Schnittstellen bestimmen f ( x ) = g ( x ) x 1 = 1; x 2 = 3; x 3 = 10. Integrale der Differenzfunktion berechnen. (von Schnittstelle zu Schnittstelle)

(1)

10

Flächeninhalt zwischen Funktionsgraphen bestimmen g 4

h

−4

−8

−12

4 8

y

x

Gegeben sind f ( x ) = 0,1 x ³ − x ² + 2 und g ( x ) = 0,2 x ² − 1,7 x − 1 Schnittstellen bestimmen f ( x ) = g ( x )

x ₁ = − 1; x ₂ = 3; x ₃ = 10

Integrale der Differenzfunktion berechnen

(von Schnittstelle zu Schnittstelle)

− 1

∫

3

(

f ( x ) − g ( x )

)

dx ≈ 9,6

∫

3

10

(

f ( x ) − g ( x )

)

dx ≈ − 42,9 Beträge addieren A ≈ | 9,6 | + | − 42,9 | = 52,5

Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funk tionen f und g.

a) f ( x ) = x ² + 5 x g ( x ) = x Schnittstellen:

Integrale:

Flächeninhalt:

b) f ( x ) = x ⁴ − 5 x ² − 3 g ( x ) = − 7 Schnittstellen:

Integrale:

Flächeninhalt:

c) f ( x ) = 0,5 x ⁴ − 2 x ² − 1 g ( x ) = − 0,5 x ⁴ + 2 x ² − 1

d) f ( x ) = − x ² + x + 2 g ( x ) = x ³ − x ² + 2

e) f ( x ) = x ³ − 2 x ² + 1 g ( x ) = − x ³ + 2 x ² + 1

f) f ( x ) = cos ( x )

g ( x ) = sin ( x ) im Intervall [ 0; 5 ]

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x ³ − 12 x. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Funktionsgraphen von f und der Gerade eingeschlossen ist, die durch die beiden Extrempunkte des Graphen von f verläuft.

Gegeben sind die Funktionen f mit f ( x ) = √^__x und g mit g ( x ) = a×x.

a) Berechnen Sie für a = 1; a = 0,1; a = 0,01 den Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen.

b) Berechnen Sie für ein beliebiges a > 0 den Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen.

1

2

3

Integralrechnung

(2)

22 Kurvenanpassung

Untersuchen von Funktionenscharen

Untersuchen Sie die Funktionenschar f _k (x) = x³ − 3 k ² ×x.

Ableitungen f _k ′ (x) = 3 x² − 3 k² f _k ″ (x) = 6 x f _k ‴ (x) = 6 Symmetrie

Exponenten betrachten

Die Graphen sind punkt

symmetrisch zum Ursprung, da im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auftreten.

Verhalten im Unendlichen

f_k (x) verhalten sich wie g (x) = x³ Für x → − ∞ laufen f_k(x) → − ∞ Für x → ∞ laufen f_k(x) → ∞ Nullstellen

f _k (x) = 0 lösen

f _k (x) = 0 ⇒ x³ − 3 k²×x = 0 x ₁ = 0; x _2/3 = ± √^__3 k Lokale Extrempunkte

f _k ′ (x) = 0 lösen

mögliche Stellen prüfen

f _k ′ (x) = 0 ⇒ 3 x² − 3 k² = 0 x _E₁ = k; x _E₂ = − k

für k > 0:

f _k ″ ( x _E₁ ) > 0 ⇒ T (k | − 2 k³) f _k ″ ( x _E₂ ) < 0 ⇒ H (− k | 2 k³) für k = 0:

keine Extremstellen für k < 0:

f _k ″ ( x _E₁ ) < 0 ⇒ H (k | − 2 k³) f _k ″ ( x _E₂ ) > 0 ⇒ T (− k | 2 k³) Ortskurve der Extrem-

punkte

Parameterelimination

z. B. für x _E₁ = k y = −2 k³ = − 2 x³

Wendepunkte f _k ″ (x) = 0 lösen

f _k ″ (x) = 0 ⇒ 6 x = 0 x w = 0

mögliche Stellen prüfen f _k ‴ ( x _W ) ≠ 0 ⇒ W (0 | 0) Graphen

und ggf. Ortkurve

2 4 6

y

x

−5

−10

−15 5 10 15 20

−2

−4

−6

Untersuchen Sie die Funk tionenschar f _k (x) = k× x ³ + x ² − 1 _ k ×x mit k > 0.

