Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung mit Musterlösungen

Heilbronn, den 8.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung mit Musterlösungen

Blatt 6

Aufgabe 1. Sei A ∈ R^n×n eine orthogonale Matrix, d.h. eine Matrix deren Spalten paarweise orthogonal sind und Norm 1 haben. Es gilt also

~ai◦~aj=

0 fallsi6=j 1 sonst

wobei~ai und~aj deri-te bzw.j-te Spaltenvektor von A sind. Zeigen Sie, dass dann gilt

A^TA=E wobeiE dien×nEinheitsmatrix ist.

Lösung von Aufgabe 1. Für die Multiplikation zweier MatrizenA, B∈R^n×n gilt

(AB)ij = i-te Zeile vonAmalj-te Spalte von B.

Diei-te Zeile von A^T hat als Komponenten genau die Einträge deri-ten Spalte vonA. Damit ist diei-te Zeile vonA gleich~a^T_i und

(A^TA)_ij = ~a^T_i~a_j

= ~ai◦~aj

=

0 fallsi6=j 1 sonst

Das bedeutet, dass die Diagonalelemente von (A^TA) alle Null sind und auf der Diagonalen Einser stehen, d.h.

A^TA=E.

Formal kann man’s auch so ausrechnen:

(A^TA)ij =

n

X

k=1

(A^T)ikAkj

=

n

X

k=1

AkiAkj

= ~ai◦~aj.

Aufgabe 2. Seien~x, ~y∈Cⁿ zwei Vektoren mit Komponenten xk = e^2πjuk/n

2πjvk/n

fürk = 0,1, . . . , n−1. Das komplexe Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert durch

~ x◦~y=

n−1

X

k=0

xkyk.

Zeigen Sie, dass dann für beliebigeu, v∈N0gilt

~ x◦~y=

0 fallsu6=v n fallsu=v.

Hinweis: Versuchen Sie das Skalarprodukt auf die Form

~ x◦~y=

n−1

X

k=0

a^k

zu bringen für ein geeignetesaund nutzen Sie die Formel

n−1

X

k=0

a^k= aⁿ−1 a−1 . Lösung von Aufgabe 2.

~ x◦~y =

n−1

X

k=0

xkyk

=

n−1

X

k=0

e^−2πjuk/ne^2πjvk/n

=

n−1

X

k=0

e−2πj(v−u)k/n

=

n−1

X

k=0

e−2πj(v−u)/n

| {z }

a

^k

=

n−1

X

k=0

a^k

für

a=e−2πj(v−u)/n.

• Falls u=v ista= 1 und damit~x◦~y=n.

• Falls u6=v seis=~x◦~y und damit s=

n−1

X

k=0

a^k.

Multipliziert man beide Seiten mitaerhält man as = a

n−1

X

k=0

a^k

=

n−1

X

k=0

a^k+1

=

n

X

k=1

a^k.

Daraus ergibt sich

as−s =

n

X

k=1

a^k−

n−1

X

k=0

a^k

= aⁿ−1 und folglich

s(a−1) = aⁿ−1 s = aⁿ−1 a−1 . Setzt man nunawieder ein, erhält man

aⁿ = e−2πj(v−u)/nⁿ

= e^{−2πj(v−u)}

= 1.

Damit ist

s= aⁿ−1 a−1 = 0.

Aufgabe 3. Schreiben Sie ein Programm, das für ein beliebiges n ∈ N die MatrixB ∈C^n×n berechnet mit

b<sub>k`</sub>=e<sup>2πjk`/n</sup>. Lösung von Aufgabe 3. Programmieraufgabe.

Aufgabe 4. Schreiben Sie ein Programm, das für beliebige Fourier Koeffizien- ten~z∈Cⁿ die zugehörigen Abtastwertef~berechnet durch Matrix Vektor Multiplikation

f~=B~z.

• Die Fourier Koeffizienten ~z treten in konjugiert komplexen Paaren auf. Testen Sie anhand von ein paar Beispielen, dassf~ reell ist falls

• Testen Sie, dassf_k =A₀ für allek= 0, . . . , n−1 wenn z₀=A₀, zk= 0 fürk= 1, . . . , n−1.

• Für die Fourier Koeffizienten gilt zk =1

2Ake^jϕk, k= 1,2, . . . , n/2−1

wobei Ak die Amplitude derk-ten Oberschwingung des Signals f(t) ist und ϕk deren Phase. Verifizieren Sie, dass die Abtastwerte f~ tatsächlich m Perioden einer Cosinus Schwingung mit Amplitude 2 durchlaufen wenn

zk=

1 falls k=moderk=n−m 0 sonst

fürk= 1, . . . , n/2−1.

