4. Globale Zirkulation und Wetterlagen

Ausbildungsseminar Wetter und Klima, WS 12/13

Globale Zirkulation und Wetterlagen

Probst Willi

22. November 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 2

1.1 Strahlungsbilanz der Erde . . . 2

1.2 Kräfte . . . 2

1.2.1 Druckgradientkraft . . . 2

1.2.2 Corioliskraft . . . 3

1.2.3 Reibungskraft . . . 3

1.2.4 Zentrifugalkraft . . . 3

1.3 Eigenschaften von Geschwindigkeitsfeldern . . . 4

1.3.1 Konvergenz und Divergenz . . . 4

1.3.2 Krümmungs- und Scherungsvorticity . . . 5

1.3.3 absolute Vorticity . . . 7

1.3.4 potentielle Vorticity . . . 7

1.4 Geostrophischer Wind . . . 9

2 Globale Zirkulation auf ruhender Erde 11 3 Atmosphärische Zirkulation auf rotierender Erde 12 3.1 Hadleyzelle . . . 12

3.2 Polarzelle . . . 13

3.3 Ferrelzelle . . . 13

3.3.1 Frontalzone . . . 13

3.3.2 Jetstreams . . . 14

3.3.3 Barotrope Rossby-Wellen . . . 15

3.3.4 Barokline Rossby-Wellen . . . 18

3.3.5 Zyklonen und Antizyklonen in der Westwinddriftzone . . . 19

4 Großwetterlagen in Europa 22 4.1 Westlage . . . 22

4.1.1 Nordwestlage . . . 23

4.1.2 Südwestlage . . . 23

4.2 Ostlage . . . 23

4.3 Südlage . . . 24

4.4 Nordlage . . . 24

4.5 Tief über Mitteleuropa . . . 25

4.6 Hoch über Mitteleuropa . . . 26

5 Quellen 27

1 Grundlagen

1.1 Strahlungsbilanz der Erde

Im langjährigen Mittel weisen die Polkappen ein Strahlungsdefizit auf, da dort die Strah- lung in einem relativ flachem Winkel auftrifft und eine lange Zeit im Jahr gar keine Ein- strahlung vorhanden ist (Polarnacht). In den tropischen Regionen (40 Grad Nord- und Südlich des Äquators) besteht ein Strahlungs- und Energieüberschuss, da dort ganz- jährig eine Einstrahlung mit hoher Intensität herrscht. Abbildung 1 zeigt die Abhän- gigkeit der Nettostrahlung von der geographischen Breite.

Abbildung 1.1: mittlere Strahlungsbilanz der Erde; Quelle: Matthias Forkel www.klima-der-Erde.de)

Um diese ungleiche Energieverteilung auszugleichen muss die Energie aus den Äquatornahen Bereichen in die Regionen an den Polen transportiert werden. Dies er- folgt durch die Windsysteme der atmosphärischen Zirkulation und durch die Meeres- strömungen.

1.2 Kräfte

Zur Beschreibung der dynamischen Vorgänge in der Atmosphäre sind 4 Kräfte essenti- ell, die im folgenden vorgestellt werden.

1.2.1 Druckgradientkraft

Durch unterschiedlich starke Erwärmung und Abkühlung auf der Erde entstehen groß- räumige Druckgebilde zwischen denen ein Druckgradient existiert. Überall, wo ein Druckgradient existiert gibt es auch die entgegen den Druckgradienten gerichtete Druck- gradientkraft, die sich pro Masseneinheit wie folgt berechnet

F~_p= −∇p

Damit ergibt sich für die Beschleunigung der Volumeneinheit

Die Druckgradientkraft steht also senkrecht zu den Isobarenflächen und zeigt vom Hoch- zum Tiefdruckgebiet. Je näher die Isobaren beieinander liegen, desto größer ist die Druckgradientkraft und damit auch die daraus resultierende Windstärke des Gra- dientenwindes.

1.2.2 Corioliskraft

Eine wichtige Rolle beim globalen Wettergeschehen spielt die Corioliskraft. Die Erde rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit~ωum die eigene Achse. Jeder Körper, der sich diesem rotierenden Bezugssystem mit der Geschwindigkeit~v bewegt erfährt die Wirkung der Corioliskraft. Diese berechnet sich zu:

F~_C= −2m(~ω×~v)

Die Corioliskraft ist also stets senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet. Damit wirkt die Corioliskraft nur ablenkend auf ein Luftpaket, kann es aber in Bewegungs- richtung nicht beschleunigen, d.h. auch keine Arbeit an ihm verrichten. Für das Wet- tergeschehen ist die Horizontalkomponente der Corioliskraft wichtiger, die Vertikal- komponente kann aufgrund der Vertikalen Komponente der Druckgradientkraft und der Gravitation vernachlässigt werden. Der Betrag der Corioliskraft beträgt:

F_C=2mωvsinϕ=f m v

mit dem Coriolisparameter f =2ωsi nϕ, wobeiϕauf der Erde den Breitengrad be- zeichnet. Aus der Formel ist ersichtlich, dass die Corioliskraft am Äquator verschwindet und an den Polen maximal wird. Da am Äquator die Corioliskraft verschwindet haben dort unterschiedliche Luftdruckgebiete keine lange Lebenszeit, da dort durch die feh- lende Ablenkung ein rascher Druckausgleich stattfindet. Winde und Strömungen wer- den auf der Nordhalbkugel nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links abgelenkt.

Dies führt dazu, dass sich auf der Nordhalbkugel Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn, Tiefdruckgebiete gegen den Uhrzeigersinn drehen. Auf der Südhalbkugel drehen die Druckgebiete dementsprechend genau anders herum.

1.2.3 Reibungskraft

Am stärksten Tritt die Reibungskraft in der Atmosphäre in den Bodennahen Luftschich- ten in Form von Bodenreibung in Erscheinung. In diesem Bereich ist die Reibungskraft ähnlich stark wie die anderen Kräfte. Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwin- digkeit und es gilt:

F~_r = −α~v

Nach oben hin nimmt die Reibungskraft ab, so dass sie über dem Meer in 500m, dem Land in 1000m und im Gebirge bei 2-3km vernachlässigbar wird. Da durch die Reibungskraft die Strömungsgeschwindigkeit der Luftmassen geringer wird nimmt mit zunehmender Reibungskraft die Corioliskraft ab.

