Stabile Reduktion II

Stabile Reduktion II

AG Deligne-Mumford, Winter 2014/2015 Fabian Januszewski

6 Blow-Downs

Im Folgenden seiX →S stets eine regul¨are gefaserte Fl¨ache ¨uber einem Dedekind- schema S der Dimension 1. Wir bezeichnen mit K_X/S ∈ Div(X) den kanonischen Divisor.

Definition 6.1. Ein irreduzibler Divisor E ∈Div(X) heißt exzeptionell, oder auch (−1)-Kurve, wenn es eine regul¨are gefaserte Fl¨acheY →S gibt und einen Pfeil

f : X →Y von S-Schemata, sodaß

(i) f(E) ist ein Punkt,

(ii) f :X\E →Y\f(E) ist ein Isomorphismus.

Bemerkung. Da f(E) ein Punkt ist, ist das Bild von E inS ebenfalls ein Punkt, mithin istE vertikal. Weiterhin ist f :X →Y automatisch der Blow-up von Y bei f(E). Dies ergibt sich aus dem

Theorem 6.2. Ist f: X → Y ein birationaler Morphismus regul¨arer gefaserter Fl¨achen ¨uber S, dann ist f eine endliche Komposition von Blow-ups entlang abge- schlossener Punkte.

Zentral f¨ur uns ist

Theorem 6.3(Castelnuovo’s Kriterium, Lichtenbaum, Shafarevich). Es seiE ⊆X_s ein irreduzibler vertikaler Divisor auf X und k⁰ := H⁰(E,O_E). Dann ist E genau dann eine (−1)-Kurve, wenn E ∼=P¹k⁰ und

E² = −[k⁰ :k(s)].

Bemerkung. Der Name (−1)-Kurve resultiert aus folgender Beobachtung: F¨ur das Normalenb¨undel von E in X gilt

N_E/X ∼= OX(E)|E ∼= OE(−1),

d.h. sein Grad ist−1 (in unserer normalisierten Definition −[k⁰ :k(s)]).

In der Praxis relevant ist

Proposition 6.4. Es sei E ⊆X_s ein irreduzibler Divisor aufX. Dann gilt:

(a) E ist genau dann exzeptionell, wenn

K_X/S ·E < 0 und E² < 0.

(b) Falls p_a(X_η)≥1, dann ist E genau dann exzeptionell, wenn K_X/S ·E < 0.

7 Minimale Modelle

Definition 7.1. Eine regul¨are gefaserte Fl¨ache X →S heißtrelativ minimal, wenn X keine (−1)-Kurve enth¨alt.

Bemerkung. Nach Theorem 6.2 ist X → S genau dann relativ minimal, wenn jeder birationale Morphismus X → Y regul¨arer gefaserter Fl¨achen ¨uber S ein Iso- morphismus ist.

Definition 7.2. Eine regul¨are gefaserte Fl¨ache X → S heißt minimal, wenn jede birationale Abbildung Y → X regul¨arer gefaserter Fl¨achen ¨uber S ein Morphismus ist.

Bemerkung. Minimale regul¨ar gefaserte Fl¨achen sind stets relativ minimal.

Beispiel. Wenn X → S glatt ist, dann ist es relativ minimal. Wenn p_g(X_η) ≥ 1, istX →S damit sogar minimal, siehe Korollar 7.9 weiter unten.

Definition 7.3. Es seiX →Seine normale gefaserte Fl¨ache. Ein(regul¨ares) Modell von X besteht aus einer regul¨aren gefaserten Fl¨ache Y →S und einer birationalen AbbildungY →X. Dabei heißtY →Sein(relativ) minimales Modell, wennY →S (relativ) minimal.

Bemerkung. Da X_η eine Kurve ist, induziert die birationale Abbildung Y → X einen IsomorphismusY_η ∼=X_η. Weiterhin ist ein minimales Modell bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig, wenn es existiert.

Lemma 7.4. Es sei X → S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache. Dann enthalten nur endlich viele FasernX_s, s∈S, exzeptionelle Divisoren.

Dank des Lemmas k¨onnen wir alle (−1)-Kurven in X in endlich vielen Schritten kollabieren und erhalten

Proposition 7.5. Es sei X →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache. Dann existiert ein birationaler Morphismus f :X →Y mit Y →S relativ minimal.

Theorem 7.6. Es sei X →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache mit p_a(X_η)≥1. Dann existiert ein bis auf Isomorphie eindeutiges minimales Modell ¨uberS.

