Theoretische Physik B

Theoretische Physik B

Institut f¨ur Theoretische Teilchenphysik

Prof. Dr. M. Steinhauser, Dr. D. Seidel SS 08 – Klausur

www-ttp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/ Bearbeitungsdauer: 2 Stunden

Name: Gruppe:

Matrikelnummer:

Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.

Die R¨uckgabe der Klausur erfolgt am Freitag, den 18.07.08 zwischen 13:15 und 14:15 im Lehmann- H¨orsaal.

Aufgabe: 1 2 3 4 P

Punkte: 18 8 11 13 50

Aufgabe 1 18 Punkte

(a) [5P]Leiten Sie aus dem Hamiltonschen Prinzip die Euler-Lagrange-Gleichungen her. Der Einfachheit halber k¨onnen Sie ein System mit einem Freiheitsgrad betrachten.

(b) [2P]Gegeben sei die LagrangefunktionL(x, θ,x,˙ θ) =˙ ^M₂x˙²+^m₂l²θ˙²+mxl˙ θ˙cosθ+mglcosθ.

Gibt es zyklische Koordinaten? Falls ja, wie sehen die zugeh¨origen Bewegungskonstanten aus. Ist die Energie erhalten?

(c) [3P]Geben Sie die Symmetrietransformationen an, welche zur Energie-, Impuls- bzw. Dre- himpulserhaltung f¨uhren (in Worten oder in Formeln).

(d) [2P]Was sind kanonische Transformationen?

(e) [4P]Berechnen Sie die Poissonklammern{Li, pj}(i, j = 1,2,3), wobeiLidie Komponenten des Drehimpulsvektors eines Massenpunktes bezeichnen.

(f) [2P]Bestimmen Sie die Poissonklammer {V , H}~ des Runge-Lenz-Vektors V~ = ~p×~L− mα~r/r mit der Hamiltonfunktion H eines Teilchens, das sich im Potential V = −α/|~r|

bewegt (ohne die Poissonklammer explizit zu berechnen).

Bitte wenden

Aufgabe 2 8 Punkte (a) [3P]Zeigen Sie, dass die beiden Lagrangefunktionen L₁ = q² + ˙q² und L₂ = (q + ˙q)² dieselben Bewegungsgleichungen ergeben und verifizieren Sie, dass sich die Differenz der Lagrangefunktionen als totale Zeitableitung einer Funktion schreiben l¨aßt.

(b) [5P]Gegeben sei die Hamiltonfunktion

H =q₁p₁−q₂p₂−aq²₁+bq²₂. Zeigen Sie, dass

K = p₂−bq₂ q₁ eine Konstante der Bewegung ist.

Aufgabe 3 11 Punkte

Ein homogener Kreiszylinder (Radius a, H¨ohe h, Masse M) oszilliert reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft um eine Achse durch O, die parallel zu der durch den Punkt S verlaufenden Symmetrieachse verl¨auft (siehe die in der Abbil- dung gezeigte Draufsicht). Der Abstand OS sei l.

(a) [4P]Berechnen Sie das Tr¨agheitsmoment bez¨uglich der Drehachse durchO.

(b) [7P]Stellen Sie die Lagrangefunktion auf und leiten Sie daraus die Bewegungsgleichung her. Bestimmen Sie die Frequenz ω der Oszillation f¨ur kleine Auslenkungen aus der Ruhelage.

θ S O

l

a

~g

Aufgabe 4 13 Punkte

Betrachten Sie zwei Pendel (gleiche L¨angen l, gleiche Massenm) im konstanten Schwerefeld, die im Abstand d aufgeh¨angt sind. Die Pendel sind durch eine Feder (Federkonstante k) verbunden, die im unausgelenkten Zustand die L¨angedbesitzt.

(a) [8P]Geben sie die Lagrangefunktion und die Be- wegungsgleichungen unter Verwendung der un- abh¨angigen Koordinatenφ₁, φ₂ f¨ur kleine Auslen- kungen aus der Gleichgewichtslage an (siehe Ab- bildung).

(b) [5P] Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Sy- stems. Wie sehen die zugeh¨origen Eigenschwin- gungen aus?

d

φ₁ φ₂

l l

~g

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Institut f¨ur Theoretische Teilchenphysik

Prof. Dr. M. Steinhauser, Dr. D. Seidel SS 08 – Nachklausur

www-ttp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/ Bearbeitungsdauer: 2 Stunden

Name: Gruppe:

Matrikelnummer:

Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.

Die R¨uckgabe der Klausur erfolgt am Dienstag, den 16.09.08 zwischen 11:00 Uhr und 12:00 Uhr im Seminarraum 6.1.