1.2.4 Zentrifugalkraft

Luftmassentransporte erfolgen häufig auf gekrümmten Bahnen, weswegen man die vom Mittelpunkt eines Kreises aus gesehen nach außen gerichtet noch berücksichti- gen muss. Die Zentrifugalkraft ist gegeben durch

F~_{z f} = −m~Ω×(~Ω×~r)= −ω²~r

Hierbei bezeichnet~r den Radiusvektor des Breitenkreises, wobei gilt

|~r| =r_ecosϕ

1.3 Eigenschaften von Geschwindigkeitsfeldern

Zu den meteorologischen Zustandsgrößen gehören der Druck, die Temperatur, der Wind und die Feuchte. Diese Größen werden in Skalar- und Vektorfeldern dargestellt.

Im folgenden sollen nun die Stromfeldeigenschaften des Geschwindigkeitsfelds unter- sucht werden.

1.3.1 Konvergenz und Divergenz

Die Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes ist eine Skalare Größe, die durch Anwen- dung des Nabla Operators Operators auf das Feld des Geschwindigkeitsvektors ent- steht:

~∇ ·~v=∂u

∂x +∂v

∂y+∂w

∂z =∂uk

∂x_k

Unter Divergenz kann man sich das Auseinanderströmen der Luft oder einer Flüs- sigkeit an einem Raumpunkt vorstellen, hat die Divergenz ein negatives Vorzeichen bezeichnet man das als Konvergenz und versteht darunter ein Zusammenströmen.

Die folgende Grafik veranschaulicht die beiden Begriffe noch anhand einer zweidi- mensionalen Strömung.

Abbildung 1.2: Divergenz und Konvergenz eines horizontalen Strömungsfeldes; Quelle: Klose, 2008

Für die zweidimensionale Strömung wird noch ein neues Koordinatensystem ein- geführt, das nicht fest im Raum definiert ist, sondern sich mit den Luftpartikeln mit be- wegt. In diesem natürlichen Koordinatensystem lässt sich die Horizontaldivergenz in zwei Komponenten zerlegen, nämlich in eine Geschwindigkeits- und eine Richtungs- divergenz:

d i vV_h=∂Vh

∂s +V_h∂α

∂n

Abbildung 1.3: natürliches Koordinatensystem; Quelle: Elting, 2008

1.3.2 Krümmungs- und Scherungsvorticity

Vorticity bedeutet so viel wie Wirbelhaftigkeit einer Ströumung, so dass die relative Vorticityζden Drehsinn eines Luftteilchens um seine vertikale Achse beschreibt und damit ein differentielles Maß für die Rotationsbewegung einer Strömung ist.

In der Meteorologie bezeichnet man die vertikale Komponente der Rotation als Vorticity.

Rotation eines Geschwindigkeitsfeldes

∇ ×~v= µ∂w

∂y −∂v

∂z

¶ i+

µ∂u

∂z −∂w

∂x

¶ j+

µ∂v

∂x−∂u

∂y

¶ k

damit folgt für die Vorticity

ζ=~k· ∇ ×~v=∂v

∂x−∂u

∂y

anschaulicher lässt sich die Vorticity darstellen, wenn man die natürlichen Koordi- naten verwendet:

ζ= − ∂

∂n|v| +|v| r

Dabei istr=∂s/∂αder Krümmungsradius der Stromlinie mit

r<0 für antizyklonale Krümmung ^, r>0 für zyklonale Krümmung .

Zum Schluss sollen die Scherungs- und Krümmungsvorticity noch anhand von ein- fachen Beispielen erläutert werden. Zunächst soll eine geradlinige Scherströmung be- trachtet werden:

Abbildung 1.4: Scherströmung; Quelle: Elting, 2008

Das Geschwindigkeitsfeld wird mitu= f(y) undv =0 dargestellt. Es besitzt eine Scherungs-, aber keine Krümmungsvorticity, da der Krümmungsradius hier gegen un- endlich geht. Den eingezeichneten Gleitwirbel kann man sich wie eine runde Scheibe vorstellen, die in die Strömung eingebracht wird. An der Ober- und Unterseite ist die Geschwindigkeit unterschiedlich, wodurch die Scheibe in Rotation versetzt wird.

Im zweiten Beispiel soll ein Wirbel betrachtet werden, der keine Vorticity besitzt.

Dabei handelt es sich um einen Potentialwirbel, dessen Geschwindigkeitsfeld gegeben ist durch:

~v=_r^a2~k×~r, mit|v| =¯

¯^a

r

¯

¯

dabei ist im zyklonalen Falla>0, im antizyklonalen Falla<0 zu setzen.

Abbildung 1.5: Geschwindigkeitsfeld (a) eines zyklonalen, (b) eines antizyklonalen Potentialwirbels;

Quelle: Elting, 2008

Die Scherungsvorticity beträgt für diesen Wirbel:

ζscher= −^|a|_r2 zyklonal, ζscher= +^|a|_r2 antizyklonal,

und die Krümmungsvorticity

ζkr= +^|_r^a2^| zyklonal, ζkr= −^|_r^a2^| antizyklonal

Insgesamt ergibt sich für den Wirbel eine Gesamtvorticityζ=ζkr+ζscher =0 für zyklonale und antizyklonale Wirbel. Der Grund dafür ist, dass der Potentialwirbel im Zentrum beir=0 eine Singularität besitzt. Fürr→ ∞gehtv→ ∞und somitζ→ ∞ 1.3.3 absolute Vorticity

Bis jetzt wurde die Vorticitiy auf die Erdoberfläche bezogen und wird deshalb als relati- ve Vorticity bezeichnet. Nun soll das ganze in einem Inertialsystem betrachtet werden, in dem die absolute Vorticity eine Erhaltungsgröße ist. Dazu muss zur relativen Vorti- city noch ein von der Erddrehung herrührender Anteil addiert werden. Dieser Anteil ist gerade das zweifache der zur Erdoberfläche senkrechten Komponente der Winkelge- schwindigkeit der Erdrotation, also 2·ω·si nϕ. Genau der Coriolis-Parameter aus 1.2.2.

Die absolute Vorticity beträgt damit:

η=ζ+f

für die zeitliche Änderung der absoluten Vorticity ergibt sich

∂η

∂t +v_h∇hη=0 oder

dη d t =0

in der Vorticitygleichung steckt also die Aussage, dass in einer horizontalen, diver- genzfreien Strömung die Vorticity eine Erhaltungsgröße ist.