Der Beweis des Theorems basiert auf

Lemma 7.7. Es sei Y → S eine normale gefaserte Fl¨ache mit regul¨aren Modellen X₁, X₁ ohne Dominanzrelation zwischenX₁ und X₂. Dann existiert ein X₁ und X₂ dominierendes regul¨ares Modell Z von Y und ein exzeptioneller Divisor E auf Z, welcher im exzeptionellen Locus von Z →X₁ liegt, mit:

(i) Entweder ist das Bild von E unter Z →X₂ ist ein exzeptioneller Divisor, (ii) oder es existiert ein weiterer exzeptioneller Divisor E₂ auf Z und eine ganze

Zahl µ mit

(E₁+µE₂)² ≥0.

Wenn weiterhin X₁ und X₂ die Fl¨ache Y dominieren, dann liegen E₁ und ggf. E₂ im exzeptionellen Locus vonZ →Y.

Korollar 7.8. Wenn X →S eine relativ minimale regul¨are gefaserte Fl¨ache ist mit p_a(X_η)≥1, so ist X →S bereits minimal.

Korollar 7.9. Es sei X →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache mit p_a(X_η)≥ 1. Dann ist X → S genau dann minimal, wenn der kanonische Divisor K_X/S numerisch effektivist, d.h. daßK_X/S·C ≥0 f¨ur jeden irreduziblen vertikalen DivisorC aufX.

8 Desingularisierung

Definition 8.1.Es seiY ein reduziertes lokal noethersches Schema. Ein eigentlicher birationaler Morphismusπ :Z →Y mit Z regul¨ar heißtDesingularisierung von Y, oder auch eine Aufl¨osung der Singularit¨aten in Y. Wenn π ¨uber allen regul¨aren Punkten von Y ein Isomorphismus ist, heißt π eine starkeDesingularisierung. Eine Desingularisierung π :Z →Y heißt minimal, wenn jede weitere Desingularisierung π⁰ :Z⁰ →Y ¨uberπ faktorisiert.

Die Standard-Prozedur zur Desingularisierung von Y im Fall eines exzellenten reduzierten noetherschen Schemas der Dimension 2 ist folgende. Es sei Y₁ → Y die Normalisierung von Y, und Y_i+1 →Y_i induktiv definiert als die Normalisierung des Blow-ups von Y_i entlang des singul¨aren Locus Sing(Y_i) := Y_i −Reg(Y_i). Da Y exzellent ist, ist Y_i exzellent, Sing(Y_i) ist daher abgeschlossen, und die Kette

· · · →Y_i+1 →Y_i → · · · →Y₁ →Y (1) bricht ab, bei i = n, wenn Y_n regul¨ar ist. Unter den obigen Voraussetzungen hat Lipman gezeigt, daß (1) tats¨achlich nach endlich vielen Schritten abbricht. Das ErgebnisX_n→Y ist dann sogar eine starke Desingularisierung von Y.

In unserem Fall ergibt sich f¨ur gefaserte Fl¨achen folgendes, einfacheres Resultat.

Theorem 8.2. Es sei X → S eine gefaserte Fl¨ache ¨uber einem Dedekind-Schema der Dimension 1 mit regul¨arer generischer Faser X_η. Dann sind folgende Aussagen

¨

aquivalent:

(i) X besitzt eine Desingularisierung.

(ii) X besitzt eine starke Desingularisierung.

(iii) Die Kette (1) bricht nach endlich vielen Schritten ab.

(iv) Die Menge Sing(X) ist ein einer endlichen Menge abgeschlossener Fasern X_s1, . . . , X_sr enthalten und die Kurve

X×_SSpec Quot(Ob_S,si) ist f¨ur jedes 1≤i≤r regul¨ar.

Wenn ferner S affin ist, so ist die starke Desingularisierung Z →Y projektiv.

Korollar 8.3. Es seiX→S eine gefaserte Fl¨ache mit glatter generischer FaserX_η. Dann besitztX eine starke Desingularisierung.

Proposition 8.4. Es sei X → S eine normale gefaserte Fl¨ache. Wenn Y → X eine Desingularisierung ist, sodaß der exzeptionelle Locus vonY →X keinen exzep- tionellen Divisor enth¨alt, dann ist Y →X eine minimale Desingularisierung.

Korollar 8.5. Es sei X → S eine normale gefaserte Fl¨ache mit glatter generischer Faser X_η. Dann besitztX eine minimale Desingularisierung.

