3.2 Diskrete Gesamtheit

Formelblatt: Theoretische Physik IV - Statistische Physik

<Marco.Moeller@macrolab.de>

Stand: 09.07.2007 - Version: 0.9.6

Erh¨altlich unterhttp://privat.macrolab.de

Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung“Theoretische Physik IV: Statistische Physik”von Prof. Berges an der Technischen Universi- t¨at Darmstadt im Sommersemester 2007.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verf¨ugung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text ver- bleiben beim Verfasser, der keine Gew¨ahr f¨ur die Richtigkeit und Voll- st¨andigkeit der Inhalte ¨ubernehmen kann.

1 Konstanten

Avogadrokonstante NA= 6,022·10²³

Boltzmann-Konstante kB= 1,3806505(24)·10^{−23 J}_K Ideale-Gaskonstente R=kB·NA= 8,314472_mol^J_·K

Stefan-Boltzmann-Konstante σ = ₆₀^π2~^k3^B4c² = 5,670 · 10⁻⁸J m⁻²s⁻¹K⁻⁴

Plancksches Wirkungsqantum ~ = 2πh = 1,05457168(18) · 10⁻³⁴J s

Lichtgeschwindigkeit c= 2,99792458·10^8m_s Absolute Temperaturskala T[^◦C] =T[K]−273,15

2 Mathe

Diracsche δ-Funktion Rβ

αdx f(x)δ(x−a) =

(f(a) a∈(α, β) 0 sonst

• δ[f(x)] =Pn i=1

1

|f^′(xi)|δ(x−x_i) mitf(xi) = 0undf^′(xi)6= 0 Ableitung Rβ

α dx f(x)δ^′(x−a) =

(−f^′(a) a∈(α, β)

0 sonst

• f(x)δ^′(x−a) =−f^′(a)δ(x−a)

• δ(x−a) = _dx^d Θ (x−a)

• Heavyside vs. Dirac Z β

α

dx d

dxΘ (x−a) = Z β

α

dx δ(x−a)

= Θ (x−a)|^βα

=

(1 a∈(α, β) 0 sonst Heavyside Funktion

Θ (x) = Z x

−∞

dx^′δ(x^′) =

(1 x >0 0 x≤0 Trigonometie

• sin (x+y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)

• cos (x+y) = cos (x) cos (y)−sin (x) sin (y)

• cosh²(x)−sinh²(x) = 1

• cosh (x) = ¹₂(e^x+e^−x)

• sinh (x) =¹₂(e^x−e^−x)

• cos²(x) =¹₂(1 + cos (2x))

• sin²(x) =¹₂(1−cos (2x))

• atanh(x) =¹₂ln

1+x 1−x

Geometrische Reihe Pn

k=0q^k =¹⁻₁^q₋ⁿ⁺¹_q

3 Begriffe der Statistik

Vereinigung P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) Unvereinbar fallsA∩B =∅

bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) = ^P(A_P(B)^∩B)

unabh¨angig fallsP(A|B) =P(A)giltP(A∩B) =P(A)P(B) Wahrscheinlichkeit p= Anz. G¨unstige M¨oglichkeiten

Gesmtanzahl M¨oglichkeiten

3.1 Kombinatorik

Permutation vonN Zahlen gibt esN! Gamma-Funktion Γ (x) = R_∞

0 dt t^x−1e^−t Γ (x+ 1) = x· Γ (x) und Γ (1) = 1 ist Verallgemeinerung der Fakult¨at ∀n ∈ N : Γ (n+ 1) =n!

Binomialkoeffizient ⁿ_k

= _k!(n^n!_−k)!

Kombinationen Gegeben sei ein Menge vonnunterscheidbaren Ku- geln. Ziel ist es hierauskauszuw¨ahlen.

zur¨uckwerfen an die Seite legen nach dem Ziehen

ziehreihenfolge egal _n+k

−1 k

_n

k

ziehreihenfolge entscheidend n^k _(n−^n!_k)!

Stirling Formel√ f¨ur n > 9 mit Fehler < 1% gilt: N! ≈ 2πN ^N_eN

= (2π)¹²N^N+12e^−N

• lnN!≈N(lnN−1)

3.2 Diskrete Gesamtheit

Mittelwert hAi=P

ipiAi

• haA+bi=ahAi+bmita, b=const

• hA+Bi=hAi+hBi Varianz (∆A)²=

A²

− hAi²

• (∆ (A+B))²= (∆A)²+ (∆B)²fallsA, B unkorreliert Standardabweichung ∆A=

q

hA²i − hAi²

• ∆ (aA+b) =|a| hAimita, b=const Kovarianz hABic=CAB =hABi − hAi hBi

• hABi=P

ipiAiBi

Binomialverteilung PN(n1) =

N n1

pⁿ¹(1−p)^N−n1

• hn1i=pN

• ∆n1=√ N pq

• Ziehe n Kugeln (gr¨un / blau), p W-Keit f¨ur Farbe blau, pN(n1) =W-keit das von denngezogenenn1blau sind

