10.1 Historie der Schwachen Wechselwirkung
10 Schwache Wechselwirkung
10.1 Historie der Schwachen Wechselwirkung . . . 128
10.2 Fermi-Konstante und W-Propagator . . . 129
10.3 Paritätsverletzung. . . 130
10.4 Neutrino-Streuung mittelsW . . . 134
10.5 Entdeckung und Zerfall desW . . . 135
10.6 Standard-Model der elektroschwachen Wechselwirkung 137 10.7 DasZ0-Boson . . . 140
10.8 WW Produktion ine+e−Kollisionen . . . 146
10.1 Historie der Schwachen Wech- selwirkung
Die schwache Wechselwirkung unterscheidet sich in den folgenden Aspekten deutlich von den anderen Wechselwirkungen:
• Zerfall elementarer Teilchen
• Schwere Austauschteilchen
• Paritätsverletzung
• Symmetriebrechung durch Higgs-Mechanismus
Um diese sehr unterschiedlichen Eigenschaften zu verstehen waren daher eine Reihe experimenteller Entdeckungen notwendig:
1896 Bequerel entdeckt die Radioaktivität
1914 Chadwick entdeckt, dass -Strahlen anders als↵-Strahlen ein kontinuierliches Energie-Spektrum haben. Heute wissen wir, dass -Strahlen Elektronen oder Positronen sind, die mit keV - MeV Energien von zerfallenden Kernen emittiert werden.
1927 Ellis und Woostar argumentieren, dassE ≤Emaxgilt. Daraus folgt, dass entweder die Energie-Erhaltung verletzt ist (Bohr) oder aber ein 3-Körperzerfall mit einem neuen, unsichtbaren Teilchen vorliegt, dem Neutrino (Pauli). Unsichtbar bedeutet, dass es weder elektromagnetischer noch starker Wechselwir- kung unterliegt.
1933 Enrico Fermi formuliert die Theorie des −Zerfalls mit Hilfe
“geladenen” Strömen (“charged current”).
1956 Lee und Yang argumentieren, dass in allen schwachen Prozes- sen Paritätsverletzung auftritt. Ein Jahr später gelingt C.S.Wu der erste experimentelle Beweis dazu.
10.2 Fermi-Konstante und W-Propagator 1960 Glashow, Salam und Weinberg formulieren die “GSW”-Theorie
der Elektroschwachen Wechselwirkung, das Standard-Modell.
Sie beinhaltet , W± und sagt das Z0 voraus, also auch neu- trale, schwache Ströme.
1973 Entdeckung der neutralen, schwachen Ströme in der Garga- melle Blasenkamer am CERN in der Reaktion:
¯
⌫µ+e−→⌫¯µ+e−
1984 Entdeckung desW± und desZ0 Bosons am UA1 Experiment am CERN (Nobelpreis Rubia und Vandermer)
2012 Entdeckung des Higgs-Bosons am Atlas und CMS Experi- ment am LHC-Beschleuniger am CERN (Nobelpreis Higgs, Engler 2013)
10.2 Fermi-Konstante und W-Propagator
Zur Beschreibung des -Zerfalls
n→p+e−+⌫¯e setzte Fermi als Matrix-Element an:
M=GF j(µpn)jµ(e¯⌫e)
also eine Theorie mit “geladenen” Strömen (“charged current”), die unterschiedlich geladene Teilchen (pn)und(e¯⌫e)zusammenfassen.
Dieser Ansatz entspricht einer 4-Fermion Wechselwirkung ohne Aus- tauschteilchen und daher ohne Propagator. Die neue Kopplungs- konstante ist die Fermi-Konstante
GF =1,1⋅10−5GeV−2
Diese Fermi-Theorie enthält also noch nicht dasW-Boson und auch nicht die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung.
In der heutigen Interpretation durch die Theorie der schwachen Wechselwirkung entstehen alle Zerfälle elementarer Teilchen
d→u e−⌫¯e, µ−→⌫µe−⌫¯e, . . .
durch den Austausch neuer geladener Spin-1 Bosonen, denW±. Für den Muon-Zerfall als Beispiel ergibt sich das Matrixelement zu
µ−
⌫µ
W−
e−
¯
⌫e
Abb. 10.1
Muon-Zerfall. Das µ strahlt zunächst ein virtuelles W ab und geht in ein Muon- Neutrino über. DasW zerfällt in Elektron und ein Elektron- Antineutrino.
M∼ j(⌫µ
µµ)
g2
q2−m2W jµ(e¯⌫e) (10.1) Die neue Konstante g ist dabei der Vertexfaktor (die Kopplungs- konstante) desW- Bosons an ein Lepton- oder Quark Paar. Sie ist gleich für alle Leptonen und Quarks. Dergeladene Stromj(⌫µµ) be- schreibt den Fermionstrom µ− → ⌫µ, der ebenfalls geladene Strom j(e¯⌫e)den Strom im Endzustand, bei dem eine−und ein⌫¯eentsteht.