1.3.4 potentielle Vorticity

Eine Kombination der Erhaltung der Masse und der Erhaltung der Vorticity führt auf den Begriff der potentiellen Vorticity (PV). Dabei muss man die vertikale Mächtigkeit der betrachteten Luftschichten beachten.

Die Potentielle Vorticity nach Ertel ist dabei wie folgt definiert Z_E= η

ρ·dθ

d z =const.

Dabei bezeichnetθdie potentielle Temperatur undρdie Dichte. Des weiteren soll die Atmosphäre thermisch geschichtet sein und es sollen nur adiabatische Vorgänge ablaufen.

Abbildung 1.6: Ablenkung beim Überströmen eines Hindernisses; Quelle: Roedl, Wagner 2011

Anhand folgender Grafik soll nun noch ein wichtiges Anwendungsbeispiel der po- tentiellen Vorticity vorgestellt werden.

Von links kommend fließt eine thermisch geschichtete Luftströmung gegen ein Hindernis. Im unteren Teil der Zeichnung sind zwei Stromlinien mit den Höhenz₁und z₂sowie den zugehörigen Temperaturenθ1undθ2eingezeichnet. Beim An- und Über- strömen des Hindernis werden die Stromlinien vertikal zusammen gedrückt, wodurch sich mit∆z=z₂−z₁ auchdθ/d z, da bei einer adiabatischen Zustandsänderung die Temperaturen gleich bleiben, ändert. Damit ist|dθ/d z|proportional zu 1/∆z. Da wei- terZ_E konstant bleiben soll muss sich auch ηproportional zu 1/|dθ/d z|ändern. Es soll weiter angenommen werden, dass sich die Luft weitab vom Hindernis geradlinig und schwerungsfrei bewegt, d.h.ζ=0 und damitη= f. Werden die Stromlinien an einem Hindernis zusammengedrückt wird∆zund damit|dθ/d z|größere, was wieder- um dazu führt dasηkleiner wird. Damit wird auch die relative Vorticityζkleiner. Die Ändernug des Coriolis Parameters f soll vernachlässigt werden. Dadurch erfährt die Strömung eine antizyklonale Krümmung, wie in der Aufsicht im oberen Teil der Grafik dargestellt ist. Ablenkungen dieser Art können Auslöser für die Bildung von Wellen in der Atmosphäre sein, der wichtige Fall der Rossby-Wellen wird in 3.3.3 ausführlicher Behandelt.

1.4 Geostrophischer Wind

Der Geostrophische Wind ist ein vereinfachtes physikalisches Wind-Modell in der frei- en Atmosphäre, deshalb sollen bei seiner Ableitung die Zentrifugal- und Reibungskraft vernachlässigt werden. In der freien Atmosphäre werden die Strömungsvorgänge also allein von der Druckgradient- und Corioliskraft bestimmt, die sich gegenseitig kom- pensieren. Deswegen folgt für eine horizontale Bewegung allgemein

G_H+F_C= 1

ρ∇~hp−f~k×v~_h=0 multipliziert man diese Gleichung mit~kvon links ergibt sich

~k×(~k×v~_h)=~k(~k·v~_h

| {z }

=0

)−v~_h(~k·~k

|{z}

=1

)= −v~_h= − 1

ρf~k×∇~hp

Die so erhaltene Geschwindigkeit nennt man geostrophisch und kennzeichnet sie mit dem Index_g

~ v_g = 1

ρf~k×∇~hp

ausv~_g ergeben sich damit für die Komponenten des geostrophischen Windes u_g = − 1

ρf

∂p

∂y, u_g = + 1

ρf

∂p

∂x.

Anhand der vektoriellen Darstelung ist ersichtlich, dass der geostrophische Wind senkrecht auf dem Druckgradienten steht, also isobarenparallel verläuft. Dabei liegt der tiefe Luftdruck immer links zur Windrichtung.

Wichtig ist der geostrophische Wind, da er sich leicht aus Messgrößen bestimmen lässt. Aus den Druckfeldern der Wetteranalyse kann man leicht den Abstand der Iso- baren bestimmen, womit man den Druckgradienten erhält. Der Coriolis-Parameter ist für einen festen Ort an der Erdoberfläche konstant, für die Dichte setzt man einen Mit- telwert ein. Das erstaunliche ist nun, dass der geostrophische Wind trotz all dieser Ver- einfachungen eine sehr brauchbare Näherung für den wirklichen Wind darstellt.

Eine andere, anschaulichere Herleitung des geostrophischen Windes ist in folgender Abbildung dargestellt.

Abbildung 1.7: Geostrophischer Wind; Quelle: Elting, 2008

Zum Zeitpunkt t0 soll das Teilchen ruhen. Da auf das Teilchen zunächst nur die Druckkraft wirkt wird es geradlinig zum tiefen Luftdruck hin beschleunigt. Sobald es jedoch eine Geschwindigkeit hat macht sich die Corioliskraft bemerkbar und es wird nach rechts abgelenkt. Durch weitere Beschleunigung durch die Druckgradientkraft wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, was wiederum die Corioliskraft ansteigen lässt, wodurch das Teilchen noch mehr abgelenkt wird. Nach einiger Zeit stellt sich ein Gleich- gewicht zwischen Druckgradientkraft und der Corioliskraft ein, womit der Endzustand, das geostrophische Gleichgewicht, erreicht ist.

2 Globale Zirkulation auf ruhender Erde

Um grundlegenden Prozesse der Entstehung der globalen Zirkulationen besser ver- stehen zu können werden diese zuerst an Hand der ruhenden Erde betrachtet, da so zunächst die Einflüsse der Rotation nicht betrachtet werden müssen. Weiterhin soll angenommen werden, dass die Einstrahlung senkrecht zur Rotationsachse stattfindet.

Durch die sehr starke und senkrechte Einstrahlung im Bereich des Äquators er- wärmt sich dieser Teil der Erde am stärksten. Die Erwärmung führt dazu, dass die Luft in diesem Gebiet aufsteigt, dadurch fällt der Luftdruck was dazu führt, dass die Luft am Boden, die aus Norden und Süden kommt, am Äquator zusammenströmt (Kon- vergenz). Die aufsteigende Warmluft bildet nach erreichen des Kondensationsniveaus Wolken, die sich abregnen. Die verbleibende trockene Luft strömt weiter zu den Po- len, wo sie sich abkühlt und zum Boden sinkt. Dadurch entsteht an den Polen ein Hochdruckgebiet. Der Kreislauf wird geschlossen, indem die kalte Luft bodennah zum Äquator zurück strömt.