Bemerkung. Es l¨aßt sich zeigen, daß im Fall von Korollar 8.5 auch eine Desin- gularisierung existiert, welche minimal ist unter allen Desingularisierungen mit der Eigenschaft, nur normale ¨Uberkreuzungen zu haben (vgl. Teil I, Theorem 4.4 bzw.

Korollar 4.5).

9 Kanonische Modelle

Nachdem wir in einer regul¨aren Fl¨ache alle (−1)-Kurven kollabiert haben und damit das minimale regul¨are Modell produziert haben, kollabieren wir nun in letzterem alle (−2)-Kurven, um das kanonische Modell zu erhalten.

Theorem 9.1. [Artins Kontrahierbarkeitskriterium] Es sei X → S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache und

∆ = X

i

Γ_i

ein reduzierter effektiver vertikaler Divisor aufX, welcher in einer abgeschlossenen Faser X_s enthalten ist. Es gelte:

(i) Die Schnittmatrix (Γ_i·Γ_j)_ij istnegativ definit, und

(ii) F¨ur jeden Divisor Z >0 mit Tr¨ager in ∆ gilt Pic⁰(Z) = 1.

Dann existiert ein Kontraktionsmorphismusc:X →Y zu ∆.

Korollar 9.2. Es sei X → S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache und Γ₁, . . . ,Γ_r ⊆ X_s irreduzible vertikale Divisoren in einer abgeschlossenen Faser mit

K_X/S ·Γ_i = 0, 1≤i≤r. (2) Weiterhin gelte f¨ur die Schnittmatrix

(Γ_i·Γ_j)1≤i,j≤r ist negativ definit. (3)

Dann existiert ein Kontraktionsmorphismus c : X → Y, welcher Γ1, . . . ,Γr kon- trahiert, wobei Y →S eine gefaserte Fl¨ache ist.

Bemerkung. Im Allgemeinen ist die kontrahierte Fl¨acheY →Snicht mehr regul¨ar.

Daf¨ur hat die FaserY_sjedoch eine einfachere Struktur als die FaserX_s. In der Praxis haben wir folgendes Kriterium f¨ur Bedingung (2).

Proposition 9.3. In der Situation des Korollars (9.2) gilt die Bedingung (2) f¨ur Γ = Γ_i genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

(i) H¹(Γ,OΓ) = 0 und Γ² =−2[k⁰ :k(s)].

(ii) Γ ist ein Kegelschnitt ¨uber k⁰ und Grad_k⁰O_X(Γ)|_Γ =−2.

(iii) p_a(X_η) = 1 und Γ ist eine Zusammenhangskomponente von X_s. Hierbei seik⁰ :=H⁰(Γ,O_Γ). Weiterhin sind (i) und (ii) ¨aquivalent.

Definition 9.4. Ein Divisor Γ auf einer regul¨are gefaserte Fl¨acheX →S, welcher Bedingung (i) bzw. (ii) aus Proposition 9.3 gen¨ugt und ¨uberk⁰ glatt ist, heißt (−2)- Kurve auf X.

Proposition 9.5. Sei in der Situation von Theorem 9.1 der Divisor ∆ Zusam- menh¨angend. Dann istc(∆) ={y}ein Punkt und wir haben f¨ur den Tangentialraum von Y beiy die Dimensionsformel

dim_k(y)T_Y,y = (−Z²)/[k(y) :k(s)] + 1.

Korollar 9.6. Es seiX →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache und Γ₁, . . . ,Γ_r irreduzi- ble vertikale Divisoren auf X mit K_X/S·Γ_i = 0 und negativ definiter Schnittmatrix (Γ_i·Γ_j)_ij. Es sei c:X →Y der Kontraktionsmorphismus der Γ_i. Dann gilt:

(i) F¨ur jedes y∈Y gilt dim_k(y)T_Y,y ≤3.

(ii) Y ist lokal vollst¨andiger Schnitt ¨uberS.

(iii) F¨ur jedes n∈Z gilt

c∗(ω_X/S^⊗n ) = ω^⊗n_{Y /S} und c^∗(ω^⊗n_{Y /S}) = ω_X/S^⊗n .

Proposition 9.7. Es sei X → S eine minimale regul¨are gefaserte Fl¨ache mit p_a(X_η) ≥ 2 und S affin (der Dimension 1). Wir bezeichnen mit E die Menge der irreduziblen vertikalen DivisorenE ∈Div(X) mit

Grad_k(s)ω_X/S|_E = 0. (4)

Dann gilt:

(i) Die Menge E ist endlich.