Binomialentwicklung (p+q)^N =PN n1=0

_N

n1

pⁿ¹q^N−n1

3.3 Kontinuierliche Gesamtheit

Mittelwert hAi=R

V dx p(x)A(x) Transformation p˜(y)dy=p(x)dx n-te Moment hxⁿi=R

dx p(x)xⁿ

• φ(k) = e^ikx

=P∞ n=0

(ik)ⁿ n! hxⁿi p(x) =R _dk

2πe^−ikxφ(k)

• hxⁿi=_i¹n dⁿ dkⁿφ(k)

k=0

Erzeugende Funktion G(y) =R_∞

−∞dx e^−ixyP(x) Kumulanten

g(y) = lnG(y)

=−iCyy−1

2C2y²+ i

3!C3y³+. . . Normalverteilung p(x) = ¹

σ√

2πe⁻¹²(^x−µσ )²

• µ=hxiMittelwert

• σ²= (∆x)²= x²

− hxi² Varianz

3.4 Information

Information I=−λP

ipilnpi=h−λlnpii ≥0

• Wird maximal beiGleichverteilungpi= _Ω¹ (ΩAnz. der m¨oglichen Zust¨ande)

4 Statistische Beschreibung physikalischer Systeme

4.1 Klassische Mechanik

Poisson-Klammer {A, B}=P

i

∂A

∂qi

∂B

∂pi −∂p^∂Ai

∂B

∂qi

• {qi, pk}=δik

• {qi, qk}={pi, pk}= 0

Gesamtheit / Ensemble Anstelle eines realen Systems, betrachte ei- ne sehr große Anzahl G identischer Systeme (Gesamtheit / En- semble)

G= Z

Γ

g(q, p, t)dΓ W(q, p, t) =g(q, p, t)

G

• R

ΓW(q, p, t)dΓ = 1

• W gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein beliebig herausgegrif- fenes System Koordinaten und Impulse um(q, p)besitzt.

• g(q, p, t)Anzahl der Systeme mit Koordinaten und Impuls(q, p) (Dichte)

• Anzahl der Systeme in einem Raumbereich kann sich nur dadurch

¨andern das diese durch die Oberfl¨ache hinein oder herausgelangen (Kontinuit¨atsgleichung)

∂g

∂t +div~j = 0

~j =g~v

~v= ∂qi

∂t,∂pi

∂t

= ( ˙qi,p˙i)

Liouville-Gleichung ^∂W_∂t ={H, W}

• ^dWdt = 0 Mittelwert

hAi= Z

A(q, p, t)W(q, p, t)dΓ

=tr(AW) tr(W) = 1

4.2 Quantenmechanik

Mittelwert im reinen ZustandhAi=hψ|A|ψi=P

l|hϕl|ψi|²al

Statistischer Operator einer Gesamtheit (Messe ψk mit W-keitpk)

̺=P

k|ψkipkhψk|

• MittelwerthAi=P

m,n̺mnAnm=P

mhm|̺A|mi=Tr(̺A)

• Normiertheit Tr(̺) =P

kpk = 1

von Neumann-Gleichung zeitliche Entwicklung des statistischen Operators ^∂̺_∂t =−^~i [H, ̺]

• ^dρdt = 0

Korrespondenzprizip beschreibt ¨Ubergang zwischen klassischen und quantenmechanischen GleichungenW ↔̺ {, } ↔ −^~i[, ]

5 Makrozust¨ ande

5.1 Repr¨ asentatives Ensemble

Statistischer Operator ρ= _Z¹ Q

jδ(Bj−bj)e^−PiαiAi

• Z=Tr Q

jδ(Bj−bj)e^−PiαiAi

• ErwartungswertehAii=Tr(ρAi) =−∂α^∂ilnZ

Phasenraumvolumen das von der Energiefl¨ache ω(E, N, V) enge- schlossen wird ist gegeben durch

Γ (E0, N0, V) = Z

0<H(q,p)<E0;N0;V

dΓ

5.1.1 Mikrokanonische Gesamtheit(E, V, N)

• EnergieE=E0und TeilchenzahlN =N0 fest vorgegeben ρmik= 1

ω(E0, N0, V)δ(E−E0)δ(N−N0) ω(E0, N0, V) =TrV (δ(E−E0)δ(N−N0))

= Z

N0,V

dΓδ(H(q, p)−E)

= lim

∆→0TrN0,Vδ∆(H−E0)

= ∂Γ (E0, N0, V)

∂E0

• isoliertes System

• Γ (E0, N0, V) =RE0

0 dE ω(E, N0, V)

• Zustandssumme

Ω∆(E0, N0, V) = Z

E0−^∆2<H(q,p)<E0+^∆₂;N0;V

dΓ

=Γ(^E0+∆2,N0,V)−Γ(^E0−^∆2,N0,V)

≈∆·ω(E0, N0, V)

• Smik=kBln Ω∆≈kBlnω

5.1.2 Kanonische Gesamtheit(T, V, N)

• in Kontakt mit Reservoir mit TemperaturT

Dichteoperator Energiemittelwert hHieq = E0 und Teilchenzahl N =N0fest vorgegebenρkan= _Zkan¹ e^−βEδ(N−N0)

