^{−β(Eα−µNα)} = X

n¹=0,1

X

n²=0,1

. . . e^{−βPλ(ελ−µ)nλ} =Y

λ

X

n=0,1

e^{−β(ελ−µ)n}

!

also, mit Ω =−1

β ln(Z) , Z(T, V, µ) = Y

kx

Y

ky

Y

kz

Y

σ=±1

1 +e^{−β(εσ(k)−µ)}

Ω(T, V, µ) =−1 β

X

k,σ

ln[ 1 +e^{−β(εσ(k)−µ)}]

Die Magnetisierung ergibt sich daraus ¨uber M =−∂Ω

∂B , M = 1

β X

k

X

σ

e^{−β(εσ(k)−µ)}

1 +e^{−β(εσ(k)−µ)}(βσ) =X

σ

σX

k

f(εσ(k)−µ) =X

k

[hnk,+1i−hnk,−1i]

Durch Einf¨uhren einer Integration und einer δ-Funktion kann man die X

k

formal loswerden:

M =V X

σ

σ Z ^∞

−∞

dε f(ε−µ−B σ)· 1 V

X

k

δ(ε−ε(k))

| {z }

=N(ε)

, ε(k) = ~²k² 2m

⇒ M(T, V, µ, B) =V Z ^∞

−∞

dεN(ε)[f(ε−µ−B)−f(ε−µ+B) ] In drei Raumdimensionen gilt

N(ε) =C3√

ε θ(ε) , C3 = 1 4π²

2m

~² 3/2

(b) Zun¨achst einmal berechnen wir die großkanonische Suszeptibilit¨at (weil wir nur die großkanonische Zustandssumme kennen), und werfen sp¨ater µ = µ(T, V, N) raus ( ¨Aquivalenz der Gesamtheiten).

χ(T, V, µ) = ∂M

∂B

B=0

=−2V Z ^∞

−∞

dεN(ε) ∂

∂εf(ε−µ)

| {z }

≡f^′(ε−µ) Partielle Integration:

χ(T, V, µ) = −2V

f(ε−µ)N(ε)

ε=∞ ε=−∞

− Z ^∞

−∞

dε f(ε−µ)N^′(ε)

MitN(ε <0) = 0 und f(∞) = 0 folgt also χ(T, V, µ) = 2V

Z ^∞

−∞

dε f(ε−µ)N^′(ε)

Das generelle Problem ist jetzt, das T-abh¨angige chem. Potential zu bestimmen.

Bei T = 0 ist das allerdings einfach: µ=εF , und die Fermi-Funktion ist T = 0 : f(ε−µ)→θ(εF −ε)

also

χ(0, V, N) = 2V Z εF

−∞

dεN^′(ε) ⇒ χ(0, V, N) = 2V N(ε_F) Die Fermienergie wurde eigentlich schon in Blatt4, Aufg. 3 bestimmt:

N V = 2

Z ^∞

−∞

dεN(ε)f(ε−µ)

⇒ T = 0 : N V = 2

Z εF

−∞

dεN(ε) = 2C3

Z εF

0

dε√

ε =C3

4

3(εF)^3/2

⇒ εF = 3

4C₃ N V

2/3

⇒ N(εF) =C3

3 4C₃

N V

1/3

⇒ χ(0, V, N) = 2V(C3)^2/3 3

4 N V

1/3

∝V N

V 1/3