Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 12
Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 2
Dr. Igor Gornyi Besprechung 27.4.2012
1. Wahrscheinlichkeitstheorie: (3 Punkte)
Bei wie vielen Studenten ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Studenten am gleichen Tag Geburtstag haben, gerade gr¨oßer als 1/2?
2. Stirlingsche Formel: (5+2=7 Punkte)
(a) Beweisen Sie die Stirlingsche N¨aherungsformel N!≈√
2πN (N
e )N
, N ≫1. (1)
Benutzen Sie hierzu die Definition vonN! ¨uber die Gammafunktion N! =
∫ ∞
0
dx xN e−x (2)
und berechnen Sie das Integral n¨aherungsweise mit der Sattelpunktsmethode. Zei- gen Sie hierzu, dass der Logarithmus des Integranden ein Maximum bei x = N besitzt und entwickeln Sie bis zur quadratischen Ordnung in der Variablen x−N. Dies liefert ein leicht auszurechnendes Gaußsches Integral.
(b) Berechnen Sie die N¨aherung des Binomial-Koeffizienten (n
k )
= n!
k!(n−k)! (3)
f¨ur den Fall k =xn (n≫1 und 0< x < 1).
3. Thermodynamische Antwortfunktionen in einem magnetischen System:
(5 + 5 + 5 = 15 Punkte) Betrachten Sie ein magnetisches System, das durch die EntropieS, die Temperatur T, die MagnetisierungM und ein ¨außeres Magnetfeld B bestimmt ist. Seine Eigenschaften werden durch die thermodynamischen Antwortfunktionen beschrieben:
Die spezifische W¨arme bei konstanter Magnetisierung, bzw. konstantem Magnetfeld, cM =T
(∂S
∂T )
M
bzw. cB =T (∂S
∂T )
B
,
die adiabatische und die isotherme Suszeptibilit¨at, χS =
(∂M
∂B )
S
und χT = (∂M
∂B )
T
.
sowie den Temperaturkoeffizienten der Magnetisierung, αB =
(∂M
∂T )
B
.
(a) Zeigen Sie:
cB cM = χT
χS.
(b) Betrachten Sie jetzt das homogene magnetische Material mit M =χ(T)B.
Berechnen Sie die AntwortfunktionencM,cB,χT, undχS und zeigen Sie ausdr¨uck- lich dass die obengenannte Relation gilt.
(c) Zeigen Sie:
cB−cM =Tα2B χT.
Hinweis: Betrachten Sie S =S(T, M),M =M(T, B), sowie die Maxwell-Relation, die aus der Freien EnergieF mit dF =−SdT +BdM gewonnen werden kann.
4. Harmonischer Oszillator: (5 + 5 = 10 Punkte)
Betrachten Sie den harmonischen Oszillator Hˆ = pˆ2
2m + mω2x2 2 .
(a) Berechnen Sie klassisch (i) das kanonische Zustandsintegral Z ∝
∫
dxdp e−βH,
(ii) die freie Energie F =−kBT lnZ, (iii) die Entropie, (iv) die innere Energie und (v) die spezifische W¨arme CV als Funktionen der Temperatur.
(b) Wiederholen Sie die unter (a) durchgef¨uhrten Berechnungen f¨ur den quantenme- chanischen Fall,
H =~ω (
a†a+1 2
)
indem Sie von der kanonischen Zustandssumme Z =Z1 =
∑∞ n=0
e−βEn
ausgehen. Diskutieren Sie die innere Energie und die spezifische W¨arme f¨ur hohe und tiefe Temperaturen.