Abbildung 2.1: Modellvorstellung eines atmosphärischen Zirkulationssystems auf nicht-rotierender Er- de; Quelle: diercke.at

Somit ist leicht einzusehen, dass die globalen Winde 2 Zirkulationszellen bilden, eine auf jeder Halbkugel. Solange am Äquator Wärme zugeführt wird, wird dieses Zir- kulationsystem aufrecht erhalten.

3 Atmosphärische Zirkulation auf rotierender Erde

Das im folgenden Kapitel vorgestellte Modell besteht im Gegensatz zu dem Modell aus Kapitel 2 aus 3 Zirkulationszellen, da hier die Erdrotation und die unterschiedliche Land-Meer-Verteilung mit einbezogen werden soll. Dadurch kann dieses Modell die realen Vorgänge in der Atmosphäre wesentlich besser widerspiegeln.

3.1 Hadleyzelle

Die Hadleyzelle entsteht durch thermisch bedingte Vertikalzirkulation zwischen der äquatorialen Tiefdruckrinne und dem subtropischen Hochdruckgürtel. Ihren Namen verdankt die Hadleyzelle ihrem Entdecker, dem englischen Rechtsanwalt und Hobby- Meteorologen George Hadley (1685 - 1768). Ihre Energie bekommt die Hadleyzelle von der sehr starken Sonneneinstrahlung im Bereich der innertropischen Konvergenzzone (ITC).

Abbildung 3.1: Lage der ITC; Quelle: Wikipedia

Im Bereich der ITC steht die Sonne im Zenit d.h. der Einstrahlwinkel beträgt dort 90°. Dadurch wird die feuchte Luft stark erhitzt, woraufhin diese expandiert. Aufgrund ihrer geringeren Dicht steigt die warme Luftmasse auf und dehnt sich ,wegen des mit der Höhe abnehmenden Luftdrucks, adiabatisch aus und kühlt dabei ab. Bei der Unter- schreitung der Taupunkttemperatur bilden sich aufgrund der abnehmenden Wasser- dampfkapazität der Luft aus dem überschüssigen Wasser hochreichende und massive Wolkenformationen aus. Aus diesen Wolken fällt vielerorts der nachmittägliche tropi- sche Starkregen. In folge des Ausdehnens, Aufsteigens und seitlichen Abfließens der Luft sinken die Luftdichte und der Luftdruck am Erdboden, was zu einem, den gesam- ten Globus umspannenden System an Tiefdruckgebieten, der äquatorialen Tiefdruck- rinne führt. Die obere Grenze dieser vertikalen Luftströmung bildet die Tropopause an welcher die Luft Polwärts abfließt (Antipassat). Dabei werden die Luftmassen von der Corioliskraft auf der Nordhalbkugel in Bewegungsrichtung nach rechts, auf der Süd- halbkugel in Bewegungsrichtung nach links abgelenkt. Zwischen dem 25. und 35. Brei- tengrad sinken die mittlerweile abgekühlten Luftmassen ab (Urpassat), wodurch sich der subtropische Hochdruckgürtel mit seinen Hochs, wie z.B. das uns vor allem im Sommer häufig beeinflussende Azorenhoch bildet. Da sich die absteigende Luft erneut erwärmt kann sie wieder mehr Wasser aufnehmen, wodurch die ohnehin schon wenig

ausbilden. Vom subtropischen Hochdruckgürtel aus strömt die Luft, dem Druckgradi- enten folgend, wieder zurück zur äquatorialen Tiefdruckrinne (Passat).

3.2 Polarzelle

Durch die große Ausstrahlung an den Polen kühlt sich die Luft dort stark ab, das führt dazu, das die Luft dicht und schwer wird. Dadurch sinkt Sie ab und fließt am Boden auseinander, wodurch sie durch Ablenkung eine nordöstliche bzw. auf der Südhalb- kugel eine südöstliche Komponente erhält. Zum Ersatz dieser Luftmassen muss in der Höhe Luft aus niederen Breiten herangeschafft werden.

3.3 Ferrelzelle

Zwischen den Polarzellen an den Polen und den Hadleyzellen am Äquator, also unge- fähr zwischen dem 30. und 60. ggf. auch bis 70. Breitengrad die nach dem amerikani- schen Meteorologen William Ferrel (1817 - 1891) benannten Ferrelzellen.

Bei den Ferrelzellen handelt es sich im Gegensatz zu den Hadley- und Polarzellen um indirekte, dynamisch angeregte Zirkulationen um eine vertikale Achse. Das ist der Grund, warum in den subpolaren Regionen kalte Luft aufsteigt und in den subtropi- schen Regionen wärmere Luft absteigt. Die Bodennahe Luft fließt, dem Luftdruckgra- dienten folgend zu den Polen hin ab wobei sie durch die Corioliskraft auf der Nordhalb- kugel nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links abgelenkt wird, was zur Bildung der Westwindzonen in den gemäßigten Breiten führt.

Die Ferrellzelle, wie eben beschrieben kann man jedoch nur im zeitlichen und zo- nalen Mittel als solche erkennen es addieren sich dabei die Luftmassentransporte der Tiefdruckgebilde der mittleren Breiten gerade zu dieser mittleren Zirkulation auf.

3.3.1 Frontalzone

Das Wettergeschehen in den gemäßigten Breiten wird bestimmt von 2 Unterschiedli- chen Luftmassen. Der warmen tropischen Luftmasse am Äquator und der kalten pola- ren Luftmasse. In der Frontalzone sind Luftdruck- und Temperaturunterschiede dieser beiden Luftmassen in einem Bereich von 1000 bis 2000km konzentriert. Daraus resul- tiert vor allem in der mittleren und höheren Troposphäre ein starkes Luftdruckgefälle, was zu sehr starken geostrophischen Winden führt.

Abbildung 3.2: rein qualitative Skizze einer Frontalzone; Quelle: diplomet.info

Bei gleicher Höhe über dem Erdboden ist der Luftdruck im Bereich der kalten Luft niedriger als am Bereich der warmen Luft. Das hat zur Folge, das im Bereich der Fron- talzone ein großer, horizontaler Druckgradient herrscht.

