Zu den meteorologischen Zustandsgrößen gehören der Druck, die Temperatur, der Wind und die Feuchte. Diese Größen werden in Skalar- und Vektorfeldern dargestellt.
Im folgenden sollen nun die Stromfeldeigenschaften des Geschwindigkeitsfelds unter-sucht werden.
1.3.1 Konvergenz und Divergenz
Die Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes ist eine Skalare Größe, die durch Anwen-dung des Nabla Operators Operators auf das Feld des Geschwindigkeitsvektors ent-steht:
~∇ ·~v=∂u
∂x +∂v
∂y+∂w
∂z =∂uk
∂xk
Unter Divergenz kann man sich das Auseinanderströmen der Luft oder einer Flüs-sigkeit an einem Raumpunkt vorstellen, hat die Divergenz ein negatives Vorzeichen bezeichnet man das als Konvergenz und versteht darunter ein Zusammenströmen.
Die folgende Grafik veranschaulicht die beiden Begriffe noch anhand einer zweidi-mensionalen Strömung.
Abbildung 1.2: Divergenz und Konvergenz eines horizontalen Strömungsfeldes; Quelle: Klose, 2008
Für die zweidimensionale Strömung wird noch ein neues Koordinatensystem ein-geführt, das nicht fest im Raum definiert ist, sondern sich mit den Luftpartikeln mit be-wegt. In diesem natürlichen Koordinatensystem lässt sich die Horizontaldivergenz in zwei Komponenten zerlegen, nämlich in eine Geschwindigkeits- und eine Richtungs-divergenz:
d i vVh=∂Vh
∂s +Vh∂α
∂n
Abbildung 1.3: natürliches Koordinatensystem; Quelle: Elting, 2008
1.3.2 Krümmungs- und Scherungsvorticity
Vorticity bedeutet so viel wie Wirbelhaftigkeit einer Ströumung, so dass die relative Vorticityζden Drehsinn eines Luftteilchens um seine vertikale Achse beschreibt und damit ein differentielles Maß für die Rotationsbewegung einer Strömung ist.
In der Meteorologie bezeichnet man die vertikale Komponente der Rotation als Vorticity.
anschaulicher lässt sich die Vorticity darstellen, wenn man die natürlichen Koordi-naten verwendet:
ζ= − ∂
∂n|v| +|v| r
Dabei istr=∂s/∂αder Krümmungsradius der Stromlinie mit
r<0 für antizyklonale Krümmung , r>0 für zyklonale Krümmung .
Zum Schluss sollen die Scherungs- und Krümmungsvorticity noch anhand von ein-fachen Beispielen erläutert werden. Zunächst soll eine geradlinige Scherströmung be-trachtet werden:
Abbildung 1.4: Scherströmung; Quelle: Elting, 2008
Das Geschwindigkeitsfeld wird mitu= f(y) undv =0 dargestellt. Es besitzt eine Scherungs-, aber keine Krümmungsvorticity, da der Krümmungsradius hier gegen un-endlich geht. Den eingezeichneten Gleitwirbel kann man sich wie eine runde Scheibe vorstellen, die in die Strömung eingebracht wird. An der Ober- und Unterseite ist die Geschwindigkeit unterschiedlich, wodurch die Scheibe in Rotation versetzt wird.
Im zweiten Beispiel soll ein Wirbel betrachtet werden, der keine Vorticity besitzt.
Dabei handelt es sich um einen Potentialwirbel, dessen Geschwindigkeitsfeld gegeben ist durch:
~v=ra2~k×~r, mit|v| =¯
¯a
r
¯
¯
dabei ist im zyklonalen Falla>0, im antizyklonalen Falla<0 zu setzen.