10.3 Paritätsverletzung
Bei hohen Impulsüberträgen wird derW-Propagator die richtigen Ergebnisse liefern, nicht jedoch die Fermi-Theorie. Im Limes kleiner Impulsüberträge�q2��m2W vereinfacht sich aber der Propagator für das schwere W-Boson,
1
q2−m2W →− 1 m2W
Symbolisch geht damit der Propagator des W-Austausches in E.
Fermi’s 4-Fermion Kontaktwechselwirkung über.
Ein genauer Vergleich mit der Formel aus der Fermi-Theorie liefert:
GF
√2 = g2
8m2W (10.2)
Damit ist die Fermikonstante als Quotient aus Kopplungskonstante und Masse desW interpretiert worden. Da dieW-Masse experimen- tell zu
MW =80,379 GeV
bestimmt wurde, ergibt sich für die Kopplungskonstante g desW- Bosons
g≈0,7 (10.3)
Die Reichweite der schwachen WW ist damit (siehe Abschnitt 9.1) RW ≈ �hc
MW = 200 MeV fm
80 GeV ≈2,5⋅10−3fm
Das ist etwa 1/400 der Reichweite der starken Wechselwirkung oder des Radius des Protons. Die schwache Wechselwirkung ist also schwach, weilW und Z Bosonen so schwer sind.
10.3 Paritätsverletzung
Die Paritätstransformation P spiegelt die Koordinaten eines Vek- tors am Ursprung. Da zweimalige Spiegelung den Ursprungszustand wiederherstellt, kann der Eigenwert zu Pˆ nur ±1 sein.
Vektoren mit negativer Parität sind
Pˆx�=−�x, Pˆp�=−p,� Pˆ�j =−�j (10.4) Vektoren mit positiver Parität (Axialvektoren) sind z.B.
PˆL�=Pˆ(�r×p�)=+L� (10.5) sowie der Gesamtdrehimpuls J�und der SpinS�. Das Produkt eines Vektors mit einem Axialvektor, also z.B.J�⋅p�, ist wieder ein Vektor.
10.3 Paritätsverletzung
Aufgabe 10.1: Zeigen Sie anhand der Maxwell- Gleichungen, dass wegen
Pˆ%=+% Pˆ�j=−�j (10.6) die elektromagnetische Wechselwirkung die Parität er- hält, wenn
PˆE� =−E,� PˆB� =B� (10.7) Pˆ' =+', PˆA� =−A� (10.8) Damit hat auch das Photon Aµ =(',A�)negative Pa- rität.
Am Beispiel des -Zerfalls
60Co→ 60Ni+e−+⌫¯e
wurde erstmals von C.S.Wu direkt nachgewiesen, dass die Parität in der schwachen Wechselwirkung nicht erhalten ist.
Die Spinrichtung des Co wird bei tiefen Temperaturen durch ein Magnetfeld festgelegt. Gemessen wird die Zählrate der Elektronen unter einem bestimmten Winkel relativ zur Spinrichtung, also als Funktion von J�Co ⋅p�e. Man beobachtet, dass die e− vorzugsweise entgegen der Richtung des Co-Spins emmittiert werden, d.h bei Umpolung des Magnetfeldes ändert sich auch die Zählrate. Da der e−- Impuls ein Vektor ist und Spin ein Axialvektor ist folgt, das die relative Richtung der beiden (Observable) nicht invariant unter einer Paritätstransformation ist.
Tatsächlich ist die Parität in der schwachen Wechselwirkung ma- ximal verletzt, d.h.
• Nur linkshändige Fermionen (e−L,⌫L, uL, dL) und
rechtshändige Anti-Fermionen (e+R,⌫¯R,u¯R,d¯R) nehmen an der schwachen Wechselwirkung teil.
• e−R,⌫R, uR, dR und e+L,⌫¯L,u¯L,d¯L nehmen nicht an der schwa- chen Wechselwirkung teil.
Dies nennt man eine chirale Theorie. Das gleiche Verhalten be- obachtet man auch für die beiden anderen Fermion-Generationen.
Man sieht diese Eigenschaft in allen Prozessen der schwachen Wech- selwirkung.
10.3 Paritätsverletzung
Der Strom eines Fermions18in der schwachen WW mitW-Bosonen ist also z.B. füre−→⌫e nur
j(µe⌫
e)=u¯L(P⌫) µuL(Pe)
Beispiel: Streuung mit polarisierten Elektronen Ein besonders deut- liches Beispiel ist in Abb.10.2 gezeigt. Hier wurden bei sehr hohen Energien am HERA-Beschleuniger “charged current” Reaktionen
[%]
Pe
-100 -50 0 50 100
[pb]CC
0 20 40 60 80 100
120 HERA Charged Current e±p Scattering
> 400 GeV2
Q2
y < 0.9 X
+p e
X p e
HERAPDF 1.5 HERAPDF 1.5
H1 ZEUS H1 ZEUS
Abb. 10.2 Wirkungsquerschnitt für e−p→⌫eX (rot) unde+p→¯⌫eX (blau) als Funktion der Polarisation der e±. Der WQ ist linear ab- hängig von der Polarisation Pe des e± Spins. Er wird Null für e− mit Spin parallel zum Impuls (Pe = 1) und ebenso Null für e+ mit Spin antiparallel zum Impuls (Pe = −1). Daten der Experimente H1 und ZEUS am HERA-Beschleuniger im Hamburg. Die Strahlenergien betru- genEe=27,6 GeV, Ep=920 GeV.