Zustandssumme (kanonische)Zkan(β, N0, V) =TrN0,Ve^−βH Energie hHieq=E=−∂β^∂ lnZkan(β, N0, V) =_∂β^∂ (βF) Freie Energie F =−kBTlnZ

Entropie Skan =kB

1−β_∂β^∂ lnZkan

Temperatur T =_kB¹_β

5.1.3 Großkanonische Gesamtheit(T, V, µ)

• Energiemittelwert hHieq = E0 und Mittelwert der Teilchenzahl DNˆE

eq=N0 fest vorgegebenρgrk= _Z¹

grke^{−β(E−µN)}

• in Kontakt mit Reservoir: Teilchen und Energieaustausch Zustandssumme (großkanonisch)Zkan(β, µ, V) =TrVe^−β(^H−µNˆ) Energie Erwartungswert D

H−µNˆE

eq = E0 − µN0 =

−∂β^∂ lnZgrk(β, µ, V)

Teilchenanzahl Erwartungswert D NˆE

eq = N0 =

1 β

∂

∂µlnZgrk(β, µ, V) Entropie Sgrk =kB

1−β_∂β^∂ lnZgrk

Gibbsches Potential J(T, µ, V) =−kBTlnZgrk(β, µ, V)

6 klassische Thermodynamik

6.1 Zustandsgr¨ oßen, Zustandsgleichungen

Zustandsgr¨oßen Der statistische Operator, der einen Gleichgewichts- zustand beschreibt, h¨angt nur von wenigen Parametern ab. Diese werden als Zustandsgr¨oßen bezeichnet.

• bei der mikrokanonischen Gesamtheit sind diesE, N, V.

Entropie S(E, N, V) = kBln Ω (E, N, V) = kB

1−β_∂β^∂

lnZgrk/kan/mik

• dS= _T¹dE−T^µdN+_T^pdV

Zustandsgleichungen Die Relationen zwischen abh¨angigen und un- abh¨angigen Zustandsgr¨oßen heißen Zustandsgleichungen

• T =T(E, N, V);µ=µ(E, N, V);p=p(E, N, V) Temperatur T(E, N, V) = ∂ ¹

∂ES(E,N,V)= ^∂E_∂S Chemisches Potenzial −^µ(E,N,VT(E,N,V⁾) =_∂N^∂ S(E, N, V) Druck _T(E,N,V^p(E,N,V)₎= _∂V^∂ S(E, N, V)

Energie E =E(S, N, V)

• dE=T dS+µdN−pdV

• T(S, N, V) = ^dE_dS

N,V

• p=− ^dEdV

S,N

• µ= ^dE_dN

S,V

6.2 Ideales Gas

entspricht einem Mikrokanonischem Ensemble mit N nichtwechsel- wirkender Teilchen der Massemin einem VolumentV

Mikrokanonische Zustandssumme lnω(E, N, V) =

3N(¹3ln^V_N+¹₂ln^E_N+¹₂ln(₃~2^mπ)⁺⁵6)

Entropie ^S=kBN(³2ln(_3π^m~2)^+ln(^VN)⁺³2ln(^EN)⁺⁵2) Energie E(S, N, V) =^3π_m^~2N⁵³V⁻²³e^{3kB N2S −53} Ideale Gasgleichung pV =nRT =N kBT

mitn=_N^N_A undR= 8,314_{K mol}^J

• ist unabh¨angig von der Zahl der Freiheitsgeradef Materialkonstanten

κT

κS = Cp

CV = f+ 2 f =γ κT =1

p = V kBT N Cp =

1 2f + 1

kBN Cp−CV =nR Abiabatengleichung p1V₁^γ =p2V₂^γ

ρ1

ρ2 =

p1

p2

¹_γ

T1

T2 =

V1

V2

γ−1

=

p1

p2

^γ−1_γ

Barometrische H¨ohenformel gibt den Druck in Abh¨angigkeit von der H¨ohe an bei einem Idealen Gas und einer adiabatischen Ath- mosph¨arep(h) =p0

1−h^h0

_γ−1^γ

und bei einer Isothermen Ath- mosph¨arep(h) =p0e^{−mghkB T}

Boltzmannsches ¨Aquipartitionsprinzip jeder der f Freiheitsgerade liefert gleichen Energiebeitrag bei idealen GasE=^f₂N kBT

6.3 Zustands¨ anderungen

reale Prozesse dS >_T¹δQ

Erster Hauptsatz dE=δW +δQ+δEc

Mechanische Arbeit: (Arbeit die am System geleistet wird, wird positiv gez¨ahlt)δW =−pdV

W¨arme: δQ=T dS

Chemischen Potential: ∂Ec=µdN

Duhem-Gibbs-Realtion −SdT−N dµ+V dp= 0

Maxwell-Realtionen (aus zweiten Ableitungen thermodynamischer Potentiale)