(ii) Es existiert ein Kontraktionsmorphismus c:X →Y zu E. (iii) Die Garbe ω_{Y /S} ist ampel.

(iv) Es existiert einn ≥1 sodaß ω^⊗n_X/S von globalen Schnitten erzeugt wird.

(v) Mit n ≥ 1 wie in (iv) seien s₀, . . . , s_N ∈ H⁰(X, ω^⊗n_X/S) Erzeuger des O_S(S)- Moduls der globalen Schnitte von ω_X/S^⊗n und

ϕ: X →P^NS

der zugeh¨orige Morphismus. Dann giltY ∼=ϕ(X) und der Pfeilϕ:X →ϕ(X) stimmt mit c:X →Y ¨uberein.

Definition 9.8.Es seiX →Seine minimale regul¨are gefaserte Fl¨ache mitpa(Xη)≥ 2 undf :X →Y die Kontraktion der irreduziblen vertikalen DivisorenE mit

K_X/S ·E = 0. (5)

Dann heißtf :X →Y das kanonische Modell von X.

Bemerkung. Aufgrund der Minimalit¨at vonX istY singul¨ar sobald einE mit (5) existiert. Per definitionem sind (4) und (5) ¨aquivalent und ein kanonisches Modell Y existiert stets (vgl. Proposition 9.7).

Die abgeschlossenen Fasern ¨uber (singul¨aren) abgeschlossenen Punkten s ∈ S sind in folgendem Sinne gutartig.

Proposition 9.9 (Eigenschaften des kanonischen Modells). Es sei X → Y das kanonische Modell einer minimalen regul¨aren gefaserten Fl¨acheX →Smitp_a(X_η)≥ 2. Dann gilt:

(i) Y →S ist lokal vollst¨andiger Schnitt.

(ii) F¨ur jedes y∈Y gilt dim_k(y)T_Y,y ≤3.

(iii) Jede abgeschlossene Faser Y_s hat h¨ochstens 2p_a(X_η)−2 irreduzible Komponenten.

10 Minimale und Kanonische Modelle von Kur- ven

Im Folgenden seiSein Dedekindschema der Dimension 1 undCeine normale zusam- menh¨angende projektive Kurve ¨uber dem Funktionenk¨orper K :=K(S) von S.

Definition 10.1. EinModellvonC ¨uberSist eine normale gefaserte Fl¨acheC → S zusammen mit einem ausgezeichneten Isomorphismus

C_η ∼= C. (6)

Morphismen von Modellen respektieren per definitionem die Isomorphismen (6).

Beispiel 1. Die Fermat-Gleichung

x^q+y^q+z^q ∈ Z[x, y, z]

definiert ein Modell der Fermat-KurveV(x^q+y^q+z^q)⊆P²Q uber¨ S = SpecZ.

Beispiel 2. Wenn C durch homogene Polynome F₁, . . . , F_m ∈ K[T₀, T_n] definiert wird und S = SpecA, dann d¨urfen wir ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, daß die Koeffizienten von F₁, . . . , F_m in A liegen. Dann ist C₀ :=

ProjA[T₀, . . . , T_m]/(F₁, . . . , F_m) ein Modell vonC uber¨ S, sofernC₀ normal ist. Ins- besondere erhalten wir durch Desingularisierung von C₀ → S stets ein regul¨ares Modell vonC wennC glatt ist (vgl. Korollar 8.3).

Bemerkung. Im Allgemeinen gibt es glatte Modelle, welche als Modelle nicht isomorph sind.

Eine direkte Konsequenz von Beispiel 2, Korollar 8.3 und Theorem 10.2 ist das Theorem 10.2. Es sei S affin und C eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht p_g(C)≥1. Dann existiert ein minimales regul¨ares Modell C_min →S.

Definition 10.3. Das kanonische ModellCcan →S von Cmin →S heißt das kanon- ische Modellvon C ¨uberS.

11 Reduktion von Kurven

Definition 11.1. Es sei C → S ein Modell einer Kurve C uber¨ K = K(S). Dann heißt f¨ur einen abgeschlossenen Punkt s∈S die Faser C_s eine Reduktionvon C bei s.

Bemerkung. Die Reduktion von C bei S h¨angt vom Modell ab!