e−→⌫e und e+ →⌫¯e mit Spin-polarisiertene± gemessen. Bei diesen Energien sind die Elektronen ultrarelativistisch. Ein Polarisations- grad von +100% (-100%) enspricht also einem fast reinen eR (eL) Zustand. Die Messungen zeigen, dass die schwache Wechselwirkung mit W-Bosonen für Elektronen Null wird, wenn ihre Spins parallel zur Bewegungsrichtung sind (e−R), die Ereignisrate aber linear mit der entgegengesetzten Spinpolarisation ansteigt. Genau der umge- kehrte Fall ergibt sich für e+. Tatsächlich finden also nur die Pro- zesse statt:
e−Lp→⌫LX und e+Rp→⌫¯RX (10.10)
18 Dies ist die sogenannte V −A Form der schwachen WW. Diese Abkür- zung bedeutet Vektor-Axialvektor und ist motiviert durch die Form des PL-Operators,
u†L 0 µuL=u† 0 µ1
2(1− 5)u=1
2u† 0 µu
��������������������������������
V ektor
−1
2u† 0 µ 5u
��������������������������������������������������
Axialvektor
(10.9)
10.3 Paritätsverletzung Parität und Ladungskonjugation Aus der Paritätsverletzung folgt
auch die Verletzung der Ladungskonjugation (oder C-Parität). Als Beispiel betrachten wir den Zerfall der geladenen Pionen,
⇡+→⌫µµ+
Da der Spin des Pions null ist, muss wegen Drehimpulserhaltung der Spin des Neutrinos und des Muons immer in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Im Ruhesystem des Pions folgt aus den Massen der Teilchen (M⇡ = 139,6 MeV, Mµ = 106 MeV, M⌫ < 0.1 eV) für diesen 2- Körperzerfall die Energie des Neutrinos zu
E⌫ = M⇡2+M⌫2−Mµ2
2M⇡ =29.6MeV
Das Neutrino ist also hochrelativistisch. Damit gilt auch � �Pµ� =
� �P⌫� ≈ E⌫ = 29.6M eV, das Muon ist also nicht hochrelativistisch (“Helizitäts-unterdrückter Zerfall).
Wegen der Paritätsverletzung der schwachen WW ist das Fermi- on⌫µ immer linkshändig, das Antifermion µ+ immer rechtshändig.
Daher ist für das ultrarelativistische Neutrino die Helizität negativ, der Spin zeigt also entgegengesetzt zur Flugrichtung. Das µ+ da- gegen ist zwar rechtshändig, aber nicht sehr relativistisch, so dass seine Spinrichtung nicht eindeutig festliegt. Der Spin des Muons kann also auch entgegengesetzt zur Flugrichtung zeigen, so dass Drehimulserhaltung erfüllt ist. Dieser Zerfall ist daher möglich mit Spin-Ausrichtungen entgegen den Flugrichtungen (↓)19
⇡+ →⌫µ ↓ +µ+ ↓
Wendet man eine Paritätstransformation auf diesen Prozess an, so ändert sich die Impulsrichtung aber nicht die Spin Richtung, so dass die Spins parallel zur Bewegungsrichtung sind (↑),
⇡+ →⌫µ ↑ +µ+ ↑
Dieser Prozess ist verboten, da das Neutrino jetzt rechtshändig wä- re. Es liegt also Paritätsverletzung vor.
Wendet man dagegen Ladungskonjugation an, so folgt
⇡− →⌫¯µ ↓ +µ− ↓
ein ebenfalls verbotener Prozess. Ladungskonjugation ist also eben- falls verletzt.
Die Kombination von beiden Transformationen, CP, liefert dage- gen einen erlaubten Prozess der schwachen WW, da hier das Anti- Neutrino in ultrarelativistischer Näherung rechtshändig ist,
⇡− →⌫¯µ ↑ +µ− ↑
19Der Zerfall
⇡+→⌫e↓ +e+↓
ist dagegen sehr viel unwahrscheinlicher, da dase+durch seine kleine Masse sehr relativistisch ist und daher nur eine kleine rechtshändige Komponente hat.
10.4 Neutrino-Streuung mittels W
CP ist also für den Pion-Zerfall erhalten.
CP Erhaltung ist jedoch in der schwachen Wechselwirkung nicht exakt erfüllt. Insbesondere tritt im Kaon-Zerfall und B-Meson Zer- fall eine sehr kleine Verletzung der CP-Erhaltung auf. Da in Feld- theorien ganz allgemein CPT-Erhaltung gilt, folgt daraus auch eine kleine Verletzung der Zeitumkehrinvarianz T.
10.4 Neutrino-Streuung mittels W
Pionen und Kaonen lassen sich in großer Anzahl in Proton-Kern Wechselwirkungen (fixed-Target) erzeugen. Fokussiert man diese, so entstehen auf langen Zerfallsstrecken durch Zerfälle Neutrinos, z.B.