Abbildung 1.5: Geschwindigkeitsfeld (a) eines zyklonalen, (b) eines antizyklonalen Potentialwirbels;
Quelle: Elting, 2008
Die Scherungsvorticity beträgt für diesen Wirbel:
ζscher= −|a|r2 zyklonal, ζscher= +|a|r2 antizyklonal,
und die Krümmungsvorticity
ζkr= +|ra2| zyklonal, ζkr= −|ra2| antizyklonal
Insgesamt ergibt sich für den Wirbel eine Gesamtvorticityζ=ζkr+ζscher =0 für zyklonale und antizyklonale Wirbel. Der Grund dafür ist, dass der Potentialwirbel im Zentrum beir=0 eine Singularität besitzt. Fürr→ ∞gehtv→ ∞und somitζ→ ∞ 1.3.3 absolute Vorticity
Bis jetzt wurde die Vorticitiy auf die Erdoberfläche bezogen und wird deshalb als relati-ve Vorticity bezeichnet. Nun soll das ganze in einem Inertialsystem betrachtet werden, in dem die absolute Vorticity eine Erhaltungsgröße ist. Dazu muss zur relativen Vorti-city noch ein von der Erddrehung herrührender Anteil addiert werden. Dieser Anteil ist gerade das zweifache der zur Erdoberfläche senkrechten Komponente der Winkelge-schwindigkeit der Erdrotation, also 2·ω·si nϕ. Genau der Coriolis-Parameter aus 1.2.2.
Die absolute Vorticity beträgt damit:
η=ζ+f
für die zeitliche Änderung der absoluten Vorticity ergibt sich
∂η
∂t +vh∇hη=0 oder
dη d t =0
in der Vorticitygleichung steckt also die Aussage, dass in einer horizontalen, diver-genzfreien Strömung die Vorticity eine Erhaltungsgröße ist.
1.3.4 potentielle Vorticity
Eine Kombination der Erhaltung der Masse und der Erhaltung der Vorticity führt auf den Begriff der potentiellen Vorticity (PV). Dabei muss man die vertikale Mächtigkeit der betrachteten Luftschichten beachten.
Die Potentielle Vorticity nach Ertel ist dabei wie folgt definiert ZE= η
ρ·dθ
d z =const.
Dabei bezeichnetθdie potentielle Temperatur undρdie Dichte. Des weiteren soll die Atmosphäre thermisch geschichtet sein und es sollen nur adiabatische Vorgänge ablaufen.
Abbildung 1.6: Ablenkung beim Überströmen eines Hindernisses; Quelle: Roedl, Wagner 2011
Anhand folgender Grafik soll nun noch ein wichtiges Anwendungsbeispiel der po-tentiellen Vorticity vorgestellt werden.
Von links kommend fließt eine thermisch geschichtete Luftströmung gegen ein Hindernis. Im unteren Teil der Zeichnung sind zwei Stromlinien mit den Höhenz1und z2sowie den zugehörigen Temperaturenθ1undθ2eingezeichnet. Beim An- und Über-strömen des Hindernis werden die Stromlinien vertikal zusammen gedrückt, wodurch sich mit∆z=z2−z1 auchdθ/d z, da bei einer adiabatischen Zustandsänderung die Temperaturen gleich bleiben, ändert. Damit ist|dθ/d z|proportional zu 1/∆z. Da wei-terZE konstant bleiben soll muss sich auch ηproportional zu 1/|dθ/d z|ändern. Es soll weiter angenommen werden, dass sich die Luft weitab vom Hindernis geradlinig und schwerungsfrei bewegt, d.h.ζ=0 und damitη= f. Werden die Stromlinien an einem Hindernis zusammengedrückt wird∆zund damit|dθ/d z|größere, was wieder-um dazu führt dasηkleiner wird. Damit wird auch die relative Vorticityζkleiner. Die Ändernug des Coriolis Parameters f soll vernachlässigt werden. Dadurch erfährt die Strömung eine antizyklonale Krümmung, wie in der Aufsicht im oberen Teil der Grafik dargestellt ist. Ablenkungen dieser Art können Auslöser für die Bildung von Wellen in der Atmosphäre sein, der wichtige Fall der Rossby-Wellen wird in 3.3.3 ausführlicher Behandelt.