∂T

∂V

S,N

=− ∂p

∂S

V,N

∂T

∂p

S,N

= ∂V

∂S

p,N

∂S

∂V

T,N

= ∂p

∂T

V,N

∂S

∂p

T,N

=− ∂V

∂T

p,N

∂T

∂N

S,V

= ∂µ

∂S

V,N

∂p

∂N

V,S

=− ∂µ

∂V

S,N

6.4 Thermodynamische Potenziale

6.4.1 Legendre-Transformation thermodyn. Potentiale

Motivation S(U, V, N) oder auch U(S, V, N) enth¨alt alle Informa- tion ¨uber System. Gew¨unscht: Beziehungen, die von den inten- siven Variablen abh¨angen und dieselben Informationen enthalten

⇒ Ubergang zu Funktionen die von Ableitungen (z.B.¨ ^∂U_∂S =T) abh¨angen.

Allgemeine Beschreibung der Legendre-Transformation: Y (X) → Suche Funktion die von ^dY_dx = P abh¨angt und die selbe Infor- mation enth¨alt.

Notwendige Vorraussetzung zu jedem ^dY_dx^(x) =P0nureinx(inver- tierbar auf Definitionsbereich) / entspricht: ^dY_dx2² 6= 0auf Definiti- onsbereich

eindimenstional Ψ (P) =Y (X(P))−X(P)·P

Umkehrung durch nochmalige Anwendung der Legendre Transforma- tion

6.4.2 Potenziale

Energie E(S, N, V)per Freistellen ausS(E, N, V)

• dE=T dS+µdN−pdV

Freie Energie F(T, N, V) =E−T S

• dF(T, N, V) =−SdT−pdV +µdN

• F(T, N, V) =−kBTlnZkan(β, N, V)

Gibbsches Potential J(T, µ, V) =E−T S−µN=F−µN =−pV

• dJ(T, µ, V) =−SdT−pdV −N dµ

• J(T, µ, V) =−kBTlnZgrk(β, µ, V) Enthalpie H(S, N, p) =E+pV

• dH(S, N, p) =T dS+µdN+V dp

freie Enthalpie G(T, N, p) =F+pV =H−T S=E−T S+pV = µN

• dG=−SdT+µdN+V dp

6.5 Materialkonstanten

Spezifische W¨arme Cx=

δQ dT

x

• Bei konstantem Volumen (und Teilchenzahl) CV =

δQ dT

V = T _dT^dS

V =−T^∂2F(T,N,V_∂T2 ⁾ = _k¹

BT

H²

− hHi²

>0

• Bei konstantem Druck (und Teilchenzahl) Cp = T _dT^dS

p =

−T^∂2G(T,N,p)_∂T2

• Bei niedrigen Temperaturen

→ Metalle:∼αT +βT³

→ Isolatoren:∼αT³

• Bei hohen Temperaturen konstant (S¨attigung) Kompressibilit¨at κx=−V¹

dV dp

x

Isotherme Kompressibilit¨at Bei konstanter Themperatur (und Teilchenzahl)

κT =−V¹

dV dp

T =−V¹

∂²G(T,N,p)

∂p² 1

κT =−V

dp dV

T =V^∂2F(T,N,V_∂V2 ⁾

adiabatische Kompressibilit¨at Bei konstanter Entropie (und Teilchenzahl)

κS =−V¹

dV dp

S =−V¹

∂²H(S,N,p)

∂p² 1

κS =−V _dp

dV

S =V^∂2E(S,N,V_∂V2 ⁾

thermischer Ausdehungskoeffizient bei vorgegeben Druck (und Teilchenzahl)α=_V^{1 dV}_dT

p= _V^{1∂2G(T,N,p)}_{∂T ∂p} =−V¹

dS dp

T

Zusammenhang zwischen den Materialkonstanten CV =Cp−T V_κ^α_T²

κT

κS =_C^C_V^p

Prinzip von Chatelier Jedes System reagiert auf Ver¨anderungen in einer Weise, die den Ursachen der ¨Anderung entgegengesetzt ist.

6.5.1 Jakobideterminanten

Betrachte f =f(x, y)undg=g(x, y) Jakobideterminante

∂(f, g)

∂(x, y) ≡det

∂f

∂x

∂f

∂g ∂y

∂x

∂g

∂y

!