Abbildung 3.3: Druck in der Frontalzone; Quelle: diercke.at

Die Frontalzone ist also ein Gebiet maximaler Baroklinität (Isothermen und Isoba- ren schneiden sich).

3.3.2 Jetstreams

Ein Jetstream (Strahlstrom) ist ein bandförmiger Luftstrom, der im Grenzbereich der Troposphäre zur Stratosphäre, eingebettet in langsamere Luftbewegungen, um den Globus fließt, ein oder mehrere Geschwindigkeitsmaxima aufweist und sich häufig in einige Äste aufteilt. In der Regel ist er einige tausend Kilometer lang, mehrere hun- dert Kilometer breit und ein paar Kilometer hoch. Um als Jetstream zu gelten müssen mindestens 30ms⁻¹gemessen werden. Häufig kommen sie in Geschwindigkeiten von 70 bis 100ms⁻¹vor und erreichen vereinzelt Werte um 170ms⁻¹. Auf der Erde gibt es mehrere Jetstream-Systeme:

• Äquatorialer Jetstream, pendelt zwischen 0^◦und 15^◦Breite, oberhalb der 200hP a- Druckfläche (> 12km Höhe), Geschwindigkeit bis 50ms⁻¹aus östlicher Richtung.

Nördlichste Lage und beste Entwicklung im Nordsommer.

• Subtropen-Jetstream, recht bestädnig zwischen 30^◦und 40^◦Breite über den An- tizyklonen im Bereich der 200hP a-Druckfläche (11 - 12km). Er wird angetrieben von den tropischen Hadley Zellen in denen die über der ITC aufsteigende Luft zu den Polen hin abfließt und dabei durch die Corioliskraft zur Westströmung umgelenkt wird. Da die Luftmassen wärmer als die weiter polwärts gelegenen sind, besteht ein Gefälle der Isobarenflächen was hohe Windgeschwindigkeiten zur Folge hat.

Sein Kern liegt in etwa 10km Höhe. Durch Störungen bildet der Polarfront-Jetstream mächtige Wellen aus und trägt so wesentlich zum Temperaturausgleich zwischen Nord und Süd bei. Über dem Westpazifik und Westatlantik sind die Temperatur- differenzen besonders groß, so dass der Polarfront-Jetstream dort bis zu (150ms⁻¹) erreichen kann.

3.3.3 Barotrope Rossby-Wellen

Rossby-Wellen (benannt nach dem Entdecker Carl-Gustav Rossby) werden definiert als horizontal-transversale atmosphärische Wellen, welche in einem reibungsfreien und inkompressiblen Medium bei rein horizontalen, scherungsfreien Strömungen den sta- bilen Grundzustand bilden.

Auf polzentrierten Wetterkarten fällt auf, dass die Polarfront und mit ihr weite Teile der Westwindzone ein globales Wellenmuster aufweisen. Bei Beobachtungen haben sich dabei folgende Eigenschaften dieser Wellen gezeigt:

• tendenziell setzt die Wellenbildung immer wieder an den selben Stellen auf der Erde ein

• die Wellen sind weit davon entfernt gleichmäßige Wellen zu sein; sie weisen Aus- brüche äquatorwärts und singularitätenartige Spitzen polwärts auf

• die Lage und die Wanderungsgeschwindigkeiten der großen Wellen und auch die Wanderungsgeschwindigkeiten der Tief- und Hochdruckgebiete sind in allen Höhen durch die Troposphäre hindurch annähernd die gleichen; im Gegensatz zur Windgeschwindigkeit, die wegen der baroklinen Struktur der Polarfront und Westwindzone mit der Höhe zunimmt

Auf Grund der letzten Beobachtung liegt es nahe anzunehmen, dass die Struk- tur und Geschwindigkeit der großen Wellen durch eine mittlere troposphärische Strö- mung bestimmt werden. Diese mittlere Geschwindigkeit wird durch die Strömung in 5 bis 6km Höhe bei ca. 600 bis 500hPa repräsentiert. In dieser Höhe ist die Strömung an- nähernd divergenzfrei, weshalb dieses Höhenniveau auch als quasi-barotrop bezeich- net wird. Nur in dieser Barotropen Schicht sind die Voraussetzungen (Barotropie und Divergenzfreiheit) zur berechnung der barotropen Rossby-Wellen annähernd gegeben.

Die Westwindzone wird zunächst modellhaft als ein barotroper, bezüglich der Höhe homogen geostrophischer Grundstrom, in dem Störungen als Ablenkungen senkrecht zum Grundstrom auftreten können. Die Richtung des Grundstroms sei von West nach Ost (positive x-Richtung), die der Störungen von Süd nach Nord (positive y-Richtung).

Eine Ursache für solche Störungen sind z.B. meridionale Gebirge. Mit den angegebe- nen Koordinaten folgt für die Vorticity Gleichung:

dη d t =dζ

d t +d f d t =dζ

d t +v_y·d f d y =0

Die rechte Seite kann so geschrieben werden, weil der Coriolis-Parameter f nur von der y-Koordinate abhängt. Es ist (mitRals dem Erdradius und mitϕals geographischer Breite)

d f d y =d f

dϕ·dϕ

d y =2·ω·cosϕ·1 R Damit erhalten wir

dζ

d t +vy·2·ω·cosϕ

R =0

mit dem Rossby Parameterβ=d f/d ykönnen wir schreiben:

dζ

d t = −β·v_y

Anhand der folgenden Abbildung wird nun die Entstehung der Rossby Wellen er- klärt. Die Initialstörung stört den Strom in Richtung Süden (v_ynegativ). Dabei wird die Vorticity positiv, es kommt zu einer zyklonalen Krümmung. Nach Erreicher der tiefsten Stelle, des "Troges"nimmt die Vorticity wieder ab, bleibt bis zum Nulldurchgang posi- tiv und wird dann negativ, was zu einem "Rücken", einer antizyklonalen Krümmung führt.