Lösung von Aufgabe 4. Programmieraufgabe.

Aufgabe 5. Programmieren Sie eine Funktion für die DFT und für die IDFT.

Prüfen Sie für ein paar Zufallsvektoren~z∈Cⁿ undf~∈Rⁿ nach, dass f~ = IDFT(DFT(f~))

~

z = DFT(IDFT(~z))

gilt. Aufgrund von Rundungsfehlern mit Gleitkommazahlen können leichte Abweichungen entstehen. Denken Sie an den Faktor 1/n!

Lösung von Aufgabe 5. Programmieraufgabe.

Aufgabe 6. Sei

f(t) = 3 + cos(t+ 1) + 2 cos(3t+ 2)−5 cos(4t−1)

eineT0 = 2π periodische Funktion. Tasten Sie f(t) an 16 äquidistanten Stellen im Intervall 0 bis 2π ab und fassen Sie die Abtastwerte zu einem Vektorf~∈R¹⁶zusammen. Überlegen Sie sich, wie die zugehörigen Fourier Koeffizienten~z∈C¹⁶aussehen müssen und verifizieren Sie, dass die in der vorigen Aufgabe geschriebene Funktion DFT diese tatsächlich liefert.

Lösung von Aufgabe 6. Für die Fourier Koeffizientenz_k gilt allgemein.

z₀ = A₀ zk = 1

2Ake^jϕk, k= 1, . . . , n/2−1 zn/2 = 0

zk = z_n−k, k=n/2 + 1, . . . , n−1.

Damit gilt im vorliegenden Beispiel z₀ = 3 z₁ = 1

2e^j z3 = e^2j z₄ = 5

2e^j(π−1) z12 = 5

2e^−j(π−1) z₁₃ = e^−2j z₁₅ = 1

2e^−j und alle anderenz_k = 0.

Aufgabe 7. Sei

p(t) =

∞

X

`=−∞

δ(t−`Ts)

ein Impulszug. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass f(t)p(t) c s 1

T_s

∞

X

k=−∞

F(ω−kω_s), ω_s = 2π T_s.

Sei nunf(t) eine periodische Funktion mit PeriodendauernTs. Damit ist auchf(t)p(t) periodisch mit PeriodendauernTs. Zeigen Sie, dass für deren Fourier Koeffizientenzk gilt,

z_kT_s = 1 n

n−1

X

`=0

f<sub>`</sub>e<sup>−2πjk`/n</sup>.

Die DFT der Abtastwerte f` sind somit die Fourier Koeffizienten von Tsf(t)p(t).

Lösung von Aufgabe 7. DienTs-periodisch Funktionf(t)p(t) hat Grundfre- quenzωs/n. Für die Fourier Koeffizenten dernTs-periodischen Funktion f(t)p(t) gilt

z_kT_s = 1 n

Z nTs

0

f(t)p(t)e^{−jk(ωs/n)t}dt

= 1

n Z nT_s

0

f(t)e^−jkωst/n

∞

X

`=−∞

δ(t−`Ts)dt

= 1

n Z nT_s

0

∞

X

`=−∞

f(`Ts)e<sup>−jkωs`Ts/n</sup>δ(t−`Ts)dt 1Z nTs ∞

Da der Integrand periodisch ist und über eine Periode integriert wird, kann man die Grenzen beliebig verschieben. Im Folgenden werden Sie um Ts/2 verschoben:

1 n

Z nT_s−Ts/2

−Ts/2

∞

X

`=−∞

f`e<sup>−2πjk`/n</sup>δ(t−`Ts)dt

= 1

n

∞

X

`=−∞

f<sub>`</sub>e<sup>−2πjk`/n</sup>

Z nTs−Ts/2

−T_s/2

δ(t−`T_s)dt.

Für das Integral gilt nun Z nT_s−Ts/2

−Ts/2

δ(t−`Ts)dt =

1 falls`= 0, . . . , n−1 0 sonst.

Damit ist

1 n

∞

X

`=−∞

f`e<sup>−2πjk`/n</sup>

Z nT_s−Ts/2

−Ts/2

δ(t−`Ts)dt

= 1

n

n−1

X

`=0

f<sub>`</sub>e<sup>−2πjk`/n</sup>.