• ^∂(f,g)∂(x,y) =−^∂(g,f)∂(x,y) =−∂(y,x)^∂(f,g)

Kettenregel es sei u=u(x, y)undv=v(x, y), dann gilt

∂(f, g)

∂(x, y) = ∂(f, g)

∂(u, v)

∂(u, v)

∂(x, y)

fallsf undgals Funktionen vonuundv angesehen werden. Spe- ziell gilt

∂(u, v)

∂(u, v) = 1 = ∂(u, v)

∂(x, y)

∂(x, y)

∂(u, v)

wobei zuerst xund y, dannu und v als unabh¨angig angesehen werden

Beispiel CV =T ^dS_dT

V =T^∂_∂(T,V^(S,V)₎

6.6 Phasengleichgewichte

Extremalprinzipien zusammengesetzter Systeme Entropie ∆S≥0 Maximal

Energie ∆E≤0 Minimal

Enthalpie ∆H≤0 Minimal bei vorgegebenenS, N, p freie Enthalpie ∆G≤0 Minimal bei vorgegebenenT, N, p Gibbschen Potential ∆J ≤0Minimal bei vorgegebenenT, µ, V Latente W¨arme Ql≡ −T N

dµ1

dT −^dµdT²

=T·∆S

• Bei Teilchenzahlerhaltung gewonnen f¨ur den Fall das zwei Systeme mitµ1(T, p(T)) =µ2(T, p(T))in Kontakt stehen

• Latente W¨arme Ql ist erforderlich, um die Phase 1 in die Phase 2 zu ¨uberf¨uhren. Sie f¨uhrt nicht zu einer Temperaturerh¨ohung!

Clausius-Clapeyron-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwi- schen latenter W¨arme, Volumen¨anderung und Steigung der Pha- sengrenze imp, T Diagramm

dp dT =−

dµ1

dT −^dµdT²

p

dµ1

dp −^dµdp²

T

= Ql

T·∆V

Phasendiagramm ist eine Darstellung des Raumes der intensiven Va- riablen (typischerweiseT, p) in dem die unterschiedlichen Phasen und die ¨Uberg¨ange dazwischen eingezeichnet sind

p-V Diagramm wirdp(V) dargestellt mitT als Kurvenschaar Para- meter (gr¨oßeresT weiter außen)

6.7 Kreisprozesse, Wirkungsgrad

irreversible Prozesse ∆S >0 reversible Prozesse ∆S= 0

W¨armekraftmaschine ΣUmsetzung von W¨arme in Arbeit Wirkungsgrad η=⁻_∆Q^∆W_Σ^Σ ≤1−^TT²1

• ∆QΣw¨armeren Bad entnommene W¨arme

• Ist mit zwei W¨armeb¨adern der TemperaturT1 undT2 verbunden (T2< T1)

• Optimal z.B. der Carnot Prozess bestehend aus 2 Abiabaten (δQ= ∆S= 0) und 2 Isothermen (∆T = 0)

6.8 Haupts¨ atze der Thermodynamik

Die klassische Thermodynamik l¨asst sich auch axiomatisch einf¨uhren, durch ein vollst¨andiges Systen von Basiss¨atzen (Haupts¨atze der Ther- modynamik) und Ableitung der Konsequezen daraus.

Nullter Hauptsatz Sind zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten System, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht (Transitivit¨at des Gleichgewichts)

• Grundlage f¨ur Temperaturmessung

Erster Hauptsatz Ein System kann durch seine Energie E charak- terisiert werden, die f¨ur ein isoliertes System konstant ist. F¨ur Zustands¨anderungen ¨andert sich die Energie gem¨aß

dE=δW+δQ+δEc

Zweiter Hauptsatz Eine W¨armekraftmaschine hat maximal den Wir- kungsgradη = 1−^TT⁻⁺

Dritter Hauptsatz Wenn die absolute Temperatur gegen Null geht, erreicht die Entropie ihren kleinstm¨oglichen Wert S0, der unab- h¨angig von den Zustandsgr¨oßen des speziellen Systems ist.S0ist nur durch den Entartungsgrad des Zustandes niedrigster Energie bestimmt.

• Konsequenzen daraus f¨ur die W¨armekapazit¨at

Tlim→0CV = 0

Tlim→0Cp= 0

7 Ideale Quantengase

7.1 Besetzungszahldarstellung

Besetzungszahldarstellung f¨ur Zustand Ψ_{nν} ist {nν} = {n1, n2, . . .}

• ni Anzahl der Teilchen im Zustandi Fermionen nν ∈ {0,1}

Bosonen nν∈N

Mittlere Besetzungszahl hNi=P

νhnνi Mittlere Energie hHi=P

νEνhnνi

Gibbs-Potential J(T, µ, V) = −pV = −kBTlnZgrk =

±kBTP

νlnh

1∓e^{−Eν−µkB T} i

• Vorne:−=Fermionen,+=Bosonen

7.2 Einatomiges verd¨ unntes Gas

Entartung gν

• Spinentartunggν = 2s+ 1 Bosonen lnZ_grk^(B)=−P

νgνln

1−e^{−β(Eν−µ)} Mittlere Besetzungszahl D

n^(B)ν

E= _{eβ(Eν−µ)}^gν

−1

Fermionen lnZ_grk^(F)= +P

νgνln

1 +e^{−β(Eν−µ)} Mittlere Besetzungszahl D

n^(F)ν

E=_{eβ(Eν−µ)}^gν ₊₁ Große Temperaturen Eν−µ≫kT

Mittlere Besetzungszahl hnνi ≈e^βµe^−βEν Boltzmann-Faktor e^−βEν

Einatomiges Gas d.h. keine inneren Freiheitsgerade, kein Potential da freie TeilchenEν = _2m^~2~k²

thermische de Brogliewellenl¨ange λ(T) =q

2π~2

mkBT

Klassischer Grenzfall mit ^~_2m^2~k2 −µ ≫ kBT ergibt J(T, µ, V) =

−gIkBT V e^{kB Tµ} λ⁻³(T)

• pV =N kBT

• µ=−kBTln _g

IV λ³(T)N

• E= ³₂N kBT unabh¨angig vongI

• Geschwindigkeitsverteilungp(~v) = (p(vi))³ p(vi) =

m 2πkBT

¹2

e⁻

mv2 i 2kB T

Korrekturen durch QM pV =N kBT

1∓^λ3(T)

2⁵²gI

N V +. . .