⇡+→µ+⌫µ K+→µ+⌫µ
Der “Charged Current” Neutrino-Proton (oder Neutron) Wirkungs- querschnitt für
⌫µ+p→µ−+X
lässt sich durch Nachweis der entsprechenden geladenen Leptonen (hier dasµ) messen. Man findet bei den verfügbaren Strahlenergien einen fast linearen Verlauf des totalen WQ (siehe Abbildung),
tot�0,6⋅10−38cm2⋅ E⌫ GeV
Für ein fixed-target Experiment⌫µ+p→µ+X ist das Quadrat der Schwerpunktsenergies=(p⌫+pp)2 ≈2E⌫mp, so dass auch gilt:
tot∼s
Im Quark-Parton-Modell enstpricht der Prozess der⌫-Quark Streu- ung, z.B.
⌫µd→µ−u
mit der Schwerpunktsenergie ˆs < s. Dieser Prozess ist erlaubt für alle Winkel, da es keine Vorzugsrichtung durch die Spins gibt. Daher gilt
d
d⌦ = G2⋅s
4⇡2 (10.11)
⌫µ
d
W µ−
u
⌫µ d
µ−
u
⇐ ⇐⇒
⇒
Abb. 10.3 Elastische Neutrino-Quark Streuung mit geladenem Strom.
Links: Feynman-Diagramm. Rechts: Impulse und Spins im CMS-System.
10.5 Entdeckung und Zerfall desW Anders sieht es aus für den Prozess
¯
⌫µu→µ+d
In diesem Prozess ist die Rückwärtsstreuung (✓ = 180○) verboten wegen Helizitäts- und Drehimpulserhaltung.
d
d⌦ = G2⋅s
16⇡2(1−cos✓)2 (10.12)
¯
⌫µ
u
W µ+
d
⌫µ d
µ−
u
⇒ ⇒⇒
⇒
Abb. 10.4 Elastische Antineutrino-Quark Streuung mit geladenem Strom. Links: Feynman-Diagramm. Rechts: Impulse und Spins im CMS- System.
10.5 Entdeckung und Zerfall des W
Entdeckt wurden die schwachen Eichbosonen 1983 am CERNSPP S¯ Collider, der Proton-Antiproton-Kollisionp¯pbei einer Schwerpunkts- energie von √
s = 540 GeV ermöglichte. (Nobelpreis: Rubia (UA1 Experiment) und Vandermer (Beschleuniger). Das W war vorher nur aus den Zerfällen von z.B. µ sowie s,c Quarks vorhergesagt worden, es war aber nicht bekannt, ob es sich dabei nur um eine effektive Beschreibung der Zerfälle oder tatsächlich um ein Teil- chen handelte. Das Z Boson wurde aus der elastischen Neutrino- Streuung ⌫µp → ⌫µp gefolgert. Der Zusammenhang zwischen der Masse desW und desZ war nur theoretisch im heute so genannten Standard-Modell postuliert worden. Für das SPPS wurden durch Umkehrung des Neutron-Zerfalls
q
¯ q
W e±
¯
⌫e
Abb. 10.5
W-Produktion inpp¯Streuung d→ue−⌫¯e
die Reaktionen
¯
ud→W− →e−⌫¯e und
ud¯→W+ →e+⌫e
vorhergesagt. Analog aus “Crossing” der Neutrino-Streuung (mit der Ersetzung⌫ →e):
u¯u→Z0→e+e− dd¯→Z0→e+e−
Außerdem wurde erwartet, dass W und Z nicht nur in Elektronen sondern auch in Myonen zerfallen können sollten.
10.5 Entdeckung und Zerfall desW
Abb. 10.6 Oben: Bild eines Ereignisses im UA1 Experiment am CERN. Gezeigt sind geladene Teilchen als Kreisbahnen im Magnetfeld in der Spurkammer sowie Energien in den Kalorimeter-Zellen. Unten:
Das gleiche Ereignis. Gezeigt sind aber nur Spuren mit einem Impuls transversal zum Strahlrohr vonpT >1GeV. Nur eine Spur bleibt, die als Myon identifiziert wurde. Angedeutet ist auch die Richtung des fehlenden TransversalimpulsespT,miss, der aus Impulserhaltungsgründen folgt.
Die Kinematik der Ereignisse kann wie folgt verstanden wer- den: Seienx1, x2 die Quark-Impuls-Bruchteile im Proton und Anti- Proton, dann ergibt sich die W-Masse aus
m2W =(x1p1+x2p2)2≈x1x2s
Da x1≠x2 möglich ist, folgt, dass das W einen Impuls entlang der Strahlachse haben kann. Da das Neutrino nicht gemessen werden kann, mussmW mit Hilfe der transversalen Impuls-Bilanz bestimmt werden. Hierfür gilt im Idealfall
�
pT e=−�p⌧ ⌫
Für kleinee,⌫ Massen giltpT,max=mW�2, der so genannte Jakobi- Peak. Dieser Wert ist invariant unter Lorentz-Transformationen Abb. 10.7
Jakobi-Peak des transversalen Impulses der Leptonen aus demW-Zerfall.
entlang der Strahlrichtung, also auch unabhängig von den Unbe- kannten x1 und x2. Weitere Hadronen, die in den Ereignissen ent- stehen, tragen nur sehr wenigpT, so dasspT e≈pT⌫ auch tatsächlich beobachtet wird.