Abbildung 3.4: Entstehung der Rossby Wellen; Quelle: Roedl, Wagner, 2011

Nun soll noch die Dispersionsrelation für Rossby-Wellen abgeleitet werden. Verein- fachen nehmen wir an, dass die Strömungsgeschwindigkeiten nicht von y abhängen sollen:

∂v_x

∂y =0, ∂v_y

∂y =0 totale Ableitung vonζnach der Zeit:

dζ d t =∂ζ

∂t +v_x·∂ζ

∂x+v_y·∂ζ

∂y

ζwar definiert durchζ=∂vy/∂x−∂vx/∂y; laut Voraussetzung ist∂vx/∂y=0 daraus folgt für∂ζ/∂y:

∂ζ

∂y = ∂²v_y

∂x·∂y = ∂²v_y

∂y·∂x=0 wir erhalten also:

dζ d t =∂ζ

∂t +v_x·∂ζ

∂x = ∂²v_y

∂x·∂t+v_x·∂²v_y

∂x²

oben hatten wir^d_{d t}^ζ= −β·v_yals Ergebnis bekommen; Vergleich der beiden liefert:

∂²v_y

∂x·∂t+v₀·∂²v_y

∂x² = −β·v_y

(dabei wurdev_x≈v₀gesetzt, da die Geschwindigkeit in x-Richtung ungefähr gleich der Geschwindigkeitv0des Grundstroms ist.) Mit dem Ansatz:vy=a·si n(ω·t−k·x), wobeik=2·π/λist, erhalten wir nach zweimaliger Differentiation und anschließender Division durchv_ydie Dispersionsrelation

k·ω−v₀·k²= −β bzw. nach Division durchk²und mitc=ω/k:

c=v₀− β

k²=v₀−β·λ² 4·π²

Für die großräumige Struktur der Wellen in der Westwindzone sind vor allem die annähernd stationären Wellen ausschlaggebend, die sich nach einem Hindernis bil- den. Für diese Wellen ist die Phasengeschwindigkeitc =0 und wir erhalten für die Wellenlängeλs:

0=v₀−β· λ²_s 4·π² bzw. aufgelöst nachλs:

λs=2·π· sv₀

β =2·π·

s v₀·R 2·Ω·cosϕ

Für eine geographische Breite von 60^◦und einer zonalen Geschwindigkeit von 15ms⁻¹ ergibt sich beispielsweiseλs=7190km. Die Wellenlängen der als stationäre Wellen ge- näherten Rossby-Wellen betragen in den höheren Breiten also viele tausend Kilometer.

Da der 60. Breitenkreises einen Umfang von nur rund 20000kmhat passen nicht viele Wellen darauf.

3.3.4 Barokline Rossby-Wellen

Die barotropen Wellen sind stabil, auch bei großen Amplituden wirken ausreichend große rücktreibende Kräfte, weswegen mit dem barotropen Modell keine Instabilitä- ten und Singularitäten wie die Entstehung von Zyklonen erklärt werden können. Im folgenden sollen deswegen nun die baroklinen Rossby-Wellen genauer betrachtet wer- den. Bei den barotropen Wellen wurde die Divergenzfreiheit der Strömung vorausge- setzt, die in der Troposphäre nur in etwa 5 - 6km Höhe annähernd erfüllt ist. In den darüber und darunter liegenden Schichten ist mit Kon- und Divergenzen zu rechnen.

In Abbildung 3.5 ist eine stationäre barokline Welle in drei Höhenniveaus skizziert.

Im mittleren Niveau ist eine divergenzfreie Strömung mit konstanter absoluten Vorti- city, darunter ein bodennahes Niveau, in dem die Windgeschwindigkeitv kleiner ist als die Strömungsgeschwindigkeitv₀des quasi-barotropen Niveaus und oben das Ni- veau der Höhenströmung, wo eine Strömungsgeschwindigkeit vorherrscht, die größer alsv₀ist.

Abbildung 3.5: stationäre barokline Welle; Quelle: Roedel, Wagner, 2011

Aus der Definition der Vorticity kann man qualitativ schließen, das mit höheren Strömungsgeschwindigkeiten die Vorticity betragsmäßig auch größer wird. Berücksich- tigt man zudem noch, dass bei zyklonaler Strömung die Vorticity positiv, bei antizyklo- naler Strömung negativ ist, kann man die in Abbildung 3.5 eingesetzten Beziehungen zwischen der absoluten Vorticityη0 der Strömung in dem quasi-barotropen Niveau und der absoluten Vorticity der Bodenwinde und der Höhenströmung herleiten. Des weiteren lässt sich leicht zeigen, dass die Vorticity-Änderung einer stationären Welle indirekt proportional zu ihrer Strömungsdivergenz ist. So steht im polwärts gerichte- ten Teil der Welle einer bodennahen Konvergenz eine Divergenz in der Höhenströ- mung gegenüber, was eine aufwärts gerichtete Vertikalbewegung der Luft zur Folge hat. Analog steht der bodennahen Divergenz dem äquatorwärts gerichteten Teil der Welle eine Konvergenz in der Höhenströmung gegenüber, was eine abwärts gerichtete Vertikalbewegung der Luft bedingt.

Wegen der Höheren Geschwindigkeit der Höhenströmung ist die Konvergenz bzw.

Divergenz in der Höhe stärker, was zur Folge hat das die Aufwärtsbewegung mit einem Druckabfall, die Abwärtsbewegung mit einem Druckanstieg am Boden verbunden ist.

Diese Effekte sind für die Dynamik der baroklinen Wellen und damit auch für die Bil-

3.3.5 Zyklonen und Antizyklonen in der Westwinddriftzone

Zum Entstehen einer Zyklone ist es erforderlich, dass in der Wellenbewegung eine In- stabilität auftritt, also eine durch eine Initialstörung verursachte Auslenkung weiter verstärkt wird. Wie eben gezeigt weißt der polwärts gerichtete Zweig einer baroklinen Welle eine Aufwärtsbewegung auf, wegen der dominierenden Höhendivergenz kommt es zu einem Druckabfall in diesem Bereich. Es entsteht ein ëmbryonales"Tief, was zu einer zyklnalen geostrophischen Umströmung führt. Beim äquatorwärts gerichteten Zweig läuft ein entsprechender Vorgang ab. Die dominierende Höhenkonvergenz führt zu einer abwärts gerichteten Luftströmung und damit zu einem Luftdruckanstieg in Bodennähe. Dieses relative Luftdruckmaximum wird antizyklonal umströmt. Im Be- zugssystem der Welle bildet sich eine Strömungsform aus, wie in Abbildung 3.6 oben gezeigt. Dabei ist die resultierende Strömung der polwärts gerichteten Welle eben- falls polwärts gerichtet, die resultierende Strömung der äquatorwärts gerichteten Wel- le ebenfalls äquatorwärts gerichtet. Diese Strömungen lassen die Amplitude der Wel- le weiter wachsen, was dazu führt, das die diese Strömungen hervorrufenden Kon- und Divergenzen stärker werden, was wiederum die Strömungen stärker werden lässt.