• −Bosonen,+Fermionen

7.3 Entartetes Fermigas

Grundzustand f¨ur T = 0istlimT→0

D ns

~kE

= Θ µ−ε

~k Fermi-Energie εF =µ(T = 0)

Fermi-Wellenzahl kF = 3π^2N_V¹3

Fermi-Temperatur ΘF = _2kBΩ³_1(εF) Freies Gas f¨urε

~k

=_2m^p~2 und f¨ur gI = 2

Fermi-Impuls εF = _2m^~p2F = ^~_2m^2k2F = _2m^~2 3π^2N_V²3

Grundzustandsenergie E0= ³₅N εF

Fermi-Temperatur ΘF = ^ε_k^F

b

7.3.1 Verallgemeinerung der Einteilchenenergie

auf ein Teilchen bezogene Zustandsdichte Ω1(ε) =

V N

P

s

R _d³_k

(2π)³δ ε−ε

~k

• freie TeilchenΩ^{f rei}₁ = ³₂q _ε

ε³_F

• hiermit geht nun _N¹ R _d³_k

(2π)³·f

~k

·D n

~kE

→R

dε·f(ε)

• Allgemein giltR_∞

−∞dεΩ1(ε) ¹

e

ε−µ kB T+1

= 1

Chemisches Potential f¨ur kleine T ist µ(T) ≈ εF

1−^π12²

kBT εF

2

+. . .

Energie f¨ur kleineT istE(T)≈E0+N^π₄^2kB_Θ^T2

F

Spezifische W¨arme CV =^π₂²N kB T ΘF

7.4 Bose-Einstein-Kondensation

Grundzustand f¨urT = 0isthnνi=

(N0 ν= 0 0 sonst

• N0=N(T = 0)

• E0=µ(T = 0)

Bose-Einstein-Kondensation

N0

N =





 1−

T Tc

³₂

= 1−ⁿN^cV f¨ur ^N_Vλ³≥ξ ³₂

0 sonst

• ξ ³₂

≈2.612

Kritische Temperatur Tc=

N V ξ(³2)

²₃

2π~² mkB

Kritische Dichte nc = ^ξ(³2)

λ³(T)

7.5 Photonen / Bosonische Gase

Randbedingung ~k·E~ = 0⇒~khat nur 2 Freiheitsgerade!

Einteilchenenergie ε

~k

=~ω

~k

=~c ~k

Freie Energie F =−3⁴ σ

cV T⁴= 2kBT VR _d³_k

(2π)³ln

1−e⁻

~c|^~k|

kB T

Entropie S =¹⁶₃ ^σ_cV T³ Energie E = 4^σ_cV T⁴ Druck p= ⁴₃^σ_cT⁴

Zustandsgleichung p= ¹₃^E_V

Stefan-Boltzmann-Gesetz I=σT⁴

• Gesamte pro Zeiteinheit und Fl¨ache angestrahlte Energie

• Schwarzk¨orperstrahler

Spektrale Verteilung der Energie u(λ)dλ =

15 λTπ⁴

E V

λT

λ

⁵ 1 e^λTλ −1

dλ

• λT = ^2π_kB^~_T^c die Wellenl¨ange eine Photons mit EnergiekBT

• λmax≈1,265_k^~_B^c_T

• Schwarzk¨orperstrahler

Rayleigh-Jeans-Gesetz f¨ur λ ≫ λmax erh¨alt man u(λ)dλ =

8πckBT λ⁴ dλ

7.6 Phononen

Phononen sind Schwingungsmoden in Festk¨orpern, der sich als 3N harmonische Oszillatoren n¨ahern l¨asst.