Definition 11.2. Wir sagen, daßC bei s∈S

gute Reduktion hat, wenn es ein glattes Modell ¨uber SpecO_S,s gibt.

semi-stabile Reduktion hat, wenn es ein Modell C ¨uber SpecO_S,s gibt, sodaß C_s nur gew¨ohnlichen Doppelpunkte hat.

stabile Reduktion hat, wenn es ein ModellC uber Spec¨ O_S,s gibt, sodaß C_s eine stabile Kurve ist.

12 Der Satz von Deligne-Mumford

Definition 12.1. Einstabiles Modelleiner KurveC¨uberK(S) ist ein ModellC → S von C uber¨ S, sodaß alle abgeschlossenen Fasern Cs,s ∈S, stabile Kurven sind.

Theorem 12.2. [Mumford, Deligne-Mumford] Es sei S ein Dedekindschema der Dimension 1 und C eine projektive glatte geometrisch zusammenh¨angende Kurve

¨

uber K(S) vom Geschlecht p_g(C) ≥ 2. Dann existiert ein Dedekindschema S⁰, endlich und flach ¨uberS, und sodaßK(S⁰)/K(S) separabel ist, mit der Eigenschaft, daß C×_SpecK(S)SpecK(S⁰) ein eindeutiges stabiles Modell ¨uberS⁰ besitzt.

In Charakteristik 0 erfolgt der Beweis von Theorem 12.2 mittels

Lemma 12.3. Theorem 12.2 ist wahr, wenn es f¨ur den FallS = SpecO_K, wobeiO_K ein vollst¨andiger diskreter Bewertungsring mit algebraisch abgeschlossenem Restk- lassenk¨orper k(s) gilt.

Nach Korollar 8.3 besitzt in diesem Fall C ein regul¨ares Modell, und daher hat C nach Proposition 5.2 aus Teil I semi-stabile Reduktion ¨uber einer endlichen separablen Erweiterung L/K bei jedem abgeschlossenen Punkt s∈SpecO_L, wobei OL die Normalisierung von OK in L ist.

Nach Theorem 10.2 besitztC⁰ :=C×SpecO_K SpecO_Lein minimales Modell ¨uber O_L, und daher auch ein kanonisches Modell ¨uberO_L.

Theorem 12.2 ergibt sich daher aus

Theorem 12.4. Es sei S ein affines Dedekind-Schema der Dimension 1 undC eine projektive glatte Kurve ¨uber K(S) vom Geschlecht p_g(C) ≥ 1 mit semi-stabiler Reduktion ¨uber S. Dann gilt:

(i) Das minimale Modell C_min →S ist ein semi-stabiles Modell ¨uberS.

(ii) Das kanonische Modell C_can →S ist das eindeutige stabile Modell ¨uberS.

Zum Beweis von Theorem 12.4 ben¨otigen wir das

Lemma 12.5. Es sei X → S eine semi-stabile Kurve, s ∈ S abgeschlossen und x∈X_s singul¨ar in X_s. Dann gilt:

(a) Es existiert ein Dedekind-Schema S⁰, ´etal ¨uberS, und einx⁰ ∈X⁰ :=X×_SS⁰

¨

uber x, sodaß x⁰ ein zerlegter gew¨ohnlicher ordin¨arer Doppelpunkt in X_s⁰0 → k(s⁰) ist.

(b) In (a) haben wir einen Isomorphismus

Ob_X⁰_,x⁰ ∼= Ob_S⁰_,S⁰[[u, v]]/(uv−c) mit einem c∈m_s⁰O_S⁰_,s⁰. Wenn X_η glatt ist, dann giltc6= 0.

(c) Die normalisierte Bewertung e_x ∈ N von c in O_S⁰_,s⁰ ist von S⁰, s⁰ und x⁰ unabh¨angig.

Definition 12.6. Die Bewertung e_x ≥1 heißt dieDicke von x in X.

Korollar 12.7. Es seiX →S eine semi-stabile projektive Kurve mit glatter gener- ischer Faser X_η und π: X⁰ → X die minimale Desingularisierung, x ∈ X_s ein zer- legter gew¨ohnlicher Doppelpunkt der Dickee_x. Dann bestehtπ⁻¹(x) aus einer Kette von e_x−1 projektiven Geraden ¨uberk(s), welche sich transveral in k(s)-rationalen Punkten schneiden. Diese Geraden haben Multiplizit¨at 1 in X_s⁰ und Selbst-Schnitt- Zahl −2 in X⁰.