10.6 Standard-Model der elektroschwachen Wechselwirkung
Abb. 10.8 Im UA1 beobachtete Korrelation zwischen pt,e und pt,⌫
sowie Winkelverteilung der Leptonen.
W-Zerfall Die Universalität der schwachen WW zeigt sich am di- rektesten in der relativen Häufigkeit der Zerfälle reellerW-Bosonen.
Außer dem top-Quark sind alle Fermionen viel leichter als das W- Boson, so dass man deren Massen im Zerfall desW vernachlässigen kann. Aufgrund der drei Farben der Quarks gilt
e⌫e∶ µ⌫µ ∶ ⌧ ⌫⌧ ∶ du∶ sc=1∶1∶1∶3∶3
gilt. Bei 9 gleichen Zerfallsmöglichkeiten ergibt sich ein Verzwei- gungsverhältnis von jeweils 11%, wie experimentell beobachtet. Der Beitrag derCKM-Matrix ist hier vernachlässigbar klein (siehe Ka- pitel 12.1.
10.6 Standard-Model der elektroschwa- chen Wechselwirkung
Heute basiert die akzeptierte Theorie der schwachen Wechselwir- kung auf der SU(2)L Symmetrie im Flavour-Raum. Beteiligt sind dabei nur die linkshändigen Fermionen (“L”). Die Eichbosonen sind dieW± und Z0 Bosonen. Im Vergleich zu den anderen Wechselwir- kungen haben diese Eichbosonen eine hohe Masse und sind instabil:
Boson WW Masse M (GeV) Breite (GeV)
elektromag. 0 0
g stark 0 0
W± schwach 80,379±0,012 2,085±0,042 Z0 schwach 91,1876±0,0021 2,4952±0,0023
Hierbei ist die Energieunschärfe aufgrund der endlichen Le- bensdauer.
Gemäß Standard-Modell werden alle linkshändigen Fermionen in Doubletts, alle rechtshändigen in Singletts eingeordnet.
10.6 Standard-Model der elektroschwachen Wechselwirkung
Linkshändige Lepton-Doubletts (Isospin T3=±1�2)
�⌫e e−�
L
�⌫µ µ−�
L
�⌫⌧
⌧−�
L
�W− �W+ (10.13) Linkshändige Quark-Doubletts (Isospin T3=±1�2)
�u d�
L
�c s�
L
�t b�
L
�W− �W+ (10.14) Übergänge innerhalb eines Doubletts werden durch W-Austausch vermittelt. Dieser Übergang entspricht einer Rotation im SU(2) Raum. Die schwache Wechselwirkung ist damit automatisch uni- versell gleich für Leptonen und Quarks.
Rechtshändige Lepton-Singletts (Isospin T3=0)
e
R, ⌫
eR, µ
R, ⌫
µR, ⌧
R, ⌫
⌧R(10.15)
Rechtshändige Quark-Singletts (IsospinT3=0)
( u
R) , d
R, c
R, s
R, t
R, b
R(10.16)
Das W-Boson vermittelt keine Übergänge zwischen den rechts- händigen Singletts. Diese sind neutral bezüglich der schwachen La- dung und nehmen nicht an der schwachen WW teil.
Die wichtigsten Aussagen des Standard-Modells zur Physik der W und Z Bosonen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• W undZ Bosonen haben Spin 1.
• Das W Boson reagiert nur mit linkshändigen Teilchen und rechtshändigen Anti-Teilchen. Es wandelt dabeie,µ,⌧ Lepto- nen in Neutrinos um oder u,c,tQuarks in d,s,b Quarks, z.B.
e−→W−⌫e, W+→e+⌫e W+ →ud¯ Die Kopplungskonstante g∼0.7 für alle diese Reaktionen ist gleich groß.
• Das Z Boson koppelt sowohl an links- als auch an rechts- händige Teilchen, allerdings unterschiedlich stark. In Wech- selwirkungen mit dem Z Boson bleibt die Flavour der betei- ligten Leptonen und Quarks erhalten, z.B.
u→uZ, e+e− →Z, Z→b¯b
Es gibt jeweils eine Kopplungskonstante für alle geladenen Leptonen e,µ,⌧, Neutrinos ⌫e,⌫µ,⌫⌧, u-artigen Quarks u,c,t, sowied-artigen Quarks d,s,b.
• Jeweils 3 oder 4W und Z Bosonen können auch miteinander wechselwirken, z.B.