Aufgabe: 1 2 3 4 P

Punkte: 11 15 12 12 50

Aufgabe 1 11 Punkte

Ein Fahrzeug ist mit der Menge J Treibstoff betankt. Der Treibstoffverbrauch pro Zeiteinheit betrage

df

dt =av+bv˙²,

wobeiv(t) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs ist (a, bsind positive Konstanten). Zu Beginn der Fahrt sei v(0) = 0. Bestimmen Sie dasjenige v(t), f¨ur welches die zur¨uckgelegte Distanz D bei vorgegebener ZeitT maximal wird.

Hinweis: Bestimmen Sie das FunktionalD[v], welches die zur¨uckgelegte Distanz wiedergibt. Die Nebenbedingung k¨onnen Sie durch folgenden Trick einbauen: Fordern Sie f¨ur einen beliebigen Pa- rameter λstation¨ares Verhalten des Funktionals ˜D[v] :=D[v] +λ

J−R _df

dtdt

≡R

dtF(v,v, t).˙ Die L¨osungv(t) des VariationsproblemsδD[v] = 0 h¨angt vom Parameter˜ λab. W¨ahlt man die- sen so, dass die Nebenbedingung erf¨ullt ist, so hat man die Variationsaufgabe δD[v] = 0 unter Ber¨ucksichtigung der Nebenbedingung gel¨ost. Beachten Sie, dass die Formel f¨ur den Treibstoff- verbrauch nur f¨ur positive Geschwindigkeiten sinnvoll ist. Da der Wert vonv(T) nicht vorgegeben ist, m¨ussen Sie zus¨atzlich ^dF_d˙v(T) = 0 fordern.

Bitte wenden

Aufgabe 2 15 Punkte Eine auf einer horizontalen Ebene liegende starre Halbkugel (konstante Massendichte, Gesamt- masseM, RadiusR) werde so angestoßen, dass sie im konstanten Schwerefeld eine ebene Schau- kelbewegung ausf¨uhrt, wobei sie auf der Ebene ohne zu gleiten abrollt.

(a) [6P] Finden Sie die Lage des Schwerpunkts im k¨orperfesten Bezugsystem, dessen Ursprung im Zentrum der Kugel liegt (siehe Abbildung). Be- rechnen Sie das Tr¨agheitsmoment bez¨uglich einer Achse durch den Schwerpunkt, die auf der Sym- metrieachse der Halbkugel senkrecht steht.

(b) [9P]Stellen Sie die Lagrangefunktion und die Be- wegungsgleichung auf und bestimmen Sie die Fre- quenz von kleinen Schwingungen um die Gleich- gewichtslage.

R S

θ

Aufgabe 3 12 Punkte

Gegeben sei folgendes System: Zwei Massenpunkte gleicher Masse m sind so angebracht, dass sich der eine nur in x₁- Richtung und der andere dazu senkrecht nur in x₂-Richtung bewegen kann. Die Massen sind mit dem Ursprung mit zwei Federn der unausgelenkten L¨ange a verbunden, sowie diago- nal untereinander mit einer Feder der unausgelenkten L¨ange

√2a. Die sich ergebene Ruhelage der Massen (x₁ =a, x₂ =a) ist somit stabil. Alle drei Federn besitzen die gleiche Feder- konstante k. Es wirken keine ¨außeren Kr¨afte. Reibungskr¨afte sollen unber¨ucksichtigt bleiben.

a

a x₁

x₂

(a) [3P]Stellen Sie die Lagrangefunktion in den Koordinaten ηi≡xi−aauf.

(b) [4P]Entwickeln Sie die Lagrangefunktion bis zur zweiten Ordnung in den kleinen Auslen- kungen |η_i| ≪a und leiten Sie die Bewegungsgleichungen ab.

(Hinweis:√

1±u= 1±^u₂ +O(u²) f¨uru≪1)

(c) [5P]Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.

Aufgabe 4 12 Punkte

(a) [5P] Leiten Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen her. Der Einfachheit halber k¨onnen Sie ein System mit einem Freiheitsgrad betrachten.

(b) [7P]Die Hamiltonfunktion eines Systems sei H(q, p) = 1

2 1

q² +p²q⁴

.

Geben Sie die kanonischen Gleichungen an. Suchen Sie dann eine kanonische Transfor- mation mit F₁(q, Q), so dass die neue Hamiltonfunktion H^′(Q, P) die Form eines har- monischen Oszillators hat und zeigen Sie, dass die L¨osung der Bewegungsgleichung in den transformierten Variablen (ausgedr¨uckt durchq undp) tats¨achlich die urspr¨unglichen Hamiltonschen Gleichungen erf¨ullt.

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