Lesung Komplexität

(1)

Komplexität ^stheorie

^-

Lesung

¹

Steffen

^Reith

19.4.17

(2)

9

Literature ^. Uwe Schöning ^, Theoretische^"

Informatik

^kurz _gefasst^"

• Klaus Wagner ^, ^" Theoretische

Informatik

^"

• Michael Sipser^, ^" Introduction to the

Theory of Computation

^"

• Arora _, Barak , "

Computational Complexity

^-

A Modern

Approach

^"

(3)

7heorylthe.ie

https://www.cs.hs-rm.de/vreith

¹

PW ^:

fun

Rucksack problem

⁽

Algorithmen

^& Datenstrukturen

)

Greedy

funktioniert

^nicht ^immer ^!

Kapazität ⁼ ⁶

•

^-

→ TIEFE IX •@ •

Rucksack

F-

Gegenstände

⇒

Geht

^dies

besser

?

Satisfy ability

⁽ ^SAT

⁾

^: Schaltkreis Htussageu logische Formel ^, Frage ^:

gibt

es eine Belegung _, ^sodass ^1am Ausgang ^,^, ^raus ^" ^kommt

(4)

Komplexität

^s

^theorie

²

1.1 ^.

Grundlagen

Def

^: ^Sei ^Z ^ein

^Alphabet

, d.h. eine endliche _Menge von

Buchstaben

. [ ^*

bezeichnet

_{die Menge} ^aller

^Wörter über

Z . Eine

Teilmenge

^LEZ ^*

heißt Sprache (

^über

E)

^.

Ein

Problem

ist die Relation 8 ^E IXY _, wobei I die Menge der

Problem

Instanzen und Y die Menge der

Problemlösungen

^ist

Ist

P

rechts

eindeutig

^, ^d.h. ^eine ^L

^partielle ⁾

^Fht ^, ^dann

heißt P

^Funktions

_problem

_. ^Ist

P

^ein

Funktions problem

(5)

und

9=20,1

^} _, ^dann

heißt P

^auch

Entscheidungs ^problem

^. ³

Bspn

^: ^Sei

P

^ein

Entscheidungs problem

^, ^dann ^ist

↳ aeg

2 XEII ^Plx ⁾

⁼ ¹

}

^eine _Sprache ^und

P

ist das Wort

problem

^der Sprache ^L ^.

BSI

^: ^Sei ^V ^eine ^Menge ^von

aussagenlogischen

^Variablen ^,

etwa Vz

2xe.in

_, ^xs _, ^, ^. ^. ^. ³ ûnd Î ^die _Menge âller

aussagen logischen

^Formeln

^über

⁽ ^einer

_Teilmenge

⁾ ^von

:

Sei 9 ^die Menge aller Fht von

endlichen

Teil

mengen

^von ^V ^nach ^20,13 ^, ^dann ^ist ^seit ^EIXS

(6)

4

definiert

^durch ^CH ^,

f)

^Esat

_gdw

^H ^ist

_aussagen _logische

Formel über V. EV

,

f

^: ^V ^' ^→

^20,1

^} ^und

f

^ist ^eine

erfüllende Belegung

^von ^H ^.

b

_, Sei ^V^' EV , Nun wird eine

Ordnung

^c

auf

^der

Menge

der Fht

f

^: ^Vt ^→ ^hart ^wie

folgt definiert

^:

f. cfz

^gdw

^Zxiev

^' ⁽

felxilhfzlxi

⁾ ¹

Hxjev

^'

⁽ ^jci

^⇒

^f.

^Lxigl ⁼

^fzlxj

⁾

⁾ )

,, lexika

graphische Ordnung

^"

(7)

5

LEXMINSAT ^: I ^→ S _, ^wobei

kleinste Fhtf

^: ^Vt ^→ ^20,13^, ^so ^dass

LEXMNS ^#

Uttar }

Hsafe.wpka.t.svsa.r.cihabuk.LI#smgi.dfHtkfoEY

mit

f.

^G) ⁼ ⁰

für

^alle ^XEV ^',

täten

|

Sonst

|

wir

Benin ^Ein Problem _instanz _XEI _kann _ein _m

Tupel

^sein _, ^d.hn

die

Def

^. ^deckt ^auch ^m ^.^stellige ^Fht probleme

ab

.

Zielen^: Untersuchung ^der Komplexität ^v. ^Berechnung

(8)

6

⇒ Untersuchung ^der

Komplexität

^von

Algorithmen

⁽ ^z.B. ^Zeit ^,

Speicher^, Anzahl d. Befehle,

kommunikationsbedarf

, ^... )

1. 2.

Komplexität

^maße ^und ^- ^Klassen

Defm

^: ^Ein

Algorithm

ûs Â ⁽ ^TM ^, ^RAM ^, ^C) ^berechnet êine

Fht

fa

^:

^I

^→ ⁹ ^, ^wenn

f.

^↳ ⁼

{ ^Ergebnis _nudef

^von ^A ^bei

^Eingabe

^x ^,

^falls

^{A stoppt}

, sonst

Der Algorithms

^A ^hat

E- Komplexität ^l ^Laufzeit

^, ^Speicher

)

_,

(9)

7

wobei OIA ^:

I

^→ ^IN ^und

OI, 6) ⁼ _eng

{ ^Ä

^- Komplexität ^von ^A

bei

_Eingabe ^× ,

falls

^A stoppt

| ^undef

^, ^sonst

Sei OIA ^: ^IN ^→ ^IN

oialn

⁾ _auf

III. ^ÄALX

⁾ ^,

^wobei ^{IH Länge}

^von ^× ^.

Dann heißt Ä

_,

^worst

^- ^case

Komplexität

^.

i.

Komplexität

^wird

fast

^immer ^über ^der

_Eingabe

^länge

_gemessen

^"

Lesung Komplexität

Komplexität stheorie

Lesung

Steffen

9

Informatik

Informatik

Theory of Computation

Computational Complexity

Approach

7heorylthe.ie

https://www.cs.hs-rm.de/vreith

fun

Rucksack problem

Algorithmen

)

funktioniert

•

→ TIEFE IX •@ •

F-

Geht

besser

Satisfy ability

)

gibt

Komplexität

theorie

Grundlagen

Def

Alphabet

Buchstaben

bezeichnet

Wörter über

Teilmenge

heißt Sprache (

E)

Problem

Problem

Problemlösungen

P

eindeutig

partielle )

heißt P

problem

P

Funktions problem

9=20,1

heißt P

Entscheidungs problem

Bspn

P

Entscheidungs problem

2 XEII Plx )

}

P

problem

BSI

aussagenlogischen

2xe.in

aussagen logischen

über

Teilmenge

:

endlichen

mengen

definiert

f)

gdw

aussagen logische

f

20,1

f

erfüllende Belegung

b

Ordnung

auf

Menge

f

folgt definiert

f. cfz

Komplexität ^stheorie

⁾

^theorie

^Alphabet

^Wörter über

^partielle ⁾

_problem

Entscheidungs ^problem

2 XEII ^Plx ⁾

^über

_Teilmenge

_gdw

_aussagen _logische

^20,1

^Zxiev

⁽ ^jci

^f.

^fzlxj

⁾ )

^I

{ ^Ergebnis _nudef

^Eingabe

^falls

E- Komplexität ^l ^Laufzeit

{ ^Ä

| ^undef

III. ^ÄALX

^wobei ^{IH Länge}

^worst

_Eingabe

_gemessen