Z →W+W−, W+→W+Z, W+W−→ZZ
10.6 Standard-Model der elektroschwachen Wechselwirkung
10.6.1 SU(2) Symmetrie der schwachen Wechselwirkung
Die folgenden Betrachtungen gelten nur für die linkshändigen Kom- ponenten der Fermionen. Die schwache Wechselwirkung beschreibt Übergange zum Beispiel zwischen dem Elektron und dem Elektron- Neutrino. Man fasst diese Teilchen als die beiden Zustände eines verallgemeinerten Zustands (Doublett) auf
� �=�⌫ e�
Analog der Formulierung beim Spin bezeichnet man die Neutrino- Komponente als die +1�2 Komponente des sogenannten Isospins und das Elektron als −1�2 Komponente. Auch hierfür kann man eine unitäre Transformationen im Isospin-Raum definieren,
′=U �⌫′
e′�=U�⌫ e�
Hier sei U ein Element der Symmetriegruppe SU(2)L, das durch eine 2×2 Matrix mit U†U = 1 und det U = 1 dargestellt werden kann. Diese Transformationen verändern - ortsabhängig und zeit- abhängig - sowohl die Komponenten der Doubletts als auch deren Phasen. Solche unitären Matrizen können immer in der Form
′=U =eig↵a(x)Ta geschrieben werden.
• Die reelle und beliebige Konstante g wird später als Kopp- lungskonstante der W Bosonen interpretiert werden.
• Die ↵a(x) sind willkürliche reelle Funktionen von Ort und Zeit und Summation über aist implizit.
• Die2×2MatrizenTamüssen dabei linear unabhängig, spurlos und hermitesch sein. Es gibt höchstens drei solche Matrizen.
Diese “Generatoren” TaderSU(2)L können z.B. mit Hilfe der Pauli Matrizen dargestellt werden, da diese genau die oben genannten Forderungen erfüllen.
Ta= a
2 a=1,2,3.
Es liegen mit den drei Generatoren auch drei Transformationsmög- lichkeiten vor. In der Eichtheorie kann wieder gezeigt werden, dass die Wechselwirkung (hier mit demW und demZ) durch 4-er Vek- torfelder beschrieben werden muss, jeweils ein Feld Wa(x,t) pro Transformation.
g TaWa�⌫e e�
10.7 Das Z0-Boson
Setzt man explizit die Pauli-Matrizen ein, so erhält man gTaWa�⌫e
e� = g
2��0 1
1 0�W1+�0 −i
i 0�W2+�1 0
0 −1�W3� �⌫e e�
= g
2� W3 W1−iW2 W1+iW2 −W3 � �⌫e
e�
Für solche Flavour und Ladung ändernden WW macht es daher Sinn, Aufsteige- und Absteige-Operatoren T± und entsprechende Vektorfelder W+,W− zu definieren:
W±= 1
√2(W1∓iW2)
T±= 1
√2(T1±iT2) so dass
T+ = 1
√2�0 1
0 0� T−= 1
√2�0 0 1 0�
Ersetzt manT1,2 durchT±, so erhält man in dieser neuen Basis für dieW-Felder
+ g
√2� 0 W+ W− 0 � �⌫e
e�+1
2�gW3 0
0 −gW3� �⌫e e�
=(g(T+W++T−W−)+gT3W3)�⌫e e�
Der erste Term beschreibt die Wechselwirkung des geladenen Stroms, der zweite die des neutralen Stroms. Bei letzterem fehlt noch der Beitrag durch das Photon.
10.7 Das Z 0 -Boson
10.7.1 Z
0-Eigenschaften im StandardMo- dell
Der Austausch von W-Bosonen ist stets mit einer Änderung der Lepton- oder Quark-Flavour sowie der Ladung verbunden. Damit lassen sich Reaktionen wie
¯
⌫µ+e− →⌫¯µ+e−
nicht erklären, da hier kein Übergang innerhalb einer Generation stattfindet. Die Entdeckung solcher neutraler Ströme wird durch das Z0 Boson erklärt, das ebenfalls Spin 1 hat. Erwarten würde
¯
⌫µ
e−
Z0
¯
⌫µ
e− Abb. 10.9
Elastische Neutrino-Elektron Streuung.
man aufgrund der SU(2)L Symmetrie insgesamt 3 Eichbosonen.
Allerdings kann das Z0 nicht einfach ein neutraler Partner desW- Bosons sein, denn es hat eine andere Masse und koppelt nicht uni- versell gleich an alle Quarks und Leptonen. Beispielsweise beträgt
10.7 DasZ0-Boson das Verzweigungsverhältnis des ZerfallsZ0→e+e−nur ca. 3%. Ursa-
che ist die Mischung zwischen Photon undZ0 in der vereinheitlich- ten elektroschwachen Wechselwirkung SU(2)L×U(1)Y zusammen mit dem Higgs-Mechanismus.
DasZBoson koppelt sowohl an links- als auch an rechts-händige Teilchen, allerdings unterschiedlich stark. In Wechselwirkungen mit demZBoson bleibt die Flavour der beteiligten Leptonen und Quarks erhalten, z.B.
u→uZ, e+e−→Z, Z →b¯b
Es gibt jeweils eine Kopplungskonstante für alle geladenen Lep- tonen e,µ,⌧, Neutrinos ⌫e,⌫µ,⌫⌧, u-artigen Quarks u,c,t, sowie d- artigen Quarksd,s,b.