So entsteht ein Rückkopplungsmechanismus, der die Welle instabil werden lässt und große Luftdruckunterschiede entstehen lässt.

Abbildung 3.6: schematischer Verlauf von Strömung (gestrichelt) und Wellenfront (durchgezogene Dop- pellinie) einer baroklinen Welle; Quelle: Roedel, Wagner, 2011

Im unteren Teil der Abbildung ist eine Überlagerung der beiden Strömungsfor- men zu sehen. Trotz aller Vereinfachungen und zweidimensional kann man schon die Grundzüge eines realen Zyklonensystems sehen. Man kann in der Skizze schon den für ein Tiefdruckgebiet charakteristischen nach Norden vorstoßenden Warmluft- keil mit Winden aus südlicher bis südwestlicher Richtung sehen. Auch die wichtigs-

ten Frontstrukturen kann man erkennen: In Zugrichtung der Zyklone vor dem Warm- luftkeil eine Warmfront, dahinter eine Kaltfront. Dennoch handelt es sich hierbei nur um ein Modell eine reale Zyklone in drei Dimensionen ist komplizierter aufgebaut da dort auch Vertikalbewegungen auftreten. Zusätzlich treten die geschlossenen Isobaren nur in den unteren, durch Reibung beeinflussten Luftschichten auf. In der Höhenströ- mung bleibt die ursprüngliche Wellenform besser erhalten.

Abbildung 3.7: Entstehung einer Zyklone; Quelle: Roedel, Wagner, 2011

Abbildung 3.7 zeigt in drei typischen, sehr vereinfachten "Momentaufnahmen"die Entstehungsgeschichte einer Zyklone.

1. zeigt die Anfangsphase: durch eine Initialstörung entsteht eine Welle mit einem Warmluftvorstoß nach Norden und einem Kaltluftvorstoß nach Süden. Die Am- plitude der Welle verstärkt sich wie eingangs beschrieben.

2. zeigt die Zyklone im Höhepunkt ihrer Entwicklung: wegen der größeren Wande- rungsgeschwindigkeit der Kaltfront im Gegensatz zur Warmfront holt die Kalt- front die Warmfront ein. Das "verschmelzen"von Kalt und Warmfront wird Ok- klusion genant, dabei erwärmt sich die Kaltluft, die Warmlüft kühlt sich ab. Das hat netto einen polwärts gerichteten Energiestrom zur Folge.

3. zeigt die vollentwickelte Zyklone, es hat sich eine Okklusion gebildet.

Die Zeit vom Auftreten der Initialstörumg bis zur voll entwickelten Okklusion dau- ert in der Regel 1 - 2 Tage; die Größenordnung einer voll Entwickelten Polarfrontzyklo- ne liegt bei 1000 bis 3000km.

Zum Schluss dieses Kapitels soll noch kurz auf die Bildung der Antizyklonen eingegan- gen werden. Diese lässt sich grob in zwei Mechanismen aufteilen:

• dynamische Entstehung, analog zur Entstehung der Zyklonen. Die Antizyklonen sind dabei aber weniger stark ausgeprägt, da am Boden eine Divergenz herrscht,

• Scherungszone zwischen den westwärts strömenden Passaten und der Westwind- zone induziert antizyklonale Wirbel; durch die Corioliskraft wird Luft ins inne- re des Wirbels gepumpt bis sich ein Gleichgewicht zwischen Druckgradientkraft und Corioliskraft gebildet hat. Ein sehr bekanntes und für uns in Mitteleuropa wichtiges Beispiel dafür ist das Azorenhoch.

Tendenziell ist in Hochdruckgebieten schönes, trockenes Wetter zu erwarten. Die Absinkbewegung innerhalb des Hochdruckgebiets führt zur Wolkenauflösung und Er- wärmung der Luft, vor allem auf Bergen ist Hochdruckwetter meist von guter Sicht und Wolkenfreiheit gekennzeichnet. Greift die Absinkbewegung und die damit verbunde- ne Erwärmung aber nicht bis zum Boden durch entsteht eine Inversion. An der Inver- sionsgrenze können Wolkenfelder entstehen wodurch es darunter oft kalt und nebelig ist.

4 Großwetterlagen in Europa

Eine Großwetterlage ist definiert durch die mittlere Luftdruckverteilung in Meereshö- he und der mittleren Troposphäre in einem großen Gebiet (mindestens von der Grö- ße Europas) über den Zeitraum von einigen Tagen. Die Großwetterlage bestimmt den Charakter eines Witterungsabschnittes, in einigen kleineren Teilen können sich örtli- che Druckgebilde entwickeln, die das Wetter kurzzeitig ändern, die Zugrichtung dieser kleinen Druckgebilde ist aber durch die aktuell vorherrschende Großwetterlage vor- herbestimmt. Die Großwetterlagen dienen der synoptischen Klimatologie und existie- ren in Europa seit 1881. Aufgrund der immer besser werdenden nummerischen Me- thoden für die Mittelfristvorhersage verlieren die Großwetterlagen aber allmählich an Bedeutung.

Für Europa wurden 29 Großwetterlagen definiert, das Wetter bei uns in Mitteleuro- pa bestimmen 8 dieser Wetterlagen, die im Folgenden näher betrachtet werden sollen.

4.1 Westlage

Bei der Westlage liegt das Azorenhoch bei den namensgebenden Inseln im Atlantik, ein Tief beherrscht den Nordatlantik zwischen Island und Skandinavien. Zwischen diesen beiden steuernden Druckgebilden reicht eine ausgeprägte Westwindzone vom Atlan- tik bis nach Mitteleuropa. In der Westwindzone ziehen Zyklonenfamilien ostwärts und bestimmen so das Wetter bei uns in Mitteleuropa, das bei der Westlage abwechslungs- reich mit Sonne, Wind und Regen ist. Ob das Wetter in Mitteleuropa eher sonnig oder regnerisch ist bestimmt die Lage und Ausdehnung des Azorenhochs. Liegt diese Anti- zyklone weit im Süden überstreichen auch die Zyklonen ein Gebiet bis etwa zum 50.