1

1 2 3 4

y

x

−1

− 2

−3 1 2 3 4

−1

− 2

−3

(3)

35 e-Funktionen

Kapiteltest e-Funktionen

Dokumentieren Sie Ihre Rechenwege angemessen.

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion.

a) f (x) = 2 x²×(6 x – 8) b) f (x) = (4 x – 3)³ c) f (x) = ____ sin ( x ) 3 x + 2 d) f (x) = √^______5 x + 1 ×

(

^{1 _}⁵^{− x}

)

e) f (x) = 2,5 e^x + cos (x) f) f (x) = e ^{2 x}²^{− 4 x} g) f (x) = e ^{− x}² ×ln ( x ) h) f (x) = ^___^{ln ( x )}_x2

Berechnen Sie die Steigung des Graphen von f mit

a) f (x) = ^{1 _}₂ × ( x − 2 ) ( x + 3 ) ² in den Schnittpunkten mit der xAchse b) f (x) = e ^{1 _}²^{x − 1} − 4 an der Stelle x = 2

c) f (x) = – 2 ln (3 x) an der Stelle x = 1

Die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = 4 e ⁻^{1 _}²^x² und g ( x ) = e ^x schließen mit der yAchse das markierte Flächenstück ein.

Berechnen Sie die Größe des Flächenstücks.

1 2 3 4

1

−1

−2

−3 2 3

y

x f

g

Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen der Funktion f mit f (x) = ln (4 – x) im Punkt P

(

^{2 | f (2)}

)

^.

Die Funktion f mit f (t) = 4×t× e ^{− 0,6 t} + 36,6 modelliert die Körper

temperatur von Claas während einer Erkrankung. Dabei ist t die Zeit in Tagen und f (t) die Körpertemperatur in Grad Celsius.

a) Berechnen Sie die höchste Körpertemperatur während der Erkrankung und geben Sie an, am wievielten Tag diese auftritt.

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Körper

temperatur und geben Sie die Temperatur zu diesem Zeitpunkt an.

c) Geben Sie eine Funktion an, die die Erhöhung der Körpertemperatur während der Erkrankung beschreibt.

d) Zeigen Sie, dass F (t) = −

(

^_²⁰³^{t +}¹⁰⁰^_⁹

)

^{× e}^{− 0,6 t} + 36,6 t eine Stamm

funktion von f (t) ist.

e) Berechnen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur von Claas innerhalb der ersten Woche des Infekts.

Gegeben ist die Funktionenschar f _k ( x ) = x× e ^{k − x} .

a) Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen und geben Sie die Gleichungen der Wendetangenten an.

b) Zeigen Sie, dass keine der Wendetangenten durch den Ursprung verläuft.

c) Zeigen Sie, dass F _k mit F _k ( x ) = − ( x + 1 ) × e ^{k − x} Stammfunktionen der Funktionenschar sind.

d) Bestimmen Sie im Intervall [0; b] den Inhalt der Fläche, die der Graph von fk mit der xAchse einschließt.

Untersuchen Sie die Größe der Fläche für b → ∞.

Gegeben ist eine Funktionenschar mit zwei Parametern a und b:

fa,b (x) = ^{a − x}_ b× e ^x² .

Bestimmen Sie die beiden Parameter a und b so, dass der Graph im Punkt P (– 1 | e) einen Extrempunkt hat.