Im Standard-Modell gilt für die Kopplungen desW gW = sine✓W
und desZ:
gZ = sin✓Wecos✓W(T3−sin2✓WQ) Hierbei ist die elektromagentische Kopplung
e≈0.3 und der Weinberg-Winkel✓W ≈28,6°, also
sin2✓W ≈0.231
Weiter gilt für das Verhältnis der Massen vonW und Z: mW
mZ =cos✓W
Die Begründung für diese Kopplungen hängt mit der Mischung von und Z zusammen. Die SU(2)L hat die Kopplung g und gilt für W± und W0. Die U(1)y hat die Kopplung g′ und gilt für das B0. B0 und W0 mischen zu , Z0
�Aµ
Zµ�=�cos✓W sin✓W
−sin✓W cos✓W��Bµ0 Wµ0�
10.7.2 Entdeckung der Schwachen Neu- tralen Ströme
Die Neutralen Ströme wurden 1973 entdeckt,
⌫
e
Z0
⌫
e Abb. 10.10
Elastische Neutrino-Elektron- Streuung mitZ0 Austausch.
inelastisch: ⌫N →⌫X elastisch: ⌫¯µe−→⌫¯µe−
10.7 Das Z0-Boson
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Abb. 10.11 Links: Foto der Gargamelle-Blasenkammer als Ausstel- lungsobjekt am CERN.
Rechts: Ein von links in die Gargamelle Blasenkammer eintretendes Neu- trino trifft auf ein Elektron, und dieses erzeugt einen kleinen elektroma- gnetischen Schauer.
Experimentell nicht beobachtet hingegen werden “Flavour chan- ging neutral currents” (FCNC)20 wie z.B.
⌫ee→⌫µµ oder K0→µ+µ−
⌫e
e
⌫µ
µ
d¯ s
µ+ µ− Abb. 10.12 Nicht beobachtete FCNC-Prozesse.
20Solche FCNC sind im Standard-Model tatsächlich verboten durch den soge- nannten “GIM” Mechanismus, der gilt, wenn alle Generationen vollständig sind. Aus der nicht-Beobachtung von FCNCs wurde daher
• nach Entdeckung dess-Quarks auch dasc-Quark vorhergesagt,
• nach Entdeckung desb-Quarks auch dast-Quark vorhergesagt,
• nach Entdeckung des⌧-Leptons auch das⌫⌧ vorhergesagt.
In jedem dieser Fälle wurde das vorhergesagte Teilchen dann auch tatsächlich gefunden.
Gleichzeitig schränkt die nicht-Beobachtung von FCNCs auch viele Mo- delle zur Physik jenseits des Standard-Modells ein. Man kann also nicht einfach ein einzelnes weiteres Quark oder Lepton postulieren, ohne auch gleichzeitig den entsprechenden SU(2) Partner mit anzunehmen. Später werden wir sehen, dass man sogar aus der Beobachtung eines einzelnen weiteren Leptons oder Quarks folgen kann, dass die ganze Generation mit allen Leptonen und allen Quarks vorhanden sein muss.
10.7 DasZ0-Boson
10.7.3 Z
0-Physik an e
+e
−Beschleunigern
Am bisher höchst-energetischen e+e− Beschleuniger LEP (“Large Electron-Positron Accelerator”) wurden von 1989 - 2000 bei Schwer- punktsenergien von zunächst 90 GeV (Masse desZ) und später bis zu 208 GeV Daten genommen.
LEP-I (1989-1993), √s≈90 GeV: Bei diesen Energien wurden ca. 18.000.000Z produziert ;
LEP-II (1996-2000), 160<√
s≤209 GeV: Bei diesen Energien konnte Paarproduktion von W±-Bosonen beobachtet werden, mit ca. 80000 W’s.
Auf diese Weise können alle schwach Wechselwirkenden Fermio- nen paarweise erzeugt werden, wenn Ihre Masse kleiner als √s�2 ist, siehe Abb. 10.14. Der Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus der Interferenz von Photon- undZ-Beiträgen, d.h. der |Summe der Matrixelemente|2
e+e− → �Z0→µ+µ− bei √ s∼mZ
↑ ↑
Interferenzen
Aufgrund der Form des Z-Propagators ist zu erwarten, dass bei kleinen√
sder Photon-Beitrag dominiert, d.h. ∼1�s. Nahe derZ- Masse überwiegt derZ-Beitrag, während der reine Photon- Beitrag nur noch∼1%ausmacht. Bei sehr großen √
s wird dieZ Masse im Propagator unwichtig und der Wirkungsquerschnitt fällt wiederum
∼1�s. Dies ist in Abb. 10.17 gezeigt.
e+ e−
f¯ f +
e+ e−
Z0
f¯ f Abb. 10.16
Interferenz von undZ0Aus- tausch bei der Fermion-Paar- Produktion in e+e− Kollisio- nen.
