Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung!
Hans Walser
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www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20180306!
Handout!
Handout! Aktivität!
!
• Ausschneiden nach Höhen!
• Der Größe nach sortieren!
• Wieder zum Dreieck zusammenfügen!
Handout! Aktivität!
!
• Ausschneiden nach Höhen!
• Der Größe nach sortieren!
• Wieder zum Dreieck zusammenfügen!
Handout! Aktivität!
!
• Der Größe nach ausmalen!
• Farben auszählen!
Am Anfang war das rechtwinklige Dreieck!
1!
Am Anfang war das rechtwinklige Dreieck!
Unterteilung durch die Höhe!
1!
1!
Unterteilung durch die Höhe!
!
Anregungen:!
!
Hölzl, Reinhard (2017): Dreiecke in Dreiecke zerlegen. ! Welche Eigenschaften und Zusammenhänge findest du? ! ml mathematik lehren 201, 12-15. !
!
Glötzner, Fabian (2017): Binomialverteilung erkunden. ! Beispiele untersuchen, systematisieren und erweitern. ! ml mathematik lehren 201, 36-41. !
Unterteilung durch die Höhe!
1!
1!
1!
2!
1!
Weitere Unterteilung durch die Höhen!
3!
3! 1!
1!
Noch eine Unterteilung durch die Höhen!
6!
4! 4!
1! 1!
Die Zahlen!
1
1 1
2
1 1
1 3
3 1
1 4 6 4 1
00
( )
10
( ) ( )
1102
( ) ( )
12( )
2203
( ) ( )
13( )
23( )
3304
( ) ( )
14( )
24( )
34( )
44Binomialkoeffizienten!
1
1 1
2
1 1
1 3
3 1
1 4 6 4 1
00
( )
10
( ) ( )
1102
( ) ( )
12( )
2203
( ) ( )
13( )
23( )
3304
( ) ( )
14( )
24( )
34( )
44Einsicht?!
Einsicht?!
Nächster Schritt!
Nächster Schritt!
Unterteilung!
Verteilung!
Verteilung!
Verteilung!
Rekursion!
1
1 1
2
1 1
1 3
3 1
1 4 6 4 1
nk
( )
=( )
nk−1−1 +( )
n k−1k3
( )
=( )
k 2−1 +( )
2kRekursion!
1
1 1
2
1 1
1 3
3 1
1 4 6 4 1
nk
( )
=( )
nk−1−1 +( )
n k−1k3
( )
=( )
k 2−1 +( )
2ka c b
Geometrie in Verhältnissen!
Ähnlichkeitsfaktoren (Längenmaßstäbe)!
a c b
ac
bc
a b
Flächenmaßstäbe!
a c b
ac
( )
2bc
( )
2a b
Nur eine Definition !
(relative Hypotenusenabschnitte) !
p =
( )
ac 2q =
( )
bc 2⎫
⎬⎪
⎭⎪ ⇒ p + q = a2+b2
c2 =1
Nur eine Definition !
(relative Hypotenusenabschnitte) !
p =
( )
ac 2q =
( )
bc 2⎫
⎬⎪
⎭⎪ ⇒ p + q = a2+b2
c2 =1
Nur eine Definition !
(relative Hypotenusenabschnitte) !
p =
( )
ac 2q =
( )
bc 2⎫
⎬⎪
⎭⎪ ⇒ p + q = a2+b2
c2 =1
pc =
( )
ac 2 c = ac2qc =
( )
bc 2 c = bc2⎫
⎬⎪
⎭⎪ Kathetensatz Absolute Hypotenusenabschnitte !
a c b
ac
( )
2 = pbc
( )
2 = qpc
qc
Absolute Hypotenusenabschnitte !
Flächenmaßstäbe!
a c b
ac
( )
2bc
( )
2a b
Flächenanteile!
ac
( )
2 = p( )
bc 2 = qFlächenanteile bei zweimaligem Unterteilen!
1p2 2pq 1q2
Flächenanteile bei zweimaligem Unterteilen!
1p2 2pq 1q2
Genau genommen:! qp + pq
Vom kleineren das größere
plus vom größeren das kleinere!
Flächenanteile bei dreimaligem Unterteilen!
1p3 3p2q 3pq2 1q3
Flächenanteile bei viermaligem Unterteilen!
1p4 4 p3q 6p2q2 4 pq3 1q4
Flächenanteile bei n-maligem Unterteilen!
!
Binomialverteilung:!
n- te Unterteilung
Flächenanteil aller k - ten Dreiecke =
( )
kn pkqn−kUnd wo bleibt der Baum?!
p pq
pq2
pq2 pq2 pq
p2
q2
q3 p3 p2q p2q
p2q q
1
1 3
3 Und wo bleibt der Baum?!
Am Anfang war das Quadrat!
Gruß von Pythagoras!
Einheitliche Orientierung!
Doppelter Gruß von Pythagoras!
Einheitliche Orientierung!
Anzahl und Größe der Binomialverteilung!
Anzahl und Größe der Binomialverteilung!
Anzahl und Größe der Normalverteilung?!
Danke!
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