Breitenkreis auf ihrem Weg nach Osten. Befindet sich das Azorenhoch weiter nördlich, von wo aus es auch oft einen Hochdruckkeil bis nach Mitteleuropa treiben kann wan- dern die Tiefs etwa beim 60. Breitengrad nach Osten, damit ist das Wetter in Mitteleu- ropa durch wenig Niederschlag und viele Sonnenstunden gekennzeichnet.

4.1.1 Nordwestlage

Bei der Nordwestlage ist das Azorenhoch nach Norden hin verschoben, ohne dass es sich in einen Keil bis nach Mitteleuropa erstreckt. Dadurch ergibt sich eine gemischte Zirkulationsform, bei uns herrscht eine Nordwestliche Strömungsrichtung vor. Befin- det sich das Hoch weiter im Osten ist das Wettergeschehen in Europa antizyklonal, befindet es sich weiter im Westen zyklonal geprägt. Die in die zyklonale Nordwestströ- mung eingelagerten Tiefs bringen in Europa häufig ergiebige Niederschlage, wodurch sich sogar Hochwassergefahr entwickeln kann.

4.1.2 Südwestlage

Bei der Südwestlage dehnt sich das Azorenhoch mit einem Keil über Spanien bis zum östlichen Mitteleuropa hin aus. Das führt in Mitteleuropa zu sonnigem Wetter bei mil- den Temperaturen.

Im langjährigem Durchschnitt bestimmen die westlichen Wetterlagen das Wetter in Europa zu 39%, damit sind die Westlagen die wichtigsten Wetterlagen in Europa.

4.2 Ostlage

Bei der Ostlage befindet sich über dem Mittelmeer ein Tiefdruckgebiet, über Skandi- navien und den westlichen Teil Nordrusslands befindet sich ein Hoch. Das hat eine Luftströmung aus dem Osten nach Mitteleuropa zur Folge. Diese kontinental geprägte Luft ist sehr trocken, im Sommer sehr heiß, im Winter kalt. Sind diese Druckgebiete im Winter über lange Zeit stabil, kann sogar extrem kalte, sibirische Luft bis nach Mittel- europa vordringen.

Abbildung 4.2: Ostlage; Quelle: Berthold Wiedersich: Taschenatlas Wetter, 2003

Die Ostlage herrscht in Europa an durchschnittlich 27% aller Maitage, 10% aller Ju- litage und im Januar an 20% aller Tage vor. Das führt im Januar meist zu strengen Frost.

Die tiefsten, je in Deutschland gemessenen Temperaturen wurden bei Ostlagenwetter gemessen.

4.3 Südlage

Bei der Südlage befindet sich im Süden von Russland ein Hoch, ein Tief über den briti- schen Inseln. Durch diese Wetterlage gelangt subtropische Warmluft zu uns nach Mit- teleuropa, die meist sonniges und warmes Wetter mit sich bringt. Da die aus Süden kommende Luft die Alpen überqueren muss, kommt es in Süddeutschland häufig zu Föhn, besonders im Frühjahr kann es passieren, dass der Scirocco so Wüstenstaub aus der Sahara bis nach Mitteleuropa transportiert.

Abbildung 4.3: Südlage; Quelle: Berthold Wiedersich: Taschenatlas Wetter, 2003

Liegt bei einer Südlage das Hoch über Russland weit im Osten bedeutet das, dass wir in Europa eher zyklonales Wetter haben, das sich durch den Durchzug von Hoch und Tiefs auszeichnet.

4.4 Nordlage

Bei der Nordlage befindet sich über dem Ostatlantik oder den Britischen Inseln ein blockierendes Hoch, über der Ostsee oder dem Baltikum ein Tief. Dadurch kann kalte arktische Polarluft nach Europa strömen.

Abbildung 4.4: Nordlage; Quelle: Berthold Wiedersich: Taschenatlas Wetter, 2003

Nordlagenwetter herrscht an 25% aller Tage von April bis Juni. Es kommt immer wieder zu heftigen Kaltluftvorstößen, die Erwärmung wird durch Regen- und Schnee- schauer unterbrochen

4.5 Tief über Mitteleuropa

Entwickelt sich aus einer Nordlage und ist durch ein hochreichendes kaltes Tief über Europa gekennzeichnet. Mit ausgedehnten Aufgleitvorgängen bringt diese Wetterlage nasskaltes Wetter mit sich. Diese Wetterlage tritt im Jahresdurchschnitt aber nur mit 2% Häufigkeit auf.

Abbildung 4.5: Tief über Mitteleuropa; Quelle: Berthold Wiedersich: Taschenatlas Wetter, 2003

4.6 Hoch über Mitteleuropa

Bei dieser Schönwetterlage setzt sich ein Hoch über Mitteleuropa fest. Diese Wetterla- ge kommt mit 17% Häufigkeit zu allen Jahreszeiten vor.

Abbildung 4.6: Hoch über Mitteleuropa; Quelle: Berthold Wiedersich: Taschenatlas Wetter, 2003

Ein bekanntes Beispiel dieser Wetterlage ist der sehr regelmäßig kommende Alt- weibersommer. Im Herbst und Winter entwickelt sich bei dieser Wetterlage in tieferen Lagen, Senken und Tälern eine Inversion was dort mit Nebel und Hochnebel verbun- den ist. In den höheren Lagen der Mittelgebirge und Alpen ist es hingegen sonnig und mild häufig verbunden mit guter Fernsicht.

5 Quellen

• Christian-Dietrich Schönwiese: Klimatologie, Eugen Ulmer Verlag Stuttgart, 2008

• Dieter Etling: Theoretische Meteorologie, Springer Verlag, 2008

• Walter Roedel, Thomas Wagner: Physik unserer Umwelt: Die Atmosphäre, Sprin- ger Verlag, 2011

• Brigitte Klose: Meteorologie, Springer Verlag, 2008

• Taschenatlas Wetter. Klett – Perthes Verlag, 2006

• Murry L. Salby: Atmospheric Physics, Academic Press, 1995

• http://edoc.gfz-potsdam.de/pik/get/4864/0/8715a7f401b3f6a1568a4227a81dd7e7/tab10.pdf

• www.diplomet.info

• www.diercke.at