2

1

−1

−2

−3 2 3

y

f x

1

2

3

4 5

6

7

(4)

77 Ebenen im Raum

Abstand windschiefer Geraden bestimmen Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden g: _›

x =

(

^{− 3}⁹⁰

)

^{+ s}

(

^{− 1}⁴⁸

)

und h: _›

)

|

^{= 9}

Gegeben ist eine quadratische senkrechte Pyramide mit der Kantenlänge 4 und der Höhe 6.

a) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g und h zum Ursprung.

b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g und h.

1 2 3 4 5

4 2 6

A B g

h D C

S

y

x

z

2 3 4 5 6

1

Flugzeug 1 befindet sich im Punkt (0 | 4 | 2) und bewegt sich in Richtung _u = ›

(

^{− 100}²⁰⁰⁰

)

. Flugzeug 2 befindet sich im Punkt (3 | 0 | 3) und bewegt sich in Richtung _›

v =

(

^{− 100}⁵⁰⁰⁰

)

. Bestimmen Sie den Abstand der Flugbahnen.

1

2

3

(5)

114

Von der Stichprobe zur Grundgesamtheit – Konfidenzintervalle bestimmen

Bei einer Stichprobe einer Lieferung von Mikrochips waren 12 von 300 defekt. Kann auf einem 90 % bzw.

99 %Niveau mit weniger als 7 % defekten Mikrochips in der Gesamtlieferung gerechnet werden?

H und n angeben, relative Häufigkeit h bestimmen k bestimmen

Prognoseintervalle [n×p – k×σ; n×p + k×σ]

[

^{p −}^{k _}n ×σ; p + k _ n ×σ

]

Intervallgrenzen als Funktion von p darstellen

Konfidenzintervall mit h bestimmen

Konfidenzintervall angeben Ergebnis formulieren

H = 12; n = 300; h = ^___₃₀₀¹² = 0,04

90 %Niveau; somit k = 1,64

[n×p – 1,64×σ; n×p + 1,64×σ]

[

^{p − 1,64×}

√

^______^______^p×⁽^{1 − p}ⁿ ⁾ ; p + 1,64×

√

^______^p×^______⁽^{1 − p}ⁿ ⁾

]

Zu 90 % wird p von [0,025; 0,063]

überdeckt.

Da 0,07 nicht im Intervall enthalten ist, kann man davon ausgehen, dass p < 7 % ist.

99 %Niveau; somit k = 2,58

[n×p – 2,58×σ; n×p + 2,58×σ]

[

^{p − 2,58×}

√

^______^______^p×⁽^{1 − p}ⁿ ⁾ ; p + 2,58×

√

^______^______^p×⁽^{1 − p}ⁿ ⁾

]

Zu 99 % wird p von [0,019; 0,081]

überdeckt.

Da 0,07 im Intervall enthalten ist, kann man nicht davon ausgehen, dass p < 7 % ist.

Berechnung mit CAS solve

(

^|^{h − x}^|^{= k×}

√

^____________ x× ( 1 − x ) n , x

)

Bestimmen Sie das gesuchte Konfidenzintervall.

a) H = 7; n = 100 90 %Niveau p in [

;

]

b) H = 44; n = 200 90 %Niveau p in [

;

]

c) H = 270; n = 300 95 %Niveau p in [

;

]

d) H = 83; n = 400 99 %Niveau p in [

;

]

Bei der Stichprobe einer Lieferung von LEDs waren 8 von 600 defekt. Untersuchen Sie auf einem 95 % und einem 99 %Niveau, ob man mit einem Anteil von unter 3 % an defekten LEDs rechnen kann.

Bei einer Wahlumfrage stimmen 270 von 500 Befragten für Partei A und 34 für Partei B.

Untersuchen Sie auf einem 90 %Niveau und einem 95 %Niveau, ob a) die Partei A mit der absoluten Mehrheit rechnen kann.

b) die Parteien A und B zusammen mit einer absoluten Mehrheit rechnen können.

c) die Partei B mit der Überwindung der 5 %Hürde rechnen kann.

1

2

3

Beurteilende Statistik