Einteilchenenergie ελ

~k

=~ωλ

~k

ist abh¨angig von der Schwin- gungsrichtungλ

erste Brillouin-Zone ~k

≤^πa f¨uraAbstand der Gitteratome Zustandsdichte R

dεΩ1(ε) = 3

Stefan-Boltzmann-Konstante-Phononen σP h =₆₀^π2~^k3^4Bc²

Grenzfall kleiner~k gilt f¨ur akustische Phononen (bei nur einer Atom- sorte sind alle Phononen akustisch)ωλ

~k

=cλ(~e) ~k

dabei ist cλ(~e) die Schallgeschwindigkeit f¨ur Polarisation λ und Ausbrei- tung in Richtung~e= ^~k

|^~k|

Mittlere Schallgeschwindigkeit _c¹3 = ¹_34π¹ P

λ

R d²~e_c3¹ λ(~e) ≈

1 3

1 c³_L +_c²3

T

Einteilchenenergie bei kleinenT ist ^E_N ≈6σP h1 cV T⁴ Spezifische W¨arme CV = 24σP h1

cV T³ bei kleinenT

• bei Isolatoren! ansonsten tragen bei Metalle bei Leitungselektro- nen mit∼T dazu st¨arker bei! (entartetes Fermigas)

Debye-N¨aherung Ω1(ε) = _2π2^3V~³N c³ε²Θ (εD−ε) Debye-Energie εD

Debye-Temperatur ΘD= ^ε_k^D

B =

6π²N V

¹_{3 ~}

c kB

Spezifische W¨arme C_V^(D)≈3N kB f¨urT ≫ΘD

8 Reale Gase

Ber¨ucksichtigt die Wechselwirkung zwischen den Teilchen.

8.1 Virialentwicklung

Virialentwicklung ist eine Entwicklung der Zustandsgleichung in Po- tenzen der Dichten=^N_V

pV

N kBT = 1 +B2(T)n+B3(T)n²+. . .

• VirialkoeffizientenBi

Fugizit¨at y = e^βµ ist f¨ur niedrige Dichten und hohe Temperaturen

≪1

• Ideales Gase^βµ=^λ_g³_Inmitλ(T) =q

2π~² mkBT

Gibbsches Potential soll entwickelt werden J(T, µ, V) =−pV

=−kBTlnTre^{−β(H−µN)}

=−kBTlnX

N

e^βµNzN

≈ −kBT

z1y+

z2−z₁² 2

y²+. . .

• ZN =Kanonische Zustandssumme f¨ur den Fall f¨urN Teilchen

• B2=− z2−^z2¹²

V z₁² =−¹2

Rd³r e⁻

W(|~r|) kB T −1

• z1=V (2πmkBT)³²

• z2=¹₂z₁²_V¹ R d³re⁻

W(|~r|) kB T

W(|~r|) =2-Teilchen WW-Potential

• F¨urW(r) =

(∞ f¨urr < a

w(r) sonst erh¨alt man:

→ B2(T) ≈ −¹2

−^4π3 a³+ 4πR_∞

a dr·r²

−^w(r)kBT

= b0−

b1

kBT

→ b0= ^2π₃ a³

→ b1=−2πR_∞

0 dr·r²w(r)

8.2 Van der Waals-Gleichung

Van der Waals-Gleichung

p+ b1

v² = kBT v 1−^bv⁰

= kBT v−b0

• der Druck ist gegen¨uber der idealen Gasgleichung aufgrund der Anziehungskraft zwischen den Teilchen reduziert um denBinnen- druck ^b_v¹2

• gegen¨uber der idealen Gasgleichung ist das f¨ur die Teilchen ver- f¨ugbare Volumen reduziert um dasKovolumen b0, da die Atome einen endlichen Radius ausweisen

• Ausgedr¨uck durch die Dichten=^N_V ist

p=bBT n 1

1−b0n− b1

kBTn

n³−n²

b0 +n(kBT +pb0) b0b1 − p

b0b1 = 0

Kritischer Punkt hat die Eigenschaft, das die Zustandsgleichung in nhier eine 3fache Nullstelle besitzt

(n−nc)³= 0

• nc= _3b¹₀ Vc= 3b0N

• pc=_27b^b12 0

• kBTc= _27b^8b1

0

9 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene

9.1 Kritischer Punkt in der Van der Waals-Theorie

isotherme Kompressibilit¨at mit kritischer Dichte n =nc ist κT =

4b0

3kB(T−Tc)^−γ

• Kritischer Exponentγ= 1

Druck nahe des Kritischen Punktesp−pc≈2n^b1c(n−nc)^δ

• Kritischer Exponentδ= 3

Dichte nahe des Kritischen Punktesn−nc∼(Tc−T)^β

• Kritischer Exponentβ= ¹₂

9.2 Korrelationsfunktion und Skalengesetze am kri- tischen Punkt

Isotherme Kompressibilit¨at ist mit Schwankungen der Dichte ver- kn¨upft

κT = V kBT

1 N²

N²

− hNi²

= 1

kBT n² Z

d³rhn(~r), n(0)iC

Damit dies am kritischen Punkt divergiert,nc aber endlich bleibt musshn(~r), n(0)iC ∼ ^e−

r ξ

r^1+η die gegebene Gestalt haben. Daraus folgtξ∼ |T −Tc|^−v mitv=₂₋^γ_η

• ξKorrelationsl¨ange

• η anomale Dimension

• F¨ur Van der Waals-Theorie gilt γ= 1,η= 0,v= ¹₂

9.3 Ising-Modell und Kritische Exponenten

Ist als einfaches Modell eines Ferromagneten zu verstehen Engergie H =−JP

hi,jisisj−µBP

isi

• hi, jiist1wenni, j Nachbarn sind, sonst0

• KopplungJ

• Externes MagnetfeldB

mean field-N¨aherung bzw.Molekularfeldn¨aherung ist eine Methode die konkreten Werte der Nachbarn durch deren Erwartungswerte zu ersetzen und diesen mit dem Erwartungswert f¨ur das aktuelle Teilchen gleichzusetzen (Selbstkonsitenz) und hieraus Beziehun- gen abzuleiten.