Für den Wirkungsquerschnitt des Prozesses e+e− → Z → µ+µ− folgt
e+e−→Z0→µ+µ−= 12⇡s m2Z
ee µµ
(s−m2Z)2+m2Z 2Z (10.17) Hierbei ist Z die totale Breite desZ(d.h. 1/Lebensdauer), die sich aus den Partialbreiten ergibt:
Z =3⋅ Z→⌫⌫+3 ee+ 3
F arbe�
⋅(3 dd+ 2 uu
top zu schwer� )
⌫⌫ = GFm3Z =167M eV
ee = Z0→e−Le+R+ Z0→e−Re+L =4 sin2✓W ⌫⌫=84M eV
dd = 370M eV
uu = 287M eV
Es gilt µµ = ⌧ ⌧. Für e+e− → e+e− verhält sich der WQ aber anders als z.B. für e+e− → µ+µ−, da weitere Diagramme möglich sind (Bhabha-Streuung).
e+ e−
�Z0 e+ e− e+ +
e−
�Z0 e+
e− Abb. 10.18
Genau an der Polstelle bei s=m2Z folgt aus
∼ 1
(s−m2Z)2+m2Z 2
10.7 Das Z0-Boson
POINT 4.
LAKE GENEVA GENEVA
CERN Prévessin
POINT 6.
POINT 8.
POINT 2.
CERN
SPS
ALEPH DELPHI
OPAL
LEP e Electron -
e Positron +
Abb. 10.13 Der LEP Beschleuniger am CERN.
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45)(9"66<><"%(';'%?>(8$'(><@A6'
'' µµ
!! BB
Abb. 10.14 Ereignisse des ALEPH Experiments bei LEP mit Paaren von Elektronen, Myonen, ⌧’s und Quarks.
10.7 DasZ0-Boson
e+e− →Z0 → e+e− µ+µ−
⌧+⌧−
⌫e⌫¯e
⌫µ⌫¯µ
⌫⌧¯⌫⌧ u¯u dd¯ s¯s c¯c b¯b
} } } }
Leptonenpaare (einfach)
unsichtbar
2 jets
2 jets + suche nach c, b Zerfällen Abb. 10.15 Fermion-Antifermion Endzustände in Zerfällen von Z- Bosonen.
!"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/102113 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ 2
=*'()*-><9>(8?(45)(<>(><@A6'
Abb. 10.17 Wirkungsquerschnitt füre+e−→Hadronen, von LEP und älteren Beschleuniger-Experimenten.
10.8 WW Produktion in e+e− Kollisionen die Relation:
im Peak: max= 12⇡
m2Z
ee f f 2Z
2Z enthält alle Fermionen, auch “unsichtbare” Neutrinos. Daher kann man auch die Anzahl der unsichtbaren Zerfallsprodukte, der Neutrinos, messen.
e+e−→q¯q
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!(E';'$'(9"%EC$8<%C("%(8FF<C<"%86(<%;<E<A6'(D8$C<96'E
Die Daten zeigen:
• Es gibt nur 3 ⌫-Sorten mit M⌫ <mZ�2 mit Kopplungen, die den Standard-Modell Z⌫⌫-Kopplungen entsprechen.
• Oft wird das so interpretiert, dass es nur 3 Generationen von Fermionen gibt. Es kann aber durchaus weitere Neutrino- Sorten geben, die schwerer als ca. mZ�2 ≈ 45 GeV sind. In diesem Fall sind auch weitere Generationen von geladenen Leptonen und Quarks möglich. (siehe auch: Chirale Anoma- lie).
• Auch jenseits des Standard-Modells kann es nur dann weitere TeilchenX mit Massen MX <45GeV geben, wenn die Kopp- lungen dieser Teilchen an dasZ sehr viel kleiner sind als die der schwachen WW der bekannten Fermionen.
10.8 WW Produktion in e + e − Kol- lisionen
Durch Einbau supraleitender Beschleuniger-Elemente wurde die Schwer- punktsenergie des LEP Beschleunigers auf 160 bis 209 GeV gestei-
10.8 WW Produktion in e+e− Kollisionen gert (LEP-II Phase). Dadurch konnten W- Bosonen paarweise er-
zeugt werden.
e+e− →W+W−
Abb. 10.19 Feynman-Diagramme für e+e− → W+W− Produktion über �Z und Neutrino-Austausch.
Messung der 3-Boson- Kopplung Das erste der gezeigten Feynman- Diagramme beinhaltet die W W und dieZW W- Kopplung (triple gauge coupling). Diese werden im Standard-Modell exakt vorher- gesagt, d.h.
• DasW ist einfach geladen und hat damit die gleiche Kopplung an das wie ein Elektron.
• DieW W Z Kopplung ist (bis auf Faktoren wie√
2) die gleiche Konstante (g) wie die des W an Fermionen, z.B. W e⌫ oder W ud¯.
Wie man sieht, beschreibt die Summe aus , Z und Neutrino-Austausch die gemessene Rate sehr genau. Dies ist eine sehr wichtige Bestäti- gung derSU(2)L Symmetrie und des Konzepts der nicht-Abelschen Eichtheorie.
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Abb. 10.20 Links: TheoretischerW W- Wirkungsquerschnitt für ver- schiedenemW nahe der kinematischen Schwelle,√
s≈2mW. Rechts: Ge- messener WQ im Vergleich zur theoretischen Vorhersage für den Wert von mW, der am Besten zu den Daten passt. Auch gezeigt sind die theoretischen Wirkungsquerschnitte falls es nur jeweils eines der beiden Feynman-Diagramme geben sollte.