• Energieerwartungswert f¨ur ein Teilchen Ei =−J si

X

hi,ji

hsji −µBsi

E_i^± =∓qJ M∓µB

• Spinerwartungswert f¨ur ein Teilchen

M =hsii=tanh qJ

k_BTM + µB k_BT

→ von den 3 M¨oglichen L¨osungen sind 2 unstabil.

→ unterhalb einer Kritischen Temperatur vonTc= _k^qJ_B existiert nur noch eine L¨osung der Gleichung beiM = 0

• Magnetisierung f¨urB= 0 istM ∼(Tc−T)^β mitβ= ¹₂

• Suszeptibilit¨at f¨ur B = 0 mit χT = ^∂M_∂B^total

B=0 ist χT ∼ (T−Tc)^−γ mitγ= 1

• Kritische Isotherme mitT =Tc istB∼M^δ mitδ= 3

• Vergleich mit derVan der Waals-Theorie zeigt M(T)⇔∆n(T)

χT(T)⇔κT(T) M(B)⇔∆n(P)

Index

Abiabatengleichung,3

adiabatischeKompressibelit¨at,4 anomale Dimension,7

Ausdehungskoeffizient,4 BarometrischeH¨ohenformel,3 bedingte Wahrscheinlichkeit,1 Besetzungszahldarstellung,5 Binnendruck,7

Binomialentwicklung,1 Binomialkoeffizient,1 Binomialverteilung,1

Boltzmannsches¨Aquipartitionsprinzip,3 Bose-Einstein-Kondensation,6

Bosonen,5

ChemischesPotenzial,3

Clausius-Clapeyron-Gleichung,4 Debye-N¨aherung,6

Druck,3

Duhem-Gipps-Realtion,3 EinatomigesGas,5 Einteilchenenergie,5 Energie,3,4 Energiefl¨ache,2 Ensemble,2 Entartung,5 Enthalpie,4 Entropie,3

ersteBrillouin-Zone,6 ErzeugendeFunktion,2 Extremalprinzipien,4 Fermigas,5

Fermionen,5 FreieEnergie,3,4 freieEnthalpie,4 Fugizit¨at,6

Gamma-Funktion,1 GeometrischeReihe,1 Gesamtheit,2

GibbschesPotential,3–5 Gleichverteilung,2

GroßkanonischeGesamtheit,3 H¨ohenformel,3

Haupts¨atze der Thermodynamik,5 Ideale Gasgleichung,3

Ideale Quantengase,5 IdealesGas,3

Information,2 irreversibleProzesse,5 Isolatoren,4

IsothermeKompressibelit¨at,4 Jakobideterminante,4 KanonischeGesamtheit,3 Kombinationen,1 Kompressibilit¨at,4 Korrelationsl¨ange,7 Korrespondenzprizip,2 Kovarianz,1

Kovolumen,7 KritischeDichte,6

KritischerPunkt,7 KritischeTemperatur,6 Kumulanten,2

LatenteW¨arme,4

Legendre-Transformation,4 Liouville-Gleichung,2 Makrozust¨ande,2 Materialkonstanten,3,4 Maxwell-Realtionen,3 Metalle,4

MikrokanonischeGesamtheit,2 Mittelwert,1

MittlereBesetzungszahl,5 MittlereSchallgeschwindigkeit,6 Molekularfeldn¨aherung,7 Moment,2

Normalverteilung,2 p-VDiagramm,4 Permutation,1 Phasendiagramm,4 Phasengleichgewichte,4 Phasenraumvolumen,2 Phononen,6

Photonen,6 Poisson-Klammer,2 Potenziale,4

PrinzipvonChatelier,4 Quantengase,5 Quantenmechanik,2 Reale Gase,6

Repr¨asentatives Ensemble,2 reversibleProzesse,5 Schwarzk¨orperstrahler,6 SpektraleVerteilung,6 Spezifische W¨arme,4,6 Standardabweichung,1 Statistischer Operator,2 Stefan-Boltzmann-Gesetz,6 StirlingFormel,1

Temperatur,3

thermischedeBrogliewellenl¨ange,5 thermischerAusdehungskoeffizient,4 unabh¨angig,1

Unvereinbar,1

Van der Waals-Gleichung,7 Varianz,1

Vereinigung,1 Virialentwicklung,6 von Neumann-Gleichung,2 W¨armekapazit¨at,5 W¨armekraftmaschine,5 Wahrscheinlichkeit,1 Wirkungsgrad,5 Zustands¨anderungen,3 Zustandsdichte,5 Zustandsgleichungen,3 Zustandsgr¨